2023年浙江省湖州市长兴县等2地中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年浙江省湖州市长兴县等2地中考数学一模试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省湖州市长兴县等2地中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选的均不给分。
1．（3分）下列有理数﹣2，﹣1，2，0中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．0
2．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节假期国内旅游出游3.08亿人．这里308000000用科学记数法表示为（　　）
A．308×106 B．0.308×109 C．3.08×108 D．3.08×106
3．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
5．（3分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为33、30、31、31、29（单位：℃），这组数据的众数是（　　）
A．29 B．30 C．31 D．33
6．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝50°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（　　）
​

A．3 B．4 C．5 D．
9．（3分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
10．（3分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y3＞0，则y3y4＞0
C．若y2y3＜0，则y1y4＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：m2﹣1＝　 　．
12．（4分）已知一组数据的方差为2，则这组数据的标准差为 　 　．
13．（4分）一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为 　 　．
14．（4分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝　 　米．

15．（4分）如图，菱形OABC中，对角线OB，AC相交于点M（4，m），反比例函数y＝的图象过点M和点C，则m的值为 　 　．
​

16．（4分）数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在AC与GM交点处，则AB的长是 　 　．

三、解答题（本题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：a（a+4）﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝．
19．（6分）如图，AB＝CD，AC＝BD，证明：∠1＝∠2．
​

20．（8分）某省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的图表（如表①，图②所示）．
上学方式
频数
频率
步行
13
m
骑自行车
n
0.2
乘公交
20
0.4
其他
7
0.14
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）表中m和n所表示的数分别为：m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，以OB为半径，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，连结BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）已知cos∠ABC＝，AB＝6，求⊙O的半径r．
​

22．（10分）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​
23．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），连结BC．
（1）求点C的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）当n≤x≤5时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
​

24．（12分）（1）【问题呈现】
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取点D，过点D作AB的垂线DE交AC于点E．若AD＝3，DE＝4，求的值；
（2）【类比探究】
在（1）的条件下，△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（点E在△ABC的内部），如图2，连接BD，CE，求的值；
（3）【拓展提升】
在（2）的条件下，延长CE交BD于点F，交AB于点G，如图3．求sin∠BFC的值．
​

2023年浙江省湖州市长兴县等2地中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选的均不给分。
1．（3分）下列有理数﹣2，﹣1，2，0中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．0
【解答】解：有理数﹣2，﹣1，2，0中，最小的是﹣2．
故选：A．
2．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节假期国内旅游出游3.08亿人．这里308000000用科学记数法表示为（　　）
A．308×106 B．0.308×109 C．3.08×108 D．3.08×106
【解答】解：308000000＝3.08×108．
故选：C．
3．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
4．（3分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
5．（3分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为33、30、31、31、29（单位：℃），这组数据的众数是（　　）
A．29 B．30 C．31 D．33
【解答】解：∵一组数据33、30、31、31、29，
∴这组数据的众数是31，
故选：C．
6．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有1种结果，
所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为，
故选：B．
7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝50°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣（OAC+∠OCA）＝80°，
∴∠ABC＝∠AOC＝40°，
故选：B．

8．（3分）如图，矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点C，过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N．若AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积的是（　　）
​

A．3 B．4 C．5 D．
【解答】解：∵矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，
∴BG＝BA＝3，
∴CG＝＝＝4，
∴S△BGC＝×BG•GC＝6，
∵MN∥AD，CD∥AB，
∴四边形AMND是平行四边形，MN∥BC，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴S平行四边形BCNM＝2S△BGC＝12，
∴阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S平行四边形BCNM＝15﹣12＝3，
故选：A．
9．（3分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，

则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，
∵S△ABC＝•AC•BH，
∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；

解法二：过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，

∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，
∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，
∴16﹣2xy≥0，
∴xy≤8，
∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；

方案3：半圆的半径＝米，
∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y3＞0，则y3y4＞0
C．若y2y3＜0，则y1y4＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，
观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，
若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，

若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，

若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，

若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，

故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：m2﹣1＝　（m+1）（m﹣1）　．
【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．
12．（4分）已知一组数据的方差为2，则这组数据的标准差为 　　．
【解答】解：∵数据的方差是S2＝2，
∴这组数据的标准差是；
故答案为：．
13．（4分）一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为 　2π　．
【解答】解：扇形弧长为：＝2π，
故答案为：2π．
14．（4分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝　10　米．

【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
15．（4分）如图，菱形OABC中，对角线OB，AC相交于点M（4，m），反比例函数y＝的图象过点M和点C，则m的值为 　2　．
​

【解答】解：作CD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，则MN∥CD，
∵点M（4，m），反比例函数y＝的图象过点M和点C，
∴k＝4m，
∴反比例函数为y＝，
∵四边形ABCO是菱形，
∴M是AC的中点，
∴CD＝2m，DN＝AN，
∴C点的纵坐标为2m，
∴C（2，2m），
∴OD＝2，
∴DN＝4﹣2＝2，
∴OD＝DN＝AN，
∴OC＝OA＝6，
在Rt△COD中，OC2＝OD2+CD2，
∴62＝22+（2m）2，
解得m＝2（负数舍去），
故答案为：2．

16．（4分）数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在AC与GM交点处，则AB的长是 　　．

【解答】解：由图1及等腰三角形的性质可知，
MG＝BC＝6，AB＝DF，∠HMG＝∠ACB，
如图2，∠DMC＝∠DCM，
∵∠DMC+∠G＝∠DCM+∠DCG＝90°，
∴∠G＝∠DCG，
∴DG＝CD，
∴DC＝DM＝DG＝MG＝3，
设AB＝DF＝x，则AC＝AD+CD＝x+3，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+62＝（x+3）2，
∴x＝，
∴AB＝，
故答案为：．
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：（1）原式＝3+1﹣1
＝3．
18．（6分）先化简，再求值：a（a+4）﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝．
【解答】解：a（a+4）﹣（a+1）（a﹣1）
＝a2+4a﹣（a2﹣1）
＝a2+4a﹣a2+1
＝4a+1，
当a＝时，原式＝4×+1＝1+1＝2．
19．（6分）如图，AB＝CD，AC＝BD，证明：∠1＝∠2．
​

【解答】证明：在△ABC和△DCB 中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠1＝∠2．
20．（8分）某省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的图表（如表①，图②所示）．
上学方式
频数
频率
步行
13
m
骑自行车
n
0.2
乘公交
20
0.4
其他
7
0.14
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）表中m和n所表示的数分别为：m＝　0.26　，n＝　10　；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？

【解答】解：（1）被调查的学生共有：20÷0.4＝50（人），
∴m＝＝0.26，n＝0.2×50＝10；
（2）由（1）知，“骑自行车”的学生有10人，补全条形图如图：

（3）1500×20%＝300（人）．
答：该校骑自行车上学的学生约有300人．
故答案为：（1）0.26，10．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，以OB为半径，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，连结BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）已知cos∠ABC＝，AB＝6，求⊙O的半径r．
​

【解答】（1）证明：连接OD，

∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，即BD平分∠ABC；

（2）解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∴，
∵，AB＝6，
∴BC＝4，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即 ，
解得：．

22．（10分）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​
【解答】解：（1）设篮球每个x元，足球每个 元，
由题意得：，
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为： （元），
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）由题意得：w＝80m+100（60﹣m）＝﹣20m+6000，
即w与m的函数关系式为w＝﹣20m+6000；
（3）由题意可得：﹣20m+6000≤5200，
解得：m≥40，
∴40≤m≤45，
由（2）得：w＝﹣20m+6000，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝45时，w取得最小值，
此时w＝5100元，60﹣m＝15，
23．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），连结BC．
（1）求点C的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）当n≤x≤5时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
​

【解答】解：（1）∵对称轴为直线 x＝2，
∴，
∴b＝﹣4，
∵抛物线 y＝x2﹣4x+c 与y轴交于C点，A（1，0）代入得：
∴c＝3，
∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3，
由抛物线的表达式知，点C（0，3）；

（2）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴△BOC是等腰直角三角形，
则∠CBO＝45°，
∵直线BD和直线BC的夹角为 15°，
∴∠DBO＝30° 或∠DBO＝60°，
在Rt△BOD中，DO＝BO•tan∠DBO，
∵BO＝3，
当∠DBO＝30° 时，如图1所示：

∵，
则，
则；
当∠DBO＝60° 时，如图2所示：

，
，
∴CD的长度为 或 ；

（3）当x＝n和x＝5在对称轴两侧时，
此时，抛物线在x＝2时，取得最小值，
当x＝n和x＝5关于x＝2对称时，最大值相等且为定值，即x＝5时，y的值为最大值，
此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，
此时n＝﹣1，
即﹣1≤n≤2，函数的最大值与最小值的差是一个定值．
24．（12分）（1）【问题呈现】
如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取点D，过点D作AB的垂线DE交AC于点E．若AD＝3，DE＝4，求的值；
（2）【类比探究】
在（1）的条件下，△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（点E在△ABC的内部），如图2，连接BD，CE，求的值；
（3）【拓展提升】
在（2）的条件下，延长CE交BD于点F，交AB于点G，如图3．求sin∠BFC的值．
​
【解答】解：（1）∵AB⊥DE，AD＝3，DE＝4
∴，
∵∠ABC＝90°
∴∠ADE＝∠B＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE≌△ABC，
∴；
（2）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣BAE＝∠BAC﹣BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△BAD∽△CAE，
∴；
（3）由（2）得：△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴．