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2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷(含答案)
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这是一份2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷(含答案)，共27页。
2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷
一.选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．π
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
3．（4分）二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．其中114万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.14×1012 B．1.14×1013 C．1.14×1014 D．1.14×1015
4．（4分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲
乙
两
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
6．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（4分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2） 在新抛物线上，且y1＞y2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（4分）边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中③号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣2023的绝对值是 ．
12．（5分）分解因式：a2﹣1＝ ．
13．（5分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是 ．
14．（5分）如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 ．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 ．
16．（5分）在△ABC中，E是边AB的中点，F是AC边上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．
（1）如图（1），若△ABC为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段CE上时，则AF＝ ；
（2）如图（2），若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8．分别连接AD、BD、CD，若S△ACD＝S△BDC，且CD＝4，则S△ABC＝ ．
三.解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（4﹣a）；
（2）解不等式组：．
18．（8分）图①．图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画△ABC，使△ABC的面积是10；
（2）在图②中画四边形ABDE，使四边形ABDE是轴对称图形；
（3）在图③中的线段AB上找一点P，使AP＝2BP．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（﹣1，3）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．
20．（10分）2022年10月12日，中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，他们生动演示了微重力环境下的多个实验．某中学以其中4个实验（A．浮力消失实验，B．太空冰雪实验，C．水球光学实验，D．太空抛物实验）为主题开展手抄报评比活动，学校天文社团随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m＝ %，A实验所对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校共有学生2000名，请根据上述调查结果，估计有多少人对“太空抛物实验”感兴趣？
21．（8分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）
22．（12分）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（mg）与A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为多少？
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过6cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（mg）的取值范围．
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，△ABC和△ADE是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，求证：△DAB∽△EAC；
【尝试应用】（2）如图2，在Rt△ABC与RtAEDC中，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DBC，且sin，连接AE，若BD＝2，求AE的长；
【拓展提高】（3）如图3，若∠CAB＝90°，∠E＝∠ABC，tan，BD＝5CD，过A作AQ⊥AD交EB延长线于Q，求的值．
24．（14分）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，，点D是半圆上的一个动点，过点D作DE∥AC交直径AB于点E．
（1）求证：∠ADE＝∠CBD；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，若∠ADC＝∠EDB，求cos∠CBD；
（3）如图3，连接CD交AB于点F，若CD＝2AE，
①求AD的长；
②直接写出的值为 ．
2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷
（参考答案）
一.选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．π
【解答】解：∵﹣2＜1＜＜π，
∴最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B．a3•a2＝a5，故本选项符合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（4分）二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．其中114万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.14×1012 B．1.14×1013 C．1.14×1014 D．1.14×1015
【解答】解：114万亿＝114000000000000＝1.14×1014，
故选：C．
4．（4分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：A．
5．（4分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲
乙
两
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
【解答】解：∵甲是这四名选手中成绩最好的，
∴m＞91，
又∵甲是发挥最稳定的学生，
∴n＜11，
符合此条件的是m＝92，n＝8.5，
故选：B．
6．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AC＝4，
∴，
∵D，F分别是AB，BC边的中点，
∴DF是Rt△ABC的中位线，，
∴，AC∥DF，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝45°＝∠A，DE⊥DF，
∴，
∴，
故选：D．
8．（4分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
9．（4分）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2） 在新抛物线上，且y1＞y2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线为y＝（x+2﹣n）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝n﹣2，
∵点A（2，y1），B（4，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，
∴n﹣2＞，
∴n＞5，
故选：D．
10．（4分）边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中③号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：设①号小矩形的长为m，则④号小矩形的宽为a﹣m，
∵①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，
∴①号小矩形的宽为a﹣b﹣m，
∴③号小矩形的宽为a﹣（a﹣b﹣m）﹣b＝m，
∴④号小矩形的长为a﹣m，
∴④号小矩形的长和宽都是a﹣m，
即④号小矩形的是正方形，
故选：D．
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣2023的绝对值是 2023 ．
【解答】解：﹣2023的绝对值是2023，
故答案为：2023．
12．（5分）分解因式：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
13．（5分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是 ．
【解答】解：把开关S1、S2、S3分别记为1、2、3，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有4种，
∴同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 π ．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴劣弧的长＝．
故答案为：π．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 （1，﹣1） ．
【解答】解：如图：过点B作BM⊥OA，垂足为M，
当⊙A与直线y＝﹣x相切时，
则AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵点A（2，0），
∴OA＝2，
∵点B是直线y＝﹣x上的一个动点，
∴设点B的坐标为（m，﹣m），
∴OM＝BM＝m，
∴∠MOB＝45°，
∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OB，
∵BM⊥OA，
∴OM＝AM＝OA，
∴BM＝OA＝1，
∴OM＝BM＝1，
∴点B的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
16．（5分）在△ABC中，E是边AB的中点，F是AC边上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．
（1）如图（1），若△ABC为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段CE上时，则AF＝ 2﹣2 ；
（2）如图（2），若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8．分别连接AD、BD、CD，若S△ACD＝S△BDC，且CD＝4，则S△ABC＝ 48 ．
【解答】解：（1）过F作FH⊥AE于H，如图：
∵△ABC是边长为4的等边三角形，E为AB中点，
∴∠AEC＝90°，∠A＝60°，AE＝2，
∴∠AFH＝30°，
设AF＝x，则AH＝AF＝x，HF＝AH＝x，
∴EH＝AE﹣AH＝2﹣x，
∵△AEF沿直线EF折叠得△DEF，点D恰好落在线段CE上，
∴∠AEF＝∠DEF＝∠AEC＝45°，
∴△HEF的等腰直角三角形，
∴EH＝HF，即2﹣x＝x，
解得x＝2﹣2，
∴AF＝2﹣2，
故答案为：2﹣2；
（2）设AE＝ED＝y，
∵AE＝EB，
∴S△ADE＝S△EBD，
∵S△ADC＝S△BDC，
∴点D在△ABC的中线CE上，
∵AE2+AC2＝CE2，
∴y2+82＝（y+4）2，
解得y＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∴S△ACB＝•AB•AC＝×12×8＝48．
故答案为：48．
三.解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（4﹣a）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）（a﹣3）2+a（4﹣a）
＝a2﹣6a+9+4a﹣a2
＝﹣2a+9；
（2），
解不等式3x﹣5＜x+1，得x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得x≥﹣2，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
18．（8分）图①．图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画△ABC，使△ABC的面积是10；
（2）在图②中画四边形ABDE，使四边形ABDE是轴对称图形；
（3）在图③中的线段AB上找一点P，使AP＝2BP．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，矩形ABDE为所求作（答案不唯一）．
（3）如图，取AM＝2，BN＝1，
连接MN交AB于P，
∵△AMP∽△BNP，
∴，
∴AP＝2BP，
∴P点为所求作．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（﹣1，3）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）把点（﹣1，3）代入y＝﹣x+n得，3＝1+n，
∴n＝2，
当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数的值，则n的取值范围是n≥2．
20．（10分）2022年10月12日，中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，他们生动演示了微重力环境下的多个实验．某中学以其中4个实验（A．浮力消失实验，B．太空冰雪实验，C．水球光学实验，D．太空抛物实验）为主题开展手抄报评比活动，学校天文社团随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m＝ 16 %，A实验所对应的圆心角的度数为 108° ；
（3）若该校共有学生2000名，请根据上述调查结果，估计有多少人对“太空抛物实验”感兴趣？
【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：45÷30%＝150（人），
B的人数为：150﹣45﹣24﹣27＝54（人），
补全频数分布直方图如图所示．
（2）1﹣30%﹣36%﹣18%＝16%，
∴m＝16，
A实验所对应的圆心角为30%×360°＝108°．
故答案为：16；108°．
（3）2000×18%＝360（人），
答：估计在全校2000名学生中，约有360人对“太空抛物实验”感兴趣．
21．（8分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）
【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，
∴sinα＝，
∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，
∴CD＝2OD＝3.6m，
答：遮阳宽度CD约为3.6米；
（2）如图，
过点E作EH⊥AB于H，
∴∠BHE＝90°，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，
∴EH＝BF＝3m，
在Rt△AHE中，tana＝，
∴AH＝，
当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，
当∠α＝45°时，AH＝＝3，
∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．
22．（12分）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（mg）与A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为多少？
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过6cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（mg）的取值范围．
【解答】解：（1）设植物A生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式为yA＝kx+10，根据题意得：
2k+10＝14，
解得k＝2，
∴yA＝2x+10（x≥0）；
设植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式为yB＝mx+25，根据题意得：
25m+25＝0，
解得m＝﹣1，
∴yB＝﹣x+25（0≤x≤25）；
（2）当两种植物生长高度相同时，2x+10＝﹣x+25，
解得x＝5，
答：两种植物生长高度相同时，药物的施用量为5mg；
（3）由题意得：
，
解得3≤x≤7，
故该药物施用量x（mg）的取值范围为3≤x≤7．
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，△ABC和△ADE是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，求证：△DAB∽△EAC；
【尝试应用】（2）如图2，在Rt△ABC与RtAEDC中，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DBC，且sin，连接AE，若BD＝2，求AE的长；
【拓展提高】（3）如图3，若∠CAB＝90°，∠E＝∠ABC，tan，BD＝5CD，过A作AQ⊥AD交EB延长线于Q，求的值．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△DAB∽△EAC；
（2）解：∵∠BAC＝∠DBC，sin，
∴sin∠BAC＝sin∠DBC＝＝，
∴AB＝3BC，DE＝3CD，
∴AC＝＝2BC，CE＝＝2CD，
∴＝2，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△CBD∽△CAE，
∴，
∵BD＝2，
∴AE＝4；
（3）解：如图3，在AC上截取CH＝CD，连接DH，
∵tanE＝，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠ABC＝30°，∠ABE＝60°，
设AC＝3a，则BC＝2AC＝6a，AB＝AC＝3a，
∵BD＝5CD，
∴BD＝5a，CD＝a＝CH，
∵∠ACB＝90°﹣∠ABC＝60°，
∴△CDH是等边三角形，
∴CH＝CD＝HD＝a，∠CHD＝120°，
∴AH＝2a，
∵∠ABQ＝180°﹣∠ABE＝120°，
∴∠ABQ＝∠AHD，
∵∠BAC＝∠DAQ＝90°，
∴∠DAH∽△QAB，
∴，
∴＝，
∴BQ＝a，
∴＝．
24．（14分）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，，点D是半圆上的一个动点，过点D作DE∥AC交直径AB于点E．
（1）求证：∠ADE＝∠CBD；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，若∠ADC＝∠EDB，求cos∠CBD；
（3）如图3，连接CD交AB于点F，若CD＝2AE，
①求AD的长；
②直接写出的值为 ．
【解答】（1）证明：如图所示，延长DF交⊙O于点P，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴∠ADE＝∠CBD；
（2）解：如图所示，延长DF交⊙O于点P，
∵AB为⊙O的直径，AB＝5，，
∴∠ACB＝90°，设AC＝3k，BC＝4k，则AB＝5k，
∴k＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴，
∴，
∴PB＝AC＝3，AP＝BC＝4，
∵，
∴∠ABD＝∠CBP，
∴∠CBD＝∠ABC+∠CBP＝∠ABP，
∵，
∴∠ABP＝∠CAB，
∴∠CBD＝∠CAB，
∴；
（3）解：①由（1）可知∠ADE＝∠CBD，
∵，
∴∠DAE＝∠DCB，
∴△BCD∽△DAE，
∴，
∵CD＝2AE，
∴BC＝2AD，
∵BC＝4，
∴AD＝2；
②∵AD＝2，
∴，
∵，
∴∠DAF＝∠DCB，
∵，
∴∠ADF＝∠ABC，
∴△DAF∽△BCF，
∴，
∴BF＝2DF，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACF∽△DBF，
∴，
∴，
解得：BF＝，
∴AF＝，
∴＝，
故答案为：．
2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷
一.选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．π
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
3．（4分）二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．其中114万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.14×1012 B．1.14×1013 C．1.14×1014 D．1.14×1015
4．（4分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲
乙
两
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
6．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（4分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2） 在新抛物线上，且y1＞y2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（4分）边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中③号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣2023的绝对值是 ．
12．（5分）分解因式：a2﹣1＝ ．
13．（5分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是 ．
14．（5分）如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 ．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 ．
16．（5分）在△ABC中，E是边AB的中点，F是AC边上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．
（1）如图（1），若△ABC为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段CE上时，则AF＝ ；
（2）如图（2），若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8．分别连接AD、BD、CD，若S△ACD＝S△BDC，且CD＝4，则S△ABC＝ ．
三.解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（4﹣a）；
（2）解不等式组：．
18．（8分）图①．图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画△ABC，使△ABC的面积是10；
（2）在图②中画四边形ABDE，使四边形ABDE是轴对称图形；
（3）在图③中的线段AB上找一点P，使AP＝2BP．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（﹣1，3）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．
20．（10分）2022年10月12日，中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，他们生动演示了微重力环境下的多个实验．某中学以其中4个实验（A．浮力消失实验，B．太空冰雪实验，C．水球光学实验，D．太空抛物实验）为主题开展手抄报评比活动，学校天文社团随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m＝ %，A实验所对应的圆心角的度数为 ；
（3）若该校共有学生2000名，请根据上述调查结果，估计有多少人对“太空抛物实验”感兴趣？
21．（8分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）
22．（12分）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（mg）与A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为多少？
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过6cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（mg）的取值范围．
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，△ABC和△ADE是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，求证：△DAB∽△EAC；
【尝试应用】（2）如图2，在Rt△ABC与RtAEDC中，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DBC，且sin，连接AE，若BD＝2，求AE的长；
【拓展提高】（3）如图3，若∠CAB＝90°，∠E＝∠ABC，tan，BD＝5CD，过A作AQ⊥AD交EB延长线于Q，求的值．
24．（14分）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，，点D是半圆上的一个动点，过点D作DE∥AC交直径AB于点E．
（1）求证：∠ADE＝∠CBD；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，若∠ADC＝∠EDB，求cos∠CBD；
（3）如图3，连接CD交AB于点F，若CD＝2AE，
①求AD的长；
②直接写出的值为 ．
2023年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试卷
（参考答案）
一.选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下面四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．π
【解答】解：∵﹣2＜1＜＜π，
∴最小的数是﹣2．
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a10÷a2＝a5
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B．a3•a2＝a5，故本选项符合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（4分）二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位．其中114万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.14×1012 B．1.14×1013 C．1.14×1014 D．1.14×1015
【解答】解：114万亿＝114000000000000＝1.14×1014，
故选：C．
4．（4分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：A．
5．（4分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如表所示：根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（ ）
甲
乙
两
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
【解答】解：∵甲是这四名选手中成绩最好的，
∴m＞91，
又∵甲是发挥最稳定的学生，
∴n＜11，
符合此条件的是m＝92，n＝8.5，
故选：B．
6．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AC＝4，
∴，
∵D，F分别是AB，BC边的中点，
∴DF是Rt△ABC的中位线，，
∴，AC∥DF，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝45°＝∠A，DE⊥DF，
∴，
∴，
故选：D．
8．（4分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
9．（4分）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2） 在新抛物线上，且y1＞y2，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线为y＝（x+2﹣n）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝n﹣2，
∵点A（2，y1），B（4，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，
∴n﹣2＞，
∴n＞5，
故选：D．
10．（4分）边长为a的正方形按如图所示分割成五个小矩形，其中③号小矩形是边长为b的正方形，若①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，则下列小矩形中一定是正方形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：设①号小矩形的长为m，则④号小矩形的宽为a﹣m，
∵①号小矩形的周长为c，且满足2a﹣2b＝c，
∴①号小矩形的宽为a﹣b﹣m，
∴③号小矩形的宽为a﹣（a﹣b﹣m）﹣b＝m，
∴④号小矩形的长为a﹣m，
∴④号小矩形的长和宽都是a﹣m，
即④号小矩形的是正方形，
故选：D．
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）﹣2023的绝对值是 2023 ．
【解答】解：﹣2023的绝对值是2023，
故答案为：2023．
12．（5分）分解因式：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
13．（5分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是 ．
【解答】解：把开关S1、S2、S3分别记为1、2、3，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有4种，
∴同时闭合两个开关能使小灯泡发亮的概率是＝，
故答案为：．
14．（5分）如图，把直角尺的45°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于三点A，B，C，若⊙O的半径为2．则劣弧的长为 π ．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴劣弧的长＝．
故答案为：π．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B是直线y＝﹣x上的一个动点，以A为圆心，以线段AB的长为半径作⊙A，当⊙A与直线y＝﹣x相切时，点B的坐标为 （1，﹣1） ．
【解答】解：如图：过点B作BM⊥OA，垂足为M，
当⊙A与直线y＝﹣x相切时，
则AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵点A（2，0），
∴OA＝2，
∵点B是直线y＝﹣x上的一个动点，
∴设点B的坐标为（m，﹣m），
∴OM＝BM＝m，
∴∠MOB＝45°，
∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝OB，
∵BM⊥OA，
∴OM＝AM＝OA，
∴BM＝OA＝1，
∴OM＝BM＝1，
∴点B的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
16．（5分）在△ABC中，E是边AB的中点，F是AC边上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．
（1）如图（1），若△ABC为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段CE上时，则AF＝ 2﹣2 ；
（2）如图（2），若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8．分别连接AD、BD、CD，若S△ACD＝S△BDC，且CD＝4，则S△ABC＝ 48 ．
【解答】解：（1）过F作FH⊥AE于H，如图：
∵△ABC是边长为4的等边三角形，E为AB中点，
∴∠AEC＝90°，∠A＝60°，AE＝2，
∴∠AFH＝30°，
设AF＝x，则AH＝AF＝x，HF＝AH＝x，
∴EH＝AE﹣AH＝2﹣x，
∵△AEF沿直线EF折叠得△DEF，点D恰好落在线段CE上，
∴∠AEF＝∠DEF＝∠AEC＝45°，
∴△HEF的等腰直角三角形，
∴EH＝HF，即2﹣x＝x，
解得x＝2﹣2，
∴AF＝2﹣2，
故答案为：2﹣2；
（2）设AE＝ED＝y，
∵AE＝EB，
∴S△ADE＝S△EBD，
∵S△ADC＝S△BDC，
∴点D在△ABC的中线CE上，
∵AE2+AC2＝CE2，
∴y2+82＝（y+4）2，
解得y＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∴S△ACB＝•AB•AC＝×12×8＝48．
故答案为：48．
三.解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（a﹣3）2+a（4﹣a）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）（a﹣3）2+a（4﹣a）
＝a2﹣6a+9+4a﹣a2
＝﹣2a+9；
（2），
解不等式3x﹣5＜x+1，得x＜3，
解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得x≥﹣2，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
18．（8分）图①．图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段AB的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画△ABC，使△ABC的面积是10；
（2）在图②中画四边形ABDE，使四边形ABDE是轴对称图形；
（3）在图③中的线段AB上找一点P，使AP＝2BP．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，矩形ABDE为所求作（答案不唯一）．
（3）如图，取AM＝2，BN＝1，
连接MN交AB于P，
∵△AMP∽△BNP，
∴，
∴AP＝2BP，
∴P点为所求作．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点（﹣1，3）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）把点（﹣1，3）代入y＝﹣x+n得，3＝1+n，
∴n＝2，
当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数的值，则n的取值范围是n≥2．
20．（10分）2022年10月12日，中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，他们生动演示了微重力环境下的多个实验．某中学以其中4个实验（A．浮力消失实验，B．太空冰雪实验，C．水球光学实验，D．太空抛物实验）为主题开展手抄报评比活动，学校天文社团随机抽取部分同学调查他们感兴趣的主题，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m＝ 16 %，A实验所对应的圆心角的度数为 108° ；
（3）若该校共有学生2000名，请根据上述调查结果，估计有多少人对“太空抛物实验”感兴趣？
【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：45÷30%＝150（人），
B的人数为：150﹣45﹣24﹣27＝54（人），
补全频数分布直方图如图所示．
（2）1﹣30%﹣36%﹣18%＝16%，
∴m＝16，
A实验所对应的圆心角为30%×360°＝108°．
故答案为：16；108°．
（3）2000×18%＝360（人），
答：估计在全校2000名学生中，约有360人对“太空抛物实验”感兴趣．
21．（8分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）
【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，
∴sinα＝，
∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，
∴CD＝2OD＝3.6m，
答：遮阳宽度CD约为3.6米；
（2）如图，
过点E作EH⊥AB于H，
∴∠BHE＝90°，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，
∴EH＝BF＝3m，
在Rt△AHE中，tana＝，
∴AH＝，
当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，
当∠α＝45°时，AH＝＝3，
∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．
22．（12分）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（mg）与A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（mg）为多少？
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过6cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（mg）的取值范围．
【解答】解：（1）设植物A生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式为yA＝kx+10，根据题意得：
2k+10＝14，
解得k＝2，
∴yA＝2x+10（x≥0）；
设植物B生长高度y（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系式为yB＝mx+25，根据题意得：
25m+25＝0，
解得m＝﹣1，
∴yB＝﹣x+25（0≤x≤25）；
（2）当两种植物生长高度相同时，2x+10＝﹣x+25，
解得x＝5，
答：两种植物生长高度相同时，药物的施用量为5mg；
（3）由题意得：
，
解得3≤x≤7，
故该药物施用量x（mg）的取值范围为3≤x≤7．
23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，△ABC和△ADE是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，求证：△DAB∽△EAC；
【尝试应用】（2）如图2，在Rt△ABC与RtAEDC中，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DBC，且sin，连接AE，若BD＝2，求AE的长；
【拓展提高】（3）如图3，若∠CAB＝90°，∠E＝∠ABC，tan，BD＝5CD，过A作AQ⊥AD交EB延长线于Q，求的值．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△DAB∽△EAC；
（2）解：∵∠BAC＝∠DBC，sin，
∴sin∠BAC＝sin∠DBC＝＝，
∴AB＝3BC，DE＝3CD，
∴AC＝＝2BC，CE＝＝2CD，
∴＝2，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△CBD∽△CAE，
∴，
∵BD＝2，
∴AE＝4；
（3）解：如图3，在AC上截取CH＝CD，连接DH，
∵tanE＝，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠ABC＝30°，∠ABE＝60°，
设AC＝3a，则BC＝2AC＝6a，AB＝AC＝3a，
∵BD＝5CD，
∴BD＝5a，CD＝a＝CH，
∵∠ACB＝90°﹣∠ABC＝60°，
∴△CDH是等边三角形，
∴CH＝CD＝HD＝a，∠CHD＝120°，
∴AH＝2a，
∵∠ABQ＝180°﹣∠ABE＝120°，
∴∠ABQ＝∠AHD，
∵∠BAC＝∠DAQ＝90°，
∴∠DAH∽△QAB，
∴，
∴＝，
∴BQ＝a，
∴＝．
24．（14分）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，，点D是半圆上的一个动点，过点D作DE∥AC交直径AB于点E．
（1）求证：∠ADE＝∠CBD；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，若∠ADC＝∠EDB，求cos∠CBD；
（3）如图3，连接CD交AB于点F，若CD＝2AE，
①求AD的长；
②直接写出的值为 ．
【解答】（1）证明：如图所示，延长DF交⊙O于点P，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴∠ADE＝∠CBD；
（2）解：如图所示，延长DF交⊙O于点P，
∵AB为⊙O的直径，AB＝5，，
∴∠ACB＝90°，设AC＝3k，BC＝4k，则AB＝5k，
∴k＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴，
∴，
∴PB＝AC＝3，AP＝BC＝4，
∵，
∴∠ABD＝∠CBP，
∴∠CBD＝∠ABC+∠CBP＝∠ABP，
∵，
∴∠ABP＝∠CAB，
∴∠CBD＝∠CAB，
∴；
（3）解：①由（1）可知∠ADE＝∠CBD，
∵，
∴∠DAE＝∠DCB，
∴△BCD∽△DAE，
∴，
∵CD＝2AE，
∴BC＝2AD，
∵BC＝4，
∴AD＝2；
②∵AD＝2，
∴，
∵，
∴∠DAF＝∠DCB，
∵，
∴∠ADF＝∠ABC，
∴△DAF∽△BCF，
∴，
∴BF＝2DF，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACF∽△DBF，
∴，
∴，
解得：BF＝，
∴AF＝，
∴＝，
故答案为：．
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