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2023年四川省南充高级中学中考数学二模试卷(含答案)
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这是一份2023年四川省南充高级中学中考数学二模试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省南充高级中学中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列实数中，最小的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（4分）代数是数学发展史上的里程牌，计算（﹣a2）3÷（﹣a）2＝（ ）
A．a2 B．﹣a4 C．﹣a2 D．a4
3．（4分）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形
4．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．﹣3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．3，1
5．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
6．（4分）数据分析是从数据中获取重要信息的有效手段．小刚通过调查得到一组样本数据后，在分析时列出了方差的计算公式s2＝，由公式提供的信息知，下列说法中错误的是（ ）
A．样本方差是4 B．样本容量是4
C．样本中众数是4 D．样本中平均数是4
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
8．（4分）如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象恰好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC＝AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．（4分）如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A． B． C． D．﹣
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）为巩固提升南充卫生城市建设，市上决定派遣甲、乙两位督导员到A，B，C三个县城进行检查督导，则甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的概率是 ．
13．（4分）已知 x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为 ．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝ ．
15．（4分）已知关于x的分式方程 无解，则a的值为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD边长为3，AC为对角线，E为AB上点，过点E作EF∥AD，EF交AC、DC分别于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG＝DF；
②∠AHE＝∠ADE；
③△EHF≌△DHC；
④若，则3S△EDH＝13S△DHC，
其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：+（﹣2cos60°）2023+（）﹣2﹣|3﹣2|﹣（π﹣3.14）0
18．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：△ADF≌△ACB；
（2）求证：DF＝EF+CE．
19．（10分）某校为了解学生对安徽历史的了解程度，随机调查了部分学生，把学生对安徽历史的了解程度分为四个等级，A等级：非常了解；B等级：比较了解；C等级：一般了解；D等级：了解较少，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
对安徽历史了解程度频数分布表：
等级
频数
频率
A
4
x
B
20
C
0.36
D
0.16
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人作为安徽历史知识的宣传员，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2+1＝0 有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝4时，设方程的根为 x1，x2，求代数式 的值．
21．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，反比例函数y＝的图象与直线y＝kx+b相交于D，E两点，若OD＝5，OC＝3．
（1）求反比例函数及直线DE的函数解析式；
（2）设点F是x轴上一动点，若△DOF为等腰三角形，求出所有点F的坐标．
22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，＝，连接OE交AD于点F，连接BE交AD于点G，点C在OE的延长线上且满足∠BED＝∠C．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，EB与AD交于G，求AB，EG的长．
23．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是边AB上一动点，作PD⊥BC于D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2，当点P运动到BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，当BD＝2CD时，求的值．
25．（12分）如图，抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方运动，且满足∠PCB＝2∠ABC时，求点P的坐标；
（3）设△PBC的面积为S，当S为某值时，满足条件的点P有且只有三个，不妨设为P1，P2，P3，求△P1P2P3 的面积．
2023年四川省南充高级中学中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列实数中，最小的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：＝，＝，＝，
∵1＞＞＞，
∴1＞＞＞，
∴所给的实数中，最小的实数是．
故选：D．
2．（4分）代数是数学发展史上的里程牌，计算（﹣a2）3÷（﹣a）2＝（ ）
A．a2 B．﹣a4 C．﹣a2 D．a4
【解答】解：（﹣a2）3÷（﹣a）2
＝﹣a6÷a2
＝﹣a4，
故选：B．
3．（4分）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形
【解答】解：∵等边△ABC的中心角为360÷3＝120°，
∴旋转120°后即可和原来的正多边形重合．
故选：A．
4．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．﹣3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．3，1
【解答】解：设方程的另一实数根为t，
根据题意得2+t＝﹣m，2t＝﹣6，
解得t＝﹣3，m＝1，
即方程的另一根为﹣3，m的值为1．
故选：A．
5．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
6．（4分）数据分析是从数据中获取重要信息的有效手段．小刚通过调查得到一组样本数据后，在分析时列出了方差的计算公式s2＝，由公式提供的信息知，下列说法中错误的是（ ）
A．样本方差是4 B．样本容量是4
C．样本中众数是4 D．样本中平均数是4
【解答】解：由题意，得：
样本数据为：2，4，4，6，
∴样本容量为4，故B正确，不符合题意；
样本中4出现2次，是出现最多的，即众数为4，故C正确，不符合题意；
样本的平均数为：＝4，故D正确，不符合题意；
样本方差＝＝2，故A不正确，
故选：A．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+m．
∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0），O（0，0），C（1，2），
∴点B（3，2）．
∵平移后的直线与边BC有交点，
∴，
解得：4≤m≤8．
故选：D．
8．（4分）如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象恰好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC＝AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：过B作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设B（，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为2，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
∵BD∥CE，AC＝AB，
∴，
∴AE＝，CE＝，
∴AE＝（）＝，CE＝，
∴OE＝﹣AE＝﹣＝，
∴C（，），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴•＝k，
∴k＝﹣1，
故选：C．
9．（4分）如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．
∵∠B＝30°，
∴∠TOA＝60°，
∵OT＝OA，
∴△OTA是等边三角形，
∴OT＝OA＝AT＝5，
∵OH⊥AT，
∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，
∵AC⊥BM，
∴∠ACT＝90°，
∴CH＝，
∵OC≥OH﹣CH＝﹣，
∴OC的最小值为＝﹣．
故选：D．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴，
∴，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故④正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠2 ．
【解答】解：由题意，得
解得：
x≥﹣2且x≠2，
故答案为：x≥﹣2且x≠2．
12．（4分）为巩固提升南充卫生城市建设，市上决定派遣甲、乙两位督导员到A，B，C三个县城进行检查督导，则甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的概率是 ．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的结果数为3，
所以甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的概率＝＝．
故答案为：．
13．（4分）已知 x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为 13 ．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x﹣1，x2﹣3x＝﹣1，x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝32，
∴x2+＝9﹣2＝7，
∴x3﹣2x+
＝x（x2﹣2）+
＝x（3x﹣1﹣2）+
＝x（3x﹣3）+
＝3x2﹣3x+
＝x2﹣3x+2x2+
＝﹣1+2（x2+）
＝﹣1+2×7
＝﹣1+14
＝13，
故答案为：13．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝ ．
【解答】解：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，
∵AD＝3AF，
∴，
∵DG∥BE，
∴，，
∴EG＝2AE，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∴EG＝CG，
∴CG＝EG＝2AE，
∴AC＝AE+EG+CG＝5AE，
∴，
故答案为：．
15．（4分）已知关于x的分式方程 无解，则a的值为 10或0或5 ．
【解答】解：解方程 得，
，
若方程无解，则10﹣a＝0，
∴a＝10，
当2x+3＝0或x﹣5＝0时，方程无解，
即x＝或x＝5时，
当＝时，a＝0，
当＝5时，a＝5，
综上，a的值为10或0或5．
16．（4分）如图，正方形ABCD边长为3，AC为对角线，E为AB上点，过点E作EF∥AD，EF交AC、DC分别于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG＝DF；
②∠AHE＝∠ADE；
③△EHF≌△DHC；
④若，则3S△EDH＝13S△DHC，
其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF＝FC，
∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，
∴EG＝DF，故①正确；
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，
在△EGH和△DFG中，
，
∴△EGH≌△DFG（SAS），
∴∠HEF＝∠HDC，∠EHG＝∠DHF，
∴∠DHF+∠DHG＝∠DHG+∠EHG＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE+∠CDH＝45°，
∵∠AHE+∠HEG＝∠AGE＝45°，
∴∠AHE＝∠ADE，故②正确；
在△EHF和△DHC中，
，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
设AB＝CD＝AD＝3a，
∵，
∴AE＝2a，BE＝CF＝a，
过H作HM⊥CF于M，
∴，
∵S△DEH＝×DE2＝（AE2+AD2）＝＝，S△DHC＝•HM＝＝，
∴3S△EDH＝13S△DHC，故④正确，
故答案为：①②③④．
三、本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：+（﹣2cos60°）2023+（）﹣2﹣|3﹣2|﹣（π﹣3.14）0
【解答】解：+（﹣2cos60°）2023+（）﹣2﹣|3﹣2|﹣（π﹣3.14）0
＝2+（﹣2×）2023+4﹣（2﹣3）﹣1
＝2+（﹣1）2023+4﹣2+3﹣1
＝2+（﹣1）+4﹣2+3﹣1
＝5．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：△ADF≌△ACB；
（2）求证：DF＝EF+CE．
【解答】证明：（1）∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AFD＝∠B，
在Rt△ADF和Rt△ACB中，
，
∴△ADF≌△ACB．
（2）连接AE，
由（1）证明可得△ADF≌△ACB，
∴DF＝CB，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB．
∴EF＝EB，
∵BC＝BE+CE＝EF+CE，
∴DF＝EF+CE．
19．（10分）某校为了解学生对安徽历史的了解程度，随机调查了部分学生，把学生对安徽历史的了解程度分为四个等级，A等级：非常了解；B等级：比较了解；C等级：一般了解；D等级：了解较少，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
对安徽历史了解程度频数分布表：
等级
频数
频率
A
4
x
B
20
C
0.36
D
0.16
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 0.08 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人作为安徽历史知识的宣传员，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以；
故答案为：50，0.08；
（2）C等级的人数为50×0.36＝18（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为6，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2+1＝0 有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝4时，设方程的根为 x1，x2，求代数式 的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，
整理得：4m﹣3≥0，
解得：m≥．
故实数m的取值范围是：m≥；
（2）当m＝4时，方程为x2+9x+17＝0，
∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣9，x1x2＝17，+9x1＝﹣17，+9x2＝﹣17，
∴
＝（﹣17﹣x1+16）（﹣17﹣14x2+3）
＝14（x1+1）（x2+1）
＝14×（x1x2+x1+x2+1）
＝14×（17﹣9+1）
＝126．
21．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，反比例函数y＝的图象与直线y＝kx+b相交于D，E两点，若OD＝5，OC＝3．
（1）求反比例函数及直线DE的函数解析式；
（2）设点F是x轴上一动点，若△DOF为等腰三角形，求出所有点F的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△COD中，OC＝3，OD＝5，则CD＝4，
即点D（4，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：m＝3×4＝12，
即反比例函数的表达式为：y＝，
∵D是BC的中点，则BC＝2OD＝8，
当x＝8时，y＝＝，即点E（8，），
设直线DE的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则直线DE的表达式为：y＝﹣x+；
（2）设点F（x，0），
由点D、F、O的坐标得，OD2＝25，DF2＝（x﹣4）2+9，OF＝x，
当OD＝DF时，则25＝（x﹣4）2+9，
解得：x＝0（舍去）或8，
即点F（8，0）；
当OD＝OF或DF＝OF时，同理可得：
5＝x或（x﹣4）2+9＝x2，
解得：x＝5或或﹣5，
即点F的坐标为：（5，0）或（，0）或（﹣5，0），
综上，点F的坐标为：（5，0）或（，0）或（8，0）或（﹣5，0）．
22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，＝，连接OE交AD于点F，连接BE交AD于点G，点C在OE的延长线上且满足∠BED＝∠C．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，EB与AD交于G，求AB，EG的长．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴OE⊥AD，
∵∠BED＝∠BAD，∠BED＝∠C，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠OAC＝∠BAD+∠DAC＝∠C+∠DAC＝∠OFA＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AC⊥OA，
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）解：连接AE，
∵AD＝8，
∴AF＝DF＝AD＝×8＝4，
∵＝tan∠BAD＝tan∠BED＝，
∴OF＝AF＝×4＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴AB＝2OA＝2×5＝10；
∵OE＝OA＝5，OF＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣3＝2，
∵∠AFE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EFG＝∠AFE＝90°，
∴∠FEG＝∠FAE＝90°﹣∠AEF，
∴△FEG∽△FAE，
∴＝＝＝，
∴EG＝AE＝×2＝，
∴AB的长是10，EG的长是．
23．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，
依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
∵68﹣x≤58，
∴x≥10，
∴x＝20．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，
依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．
∵抛物线的对称轴为a＝，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，
∴≥58，
解得：m≥3，
又∵1≤m≤5，且m为整数，
∴m＝3或m＝4或m＝5．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是边AB上一动点，作PD⊥BC于D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2，当点P运动到BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，当BD＝2CD时，求的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝9°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵PD⊥BC，
∴∠BDP＝∠ECD＝90°，
∴PD∥CE，
∵∠B＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
∴PD＝EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∵∠PDC＝90°，
∴四边形PDCE是矩形；
（2）解：如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝3m，
∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，BD＝PD＝4m，PB＝4m，
∴PA＝m，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝4m，
设CN＝FN＝x，
∵FN∥CE，
∴，
∴DN＝x，
∴x+x＝2m，
∴x＝m，
∴CF＝m，AF＝AC＝3m﹣m＝m
∴＝．
25．（12分）如图，抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方运动，且满足∠PCB＝2∠ABC时，求点P的坐标；
（3）设△PBC的面积为S，当S为某值时，满足条件的点P有且只有三个，不妨设为P1，P2，P3，求△P1P2P3 的面积．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2﹣bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）作C关于x轴的对称点C'，连接BC'，如图：
在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵C，C'关于x轴对称，
∴C'（0，2），∠CBC'＝2∠ABC，
∵∠PCB＝2∠ABC，
∴∠PCB＝∠CBC'，
∴CP∥BC'，
由B（4，0），C'（0，2）得直线BC'解析式为y＝﹣x+2，
设直线CP解析式为y＝﹣x+b，把C（0，﹣2）代入得：
b＝﹣2，
∴直线CP解析式为y＝﹣x﹣2，
联立得：
或，
∴P的坐标为（2，﹣3）；
（3）过点P作PH⊥x轴交直线BC于点H，过P1作PW⊥x轴交P2P3于W，如图：
由B（4，0），C（0，﹣2）得直线BC解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m2﹣m﹣2），则H（m，m﹣2），
当P在BC下方时，PH＝（m﹣2）﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，
∴S＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S取最大值4，
此时P1（2，﹣3）；
当P在BC上方时，PH＝m2﹣m﹣2﹣（m﹣2）＝m2﹣2m，
∴S＝×（m2﹣2m）×4＝8，
解得m＝2+2或m＝﹣2+2，
∴P2（2+2，+3），P3（﹣2+2，﹣+3）；
∴直线P2P3解析式为y＝x+2，
在y＝x+2中，令x＝2得y＝3，
∴W（2，3），
∴P1W＝6，
∴△P1P2P3 的面积为×6×|（2+2）﹣（﹣2+2）|＝12．
2023年四川省南充高级中学中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列实数中，最小的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（4分）代数是数学发展史上的里程牌，计算（﹣a2）3÷（﹣a）2＝（ ）
A．a2 B．﹣a4 C．﹣a2 D．a4
3．（4分）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形
4．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．﹣3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．3，1
5．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
6．（4分）数据分析是从数据中获取重要信息的有效手段．小刚通过调查得到一组样本数据后，在分析时列出了方差的计算公式s2＝，由公式提供的信息知，下列说法中错误的是（ ）
A．样本方差是4 B．样本容量是4
C．样本中众数是4 D．样本中平均数是4
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
8．（4分）如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象恰好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC＝AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．（4分）如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A． B． C． D．﹣
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）为巩固提升南充卫生城市建设，市上决定派遣甲、乙两位督导员到A，B，C三个县城进行检查督导，则甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的概率是 ．
13．（4分）已知 x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为 ．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝ ．
15．（4分）已知关于x的分式方程 无解，则a的值为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD边长为3，AC为对角线，E为AB上点，过点E作EF∥AD，EF交AC、DC分别于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG＝DF；
②∠AHE＝∠ADE；
③△EHF≌△DHC；
④若，则3S△EDH＝13S△DHC，
其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：+（﹣2cos60°）2023+（）﹣2﹣|3﹣2|﹣（π﹣3.14）0
18．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：△ADF≌△ACB；
（2）求证：DF＝EF+CE．
19．（10分）某校为了解学生对安徽历史的了解程度，随机调查了部分学生，把学生对安徽历史的了解程度分为四个等级，A等级：非常了解；B等级：比较了解；C等级：一般了解；D等级：了解较少，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
对安徽历史了解程度频数分布表：
等级
频数
频率
A
4
x
B
20
C
0.36
D
0.16
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人作为安徽历史知识的宣传员，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2+1＝0 有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝4时，设方程的根为 x1，x2，求代数式 的值．
21．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，反比例函数y＝的图象与直线y＝kx+b相交于D，E两点，若OD＝5，OC＝3．
（1）求反比例函数及直线DE的函数解析式；
（2）设点F是x轴上一动点，若△DOF为等腰三角形，求出所有点F的坐标．
22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，＝，连接OE交AD于点F，连接BE交AD于点G，点C在OE的延长线上且满足∠BED＝∠C．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，EB与AD交于G，求AB，EG的长．
23．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是边AB上一动点，作PD⊥BC于D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2，当点P运动到BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，当BD＝2CD时，求的值．
25．（12分）如图，抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方运动，且满足∠PCB＝2∠ABC时，求点P的坐标；
（3）设△PBC的面积为S，当S为某值时，满足条件的点P有且只有三个，不妨设为P1，P2，P3，求△P1P2P3 的面积．
2023年四川省南充高级中学中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列实数中，最小的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：＝，＝，＝，
∵1＞＞＞，
∴1＞＞＞，
∴所给的实数中，最小的实数是．
故选：D．
2．（4分）代数是数学发展史上的里程牌，计算（﹣a2）3÷（﹣a）2＝（ ）
A．a2 B．﹣a4 C．﹣a2 D．a4
【解答】解：（﹣a2）3÷（﹣a）2
＝﹣a6÷a2
＝﹣a4，
故选：B．
3．（4分）下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形
【解答】解：∵等边△ABC的中心角为360÷3＝120°，
∴旋转120°后即可和原来的正多边形重合．
故选：A．
4．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．﹣3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．3，1
【解答】解：设方程的另一实数根为t，
根据题意得2+t＝﹣m，2t＝﹣6，
解得t＝﹣3，m＝1，
即方程的另一根为﹣3，m的值为1．
故选：A．
5．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
6．（4分）数据分析是从数据中获取重要信息的有效手段．小刚通过调查得到一组样本数据后，在分析时列出了方差的计算公式s2＝，由公式提供的信息知，下列说法中错误的是（ ）
A．样本方差是4 B．样本容量是4
C．样本中众数是4 D．样本中平均数是4
【解答】解：由题意，得：
样本数据为：2，4，4，6，
∴样本容量为4，故B正确，不符合题意；
样本中4出现2次，是出现最多的，即众数为4，故C正确，不符合题意；
样本的平均数为：＝4，故D正确，不符合题意；
样本方差＝＝2，故A不正确，
故选：A．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边BC有交点，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜8 B．0＜m＜4 C．2＜m＜8 D．4≤m≤8
【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+m．
∵四边形OABC为平行四边形，且点A（2，0），O（0，0），C（1，2），
∴点B（3，2）．
∵平移后的直线与边BC有交点，
∴，
解得：4≤m≤8．
故选：D．
8．（4分）如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象恰好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC＝AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：过B作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设B（，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为2，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
∵BD∥CE，AC＝AB，
∴，
∴AE＝，CE＝，
∴AE＝（）＝，CE＝，
∴OE＝﹣AE＝﹣＝，
∴C（，），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴•＝k，
∴k＝﹣1，
故选：C．
9．（4分）如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（ ）
A． B． C． D．﹣
【解答】解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．
∵∠B＝30°，
∴∠TOA＝60°，
∵OT＝OA，
∴△OTA是等边三角形，
∴OT＝OA＝AT＝5，
∵OH⊥AT，
∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，
∵AC⊥BM，
∴∠ACT＝90°，
∴CH＝，
∵OC≥OH﹣CH＝﹣，
∴OC的最小值为＝﹣．
故选：D．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴，
∴，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故④正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠2 ．
【解答】解：由题意，得
解得：
x≥﹣2且x≠2，
故答案为：x≥﹣2且x≠2．
12．（4分）为巩固提升南充卫生城市建设，市上决定派遣甲、乙两位督导员到A，B，C三个县城进行检查督导，则甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的概率是 ．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的结果数为3，
所以甲、乙两位督导员被派遣到同一个县城的概率＝＝．
故答案为：．
13．（4分）已知 x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为 13 ．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2＝3x﹣1，x2﹣3x＝﹣1，x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝32，
∴x2+＝9﹣2＝7，
∴x3﹣2x+
＝x（x2﹣2）+
＝x（3x﹣1﹣2）+
＝x（3x﹣3）+
＝3x2﹣3x+
＝x2﹣3x+2x2+
＝﹣1+2（x2+）
＝﹣1+2×7
＝﹣1+14
＝13，
故答案为：13．
14．（4分）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝ ．
【解答】解：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，
∵AD＝3AF，
∴，
∵DG∥BE，
∴，，
∴EG＝2AE，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∴EG＝CG，
∴CG＝EG＝2AE，
∴AC＝AE+EG+CG＝5AE，
∴，
故答案为：．
15．（4分）已知关于x的分式方程 无解，则a的值为 10或0或5 ．
【解答】解：解方程 得，
，
若方程无解，则10﹣a＝0，
∴a＝10，
当2x+3＝0或x﹣5＝0时，方程无解，
即x＝或x＝5时，
当＝时，a＝0，
当＝5时，a＝5，
综上，a的值为10或0或5．
16．（4分）如图，正方形ABCD边长为3，AC为对角线，E为AB上点，过点E作EF∥AD，EF交AC、DC分别于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG＝DF；
②∠AHE＝∠ADE；
③△EHF≌△DHC；
④若，则3S△EDH＝13S△DHC，
其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，
∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF＝FC，
∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，
∴EG＝DF，故①正确；
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，
在△EGH和△DFG中，
，
∴△EGH≌△DFG（SAS），
∴∠HEF＝∠HDC，∠EHG＝∠DHF，
∴∠DHF+∠DHG＝∠DHG+∠EHG＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE+∠CDH＝45°，
∵∠AHE+∠HEG＝∠AGE＝45°，
∴∠AHE＝∠ADE，故②正确；
在△EHF和△DHC中，
，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；
设AB＝CD＝AD＝3a，
∵，
∴AE＝2a，BE＝CF＝a，
过H作HM⊥CF于M，
∴，
∵S△DEH＝×DE2＝（AE2+AD2）＝＝，S△DHC＝•HM＝＝，
∴3S△EDH＝13S△DHC，故④正确，
故答案为：①②③④．
三、本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：+（﹣2cos60°）2023+（）﹣2﹣|3﹣2|﹣（π﹣3.14）0
【解答】解：+（﹣2cos60°）2023+（）﹣2﹣|3﹣2|﹣（π﹣3.14）0
＝2+（﹣2×）2023+4﹣（2﹣3）﹣1
＝2+（﹣1）2023+4﹣2+3﹣1
＝2+（﹣1）+4﹣2+3﹣1
＝5．
18．（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：△ADF≌△ACB；
（2）求证：DF＝EF+CE．
【解答】证明：（1）∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AFD＝∠B，
在Rt△ADF和Rt△ACB中，
，
∴△ADF≌△ACB．
（2）连接AE，
由（1）证明可得△ADF≌△ACB，
∴DF＝CB，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB．
∴EF＝EB，
∵BC＝BE+CE＝EF+CE，
∴DF＝EF+CE．
19．（10分）某校为了解学生对安徽历史的了解程度，随机调查了部分学生，把学生对安徽历史的了解程度分为四个等级，A等级：非常了解；B等级：比较了解；C等级：一般了解；D等级：了解较少，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
对安徽历史了解程度频数分布表：
等级
频数
频率
A
4
x
B
20
C
0.36
D
0.16
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50 ，表中x的值为 0.08 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有一名男生和三名女生，若从中随机抽取两人作为安徽历史知识的宣传员，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以；
故答案为：50，0.08；
（2）C等级的人数为50×0.36＝18（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为6，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2+1＝0 有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝4时，设方程的根为 x1，x2，求代数式 的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，
整理得：4m﹣3≥0，
解得：m≥．
故实数m的取值范围是：m≥；
（2）当m＝4时，方程为x2+9x+17＝0，
∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣9，x1x2＝17，+9x1＝﹣17，+9x2＝﹣17，
∴
＝（﹣17﹣x1+16）（﹣17﹣14x2+3）
＝14（x1+1）（x2+1）
＝14×（x1x2+x1+x2+1）
＝14×（17﹣9+1）
＝126．
21．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，反比例函数y＝的图象与直线y＝kx+b相交于D，E两点，若OD＝5，OC＝3．
（1）求反比例函数及直线DE的函数解析式；
（2）设点F是x轴上一动点，若△DOF为等腰三角形，求出所有点F的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△COD中，OC＝3，OD＝5，则CD＝4，
即点D（4，3），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：m＝3×4＝12，
即反比例函数的表达式为：y＝，
∵D是BC的中点，则BC＝2OD＝8，
当x＝8时，y＝＝，即点E（8，），
设直线DE的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则直线DE的表达式为：y＝﹣x+；
（2）设点F（x，0），
由点D、F、O的坐标得，OD2＝25，DF2＝（x﹣4）2+9，OF＝x，
当OD＝DF时，则25＝（x﹣4）2+9，
解得：x＝0（舍去）或8，
即点F（8，0）；
当OD＝OF或DF＝OF时，同理可得：
5＝x或（x﹣4）2+9＝x2，
解得：x＝5或或﹣5，
即点F的坐标为：（5，0）或（，0）或（﹣5，0），
综上，点F的坐标为：（5，0）或（，0）或（8，0）或（﹣5，0）．
22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，＝，连接OE交AD于点F，连接BE交AD于点G，点C在OE的延长线上且满足∠BED＝∠C．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，EB与AD交于G，求AB，EG的长．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴OE⊥AD，
∵∠BED＝∠BAD，∠BED＝∠C，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠OAC＝∠BAD+∠DAC＝∠C+∠DAC＝∠OFA＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AC⊥OA，
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）解：连接AE，
∵AD＝8，
∴AF＝DF＝AD＝×8＝4，
∵＝tan∠BAD＝tan∠BED＝，
∴OF＝AF＝×4＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴AB＝2OA＝2×5＝10；
∵OE＝OA＝5，OF＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣3＝2，
∵∠AFE＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EFG＝∠AFE＝90°，
∴∠FEG＝∠FAE＝90°﹣∠AEF，
∴△FEG∽△FAE，
∴＝＝＝，
∴EG＝AE＝×2＝，
∴AB的长是10，EG的长是．
23．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，
依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
∵68﹣x≤58，
∴x≥10，
∴x＝20．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，
依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．
∵抛物线的对称轴为a＝，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，
∴≥58，
解得：m≥3，
又∵1≤m≤5，且m为整数，
∴m＝3或m＝4或m＝5．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是边AB上一动点，作PD⊥BC于D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，连接CE，DE，PE．
（1）求证：四边形PDCE是矩形；
（2）如图2，当点P运动到BA的延长线上时，DE与AC交于点F，其他条件不变，当BD＝2CD时，求的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝9°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∵PD⊥BC，
∴∠BDP＝∠ECD＝90°，
∴PD∥CE，
∵∠B＝∠BPD＝45°，
∴PD＝BD，
∴PD＝EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∵∠PDC＝90°，
∴四边形PDCE是矩形；
（2）解：如图2中，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴BM＝MC＝3m，
∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，BD＝PD＝4m，PB＝4m，
∴PA＝m，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC＝4m，
设CN＝FN＝x，
∵FN∥CE，
∴，
∴DN＝x，
∴x+x＝2m，
∴x＝m，
∴CF＝m，AF＝AC＝3m﹣m＝m
∴＝．
25．（12分）如图，抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方运动，且满足∠PCB＝2∠ABC时，求点P的坐标；
（3）设△PBC的面积为S，当S为某值时，满足条件的点P有且只有三个，不妨设为P1，P2，P3，求△P1P2P3 的面积．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2﹣bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）作C关于x轴的对称点C'，连接BC'，如图：
在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵C，C'关于x轴对称，
∴C'（0，2），∠CBC'＝2∠ABC，
∵∠PCB＝2∠ABC，
∴∠PCB＝∠CBC'，
∴CP∥BC'，
由B（4，0），C'（0，2）得直线BC'解析式为y＝﹣x+2，
设直线CP解析式为y＝﹣x+b，把C（0，﹣2）代入得：
b＝﹣2，
∴直线CP解析式为y＝﹣x﹣2，
联立得：
或，
∴P的坐标为（2，﹣3）；
（3）过点P作PH⊥x轴交直线BC于点H，过P1作PW⊥x轴交P2P3于W，如图：
由B（4，0），C（0，﹣2）得直线BC解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m2﹣m﹣2），则H（m，m﹣2），
当P在BC下方时，PH＝（m﹣2）﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，
∴S＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S取最大值4，
此时P1（2，﹣3）；
当P在BC上方时，PH＝m2﹣m﹣2﹣（m﹣2）＝m2﹣2m，
∴S＝×（m2﹣2m）×4＝8，
解得m＝2+2或m＝﹣2+2，
∴P2（2+2，+3），P3（﹣2+2，﹣+3）；
∴直线P2P3解析式为y＝x+2，
在y＝x+2中，令x＝2得y＝3，
∴W（2，3），
∴P1W＝6，
∴△P1P2P3 的面积为×6×|（2+2）﹣（﹣2+2）|＝12．
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