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2023年广东省深圳市南山区南外集团桃源中学中学数学三模试卷(含答案)
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这是一份2023年广东省深圳市南山区南外集团桃源中学中学数学三模试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
南山区南外集团桃源中学2023年中学数学三模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3． 下列计算错误的是（ ）
A．a·a＝a2 B．2a＋a＝3a C．（a3）2＝a5 D．a3÷a－1＝a4
4． 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
5． 如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．38° C．24° D．33°
6． 把二次函数y＝x2＋2x＋1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x－1）2＋2 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x＋3）2－1
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
8．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ）
A．－2 B．－2 C．－ D．－
9．已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则y＝ax＋b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．抛物线y＝2（x－3）2＋1的顶点坐标是 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
13．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A、B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米．
14．如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，EB＝8，AB＝4，连接AE，将△ABE沿AE所在的直线翻折，得到△AB'E，B'E交AD于点F，将△AB'E沿B'E所在的直线翻折，得到△A'B'E，A'E交AD于点G，的值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．（5分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：（）÷，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
18．（8分）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 ，参加调查的总人数为 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 人．
19．（8分）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．
21．（10分）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称．其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点（－4，2），（1，－2）关于x轴斜对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴斜对称的是 （只填序号）；
①（3，－1），②（－2，1），③（2，－1），④（－1，－1）．
（2）若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线y＝kx＋1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝x2－bx－1上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且△DMN为等腰直角三角形，则b的值为 ．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
南山区南外集团桃源中学三模参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：cos60°＝．
故选：A．
2．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体的俯视图是：．
故选：A．
3．下列计算错误的是（ ）
A．a•a＝a2 B．2a＋a＝3a C．（a3）2＝a5 D．a3÷a－1＝a4
【解答】解：A、a•a＝a2，正确，不合题意；
B、2a＋a＝3a，正确，不合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项错误，符合题意；
D、a3÷a－1＝a4，正确，不合题意；
故选：C．
4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50－15＝35个．
故选：D．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．38° C．24° D．33°
【解答】解：∵＝，∠AOB＝76°，
∴∠C＝∠AOB＝38°，
故选：B．
6．把二次函数y＝x2＋2x＋1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x－1）2＋2 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x＋3）2－1
【解答】解：y＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2，
将二次函数y＝（x＋1）2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的二次函数y＝（x＋1－2）2＋1，即y＝（x－1）2＋1．
故选：C．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，
即∠ABC＝90°或AC＝BD，
故选：A．
8．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ）
A．－2 B．－2 C．－ D．－
【解答】解：连接OC，过O作OM⊥AC于M，
∵∠AOB＝120°，C为弧AB中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OC＝OB＝2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，
∴△AOC的边AC上的高是＝，
△BOC边BC上的高为，
∴阴影部分的面积是－×2×＋－×2×＝π－2，
故选：A．
9．已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则y＝ax＋b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax＋b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
10．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【解答】解：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC＝4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，
∴DE＝3，
∴AD＝DC＝＝5．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y＝2（x－3）2＋1的顶点坐标是 （3，1） ．
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ 3 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD＋AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD＋×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
13．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A、B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 0.96 米．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠ABO，∠CDO＝∠BAO，
∴△CDO∽△BAO，
∴，
∵AB＝1.2米，
∴，
解得：CD＝0.96米，
故答案为：0.96．
14．如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为 －2 ．
【解答】解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
∴△OEB∽△OCD，
∴，
∴S△OCD＝1，
则，
∴k＝xy＝－2．
故答案为：－2．
15．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，EB＝8，AB＝4，连接AE，将△ABE沿AE所在的直线翻折，得到△AB'E，B'E交AD于点F，将△AB'E沿B'E所在的直线翻折，得到△A'B'E，A'E交AD于点G，的值为 ．
【解答】解法一：由折叠的性质可知，AB＝A′B＝A′B′＝4，BE＝B′E＝8，AE＝A′E，∠AEB＝∠AEB′＝∠A′EB′，∠B＝∠AB′E＝∠A′B′E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，BC∥AD，
∴∠AEB＝∠FAE，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，∠FAE＝∠AEB′，
∴EF＝AF，
设EF＝AF＝x，则B′F＝B′E－EF＝8－x，
在Rt△AB′F中，由勾股定理可得AF2＝B′F2＋AB′2，
即x2＝（8－x）2＋42，
解得：x＝5，
∴EF＝AF＝5，B′F＝3，
∴tan∠FAB′＝＝，
过点G作GH⊥B′E于点H，如图，
则GH∥AB′，
∴，∠EFB′＝∠HGF，
∴tan∠HGF＝＝，
设HF＝3a，HG＝4a，
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝，
∴tan∠A′EB′＝，
在Rt△EHG中，tan∠GEH＝＝，
即
∴EH＝8a，
∵B′F＋HF＋EH＝B′E＝8，
∴3＋3a＋8a＝8，
解得：a＝，
∴EH＝8×＝，HF＝3×＝，
∴HB′＝B′F＋HF＝3＋＝，
∴＝＝．
故答案为：．
解法二：过点A′作A′K∥AD，交EB′的延长线于点K，如图，
由折叠的性质可知，AB＝A′B＝A′B′＝4，BE＝B′E＝8，∠AEB＝∠AEB′＝∠A′EB′，∠B＝∠AB′E＝∠A′B′E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，BC∥AD，
∴∠AEB＝∠FAE，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，∠FAE＝∠AEB′，
∴EF＝AF，
设EF＝AF＝x，则B′F＝B′E－EF＝8－x，
在Rt△AB′F中，由勾股定理可得AF2＝B′F2＋AB′2，
即x2＝（8－x）2＋42，
解得：x＝5，
∴EF＝AF＝5，B′F＝3，
∵A′K∥AD，
∴∠FAB′＝∠KA′B′，∠AFB′＝∠A′KB′，
在△AB′F和△A′B′K中，
，
∴△AB′F≌△A′B′K（AAS），
∴B′F＝B′K＝3，
∴FK＝B′F＋KB′＝6，
∵A′K∥AD，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．计算：．
【解答】解：
＝＋2×＋（－1）－2×
＝＋1＋－1－
＝．
17．先化简，再求值：（）÷，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝2x＋8，
分母不能为0，则x≠±2，
除数不能为0，则x≠0，
当x＝1时，原式＝2＋8＝10．
18．11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 20% ，参加调查的总人数为 400 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 72° ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 13400 人．
【解答】解：（1）40÷10%＝400（人），
x＝100%－10%－25%－45%＝20%，400×20%＝80（人），
故答案为：20%，400；
如图所示；
（2）20%×360°＝72°，
故答案为：72°；
（3）67000×20%＝13400（人），
故答案为：13400．
19．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【解答】解：（1）设每千克售价x元时，所得日均总利润为700元，
由题意可得：（x－6）[160－20×（x－10）]＝700，
解得x1＝11，x2＝13，
当x1＝11时，160－20×（x－10）＝160－20×（11－10）＝140，
当x2＝13时，160－20×（x－10）＝160－20×（13－10）＝100，
∵为了尽快减少库存，
∴售价为11元；
（2）解：设利润为W元，
由题意可得：W＝（x－6）[160－20（x－10）]＝（x－6）（360－20x）＝－20x2＋480x－2160，
∵－20＜0，
∴当时，利润W取得最大值，此时W＝720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠D．
∵CD⊥AC，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠CBE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝90°．
∴OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：设CD与⊙O交于点G，连接BF，BG，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∵∠CFB＝∠CGB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形CFBG为矩形．
∴BG＝FC．
在Rt△AFB中，
∵AF＝2，tanA＝2＝，
∴BF＝4．
设AC＝BC＝x，则CF＝x－2．
∵CF2＋BF2＝BC2，
∴（x－2）2＋42＝x2，
解得：x＝5，
∴FC＝3，BC＝5．
∴BG＝3．
∵∠CBE＝90°，BG⊥CE，
∴△CBG∽△BGE．
∴，
∴，
∴EG＝．
∴BE＝＝．
21．在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称．其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点（－4，2），（1，－2）关于x轴斜对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴斜对称的是 ①④ （只填序号）；
①（3，－1），②（－2，1），③（2，－1），④（－1，－1）．
（2）若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线y＝kx＋1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝x2－bx－1上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且△DMN为等腰直角三角形，则b的值为 2 ．
【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于x轴纵对称的点的纵坐标为－1，横坐标为不等于2，
∴②③不是点A关于x轴纵对称的点，①④是点A关于x轴纵对称的点，
故答案为：①④；
（2）由题意可得点B的纵坐标为－1，设点B的坐标为（x，－1），
①当x＞0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥y轴于M，作BN⊥y轴于N，
∴S△AOB＝S梯形AMNB－S△AOM－S△BON＝（2＋x）×（1＋1）－×2×1－x•1＝3，
∴x＝4，
∴点B的坐标为（4，－1），
∵点B恰好落在直线y＝kx＋1上，
∴4k＋1＝－1，解得k＝－，
∴k的值为－；
②当x＜0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥x轴，作BN⊥y轴于N，AM、BN交于点M，
∴S△AOB＝S△ABM－S梯形AMNO－S△BON＝（2－x）×（1＋1）－×（1＋1＋1）×2－（－x）×1＝3，
∴x＝－8，
∴点B的坐标为（－8，－1），
∵点B恰好落在直线y＝kx＋1上，
∴－8k＋1＝－1，解得k＝，
∴k的值为．
综上，k的值为－或；
（3）令y＝－1，则x2－bx－1＝－1，
∴x1＝0，x2＝b，
不妨假设M（0，－1），N（b，－1），
∵抛物线的顶点D（，），
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴b＝2（－1－），
解得b＝－2或2（2不符合题意舍去），
∴b＝－2．
22．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋2；
（2）由题意可知C（0，2），A（－1，0），B（4，0），
∴AB＝5，OC＝2，
∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，
∵S△ABC＝S△ABD，
∴S△ABD＝×5＝，
设D（x，y），
∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，
当y＝3时，由－x2＋x＋2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y＝－3时，由－x2＋x＋2＝－3，解得x＝－2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，－3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，－3）；
（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴AC＝＝，BC＝＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC＝45°，
∴∠CFB＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y＝kx＋m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y＝－3x＋12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，－3），
∴BE＝＝．
南山区南外集团桃源中学2023年中学数学三模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3． 下列计算错误的是（ ）
A．a·a＝a2 B．2a＋a＝3a C．（a3）2＝a5 D．a3÷a－1＝a4
4． 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
5． 如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．38° C．24° D．33°
6． 把二次函数y＝x2＋2x＋1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x－1）2＋2 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x＋3）2－1
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
8．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ）
A．－2 B．－2 C．－ D．－
9．已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则y＝ax＋b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．抛物线y＝2（x－3）2＋1的顶点坐标是 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
13．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A、B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米．
14．如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，EB＝8，AB＝4，连接AE，将△ABE沿AE所在的直线翻折，得到△AB'E，B'E交AD于点F，将△AB'E沿B'E所在的直线翻折，得到△A'B'E，A'E交AD于点G，的值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．（5分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：（）÷，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
18．（8分）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 ，参加调查的总人数为 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 人．
19．（8分）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．
21．（10分）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称．其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点（－4，2），（1，－2）关于x轴斜对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴斜对称的是 （只填序号）；
①（3，－1），②（－2，1），③（2，－1），④（－1，－1）．
（2）若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线y＝kx＋1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝x2－bx－1上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且△DMN为等腰直角三角形，则b的值为 ．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
南山区南外集团桃源中学三模参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：cos60°＝．
故选：A．
2．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体的俯视图是：．
故选：A．
3．下列计算错误的是（ ）
A．a•a＝a2 B．2a＋a＝3a C．（a3）2＝a5 D．a3÷a－1＝a4
【解答】解：A、a•a＝a2，正确，不合题意；
B、2a＋a＝3a，正确，不合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项错误，符合题意；
D、a3÷a－1＝a4，正确，不合题意；
故选：C．
4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50－15＝35个．
故选：D．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．76° B．38° C．24° D．33°
【解答】解：∵＝，∠AOB＝76°，
∴∠C＝∠AOB＝38°，
故选：B．
6．把二次函数y＝x2＋2x＋1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（ ）
A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x－1）2＋2 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x＋3）2－1
【解答】解：y＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2，
将二次函数y＝（x＋1）2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的二次函数y＝（x＋1－2）2＋1，即y＝（x－1）2＋1．
故选：C．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，
即∠ABC＝90°或AC＝BD，
故选：A．
8．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（ ）
A．－2 B．－2 C．－ D．－
【解答】解：连接OC，过O作OM⊥AC于M，
∵∠AOB＝120°，C为弧AB中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OC＝OB＝2，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，
∴△AOC的边AC上的高是＝，
△BOC边BC上的高为，
∴阴影部分的面积是－×2×＋－×2×＝π－2，
故选：A．
9．已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则y＝ax＋b和y＝的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y＝ax＋b过一、二、四象限，
双曲线y＝在二、四象限，
∴C是正确的．
故选：C．
10．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【解答】解：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC＝4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，
∴DE＝3，
∴AD＝DC＝＝5．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y＝2（x－3）2＋1的顶点坐标是 （3，1） ．
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ 3 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD＋AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD＋×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
13．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，点A、B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 0.96 米．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠ABO，∠CDO＝∠BAO，
∴△CDO∽△BAO，
∴，
∵AB＝1.2米，
∴，
解得：CD＝0.96米，
故答案为：0.96．
14．如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为 －2 ．
【解答】解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
∴△OEB∽△OCD，
∴，
∴S△OCD＝1，
则，
∴k＝xy＝－2．
故答案为：－2．
15．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，EB＝8，AB＝4，连接AE，将△ABE沿AE所在的直线翻折，得到△AB'E，B'E交AD于点F，将△AB'E沿B'E所在的直线翻折，得到△A'B'E，A'E交AD于点G，的值为 ．
【解答】解法一：由折叠的性质可知，AB＝A′B＝A′B′＝4，BE＝B′E＝8，AE＝A′E，∠AEB＝∠AEB′＝∠A′EB′，∠B＝∠AB′E＝∠A′B′E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，BC∥AD，
∴∠AEB＝∠FAE，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，∠FAE＝∠AEB′，
∴EF＝AF，
设EF＝AF＝x，则B′F＝B′E－EF＝8－x，
在Rt△AB′F中，由勾股定理可得AF2＝B′F2＋AB′2，
即x2＝（8－x）2＋42，
解得：x＝5，
∴EF＝AF＝5，B′F＝3，
∴tan∠FAB′＝＝，
过点G作GH⊥B′E于点H，如图，
则GH∥AB′，
∴，∠EFB′＝∠HGF，
∴tan∠HGF＝＝，
设HF＝3a，HG＝4a，
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝，
∴tan∠A′EB′＝，
在Rt△EHG中，tan∠GEH＝＝，
即
∴EH＝8a，
∵B′F＋HF＋EH＝B′E＝8，
∴3＋3a＋8a＝8，
解得：a＝，
∴EH＝8×＝，HF＝3×＝，
∴HB′＝B′F＋HF＝3＋＝，
∴＝＝．
故答案为：．
解法二：过点A′作A′K∥AD，交EB′的延长线于点K，如图，
由折叠的性质可知，AB＝A′B＝A′B′＝4，BE＝B′E＝8，∠AEB＝∠AEB′＝∠A′EB′，∠B＝∠AB′E＝∠A′B′E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，BC∥AD，
∴∠AEB＝∠FAE，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，∠FAE＝∠AEB′，
∴EF＝AF，
设EF＝AF＝x，则B′F＝B′E－EF＝8－x，
在Rt△AB′F中，由勾股定理可得AF2＝B′F2＋AB′2，
即x2＝（8－x）2＋42，
解得：x＝5，
∴EF＝AF＝5，B′F＝3，
∵A′K∥AD，
∴∠FAB′＝∠KA′B′，∠AFB′＝∠A′KB′，
在△AB′F和△A′B′K中，
，
∴△AB′F≌△A′B′K（AAS），
∴B′F＝B′K＝3，
∴FK＝B′F＋KB′＝6，
∵A′K∥AD，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16．计算：．
【解答】解：
＝＋2×＋（－1）－2×
＝＋1＋－1－
＝．
17．先化简，再求值：（）÷，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝2x＋8，
分母不能为0，则x≠±2，
除数不能为0，则x≠0，
当x＝1时，原式＝2＋8＝10．
18．11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 20% ，参加调查的总人数为 400 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 72° ．
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 13400 人．
【解答】解：（1）40÷10%＝400（人），
x＝100%－10%－25%－45%＝20%，400×20%＝80（人），
故答案为：20%，400；
如图所示；
（2）20%×360°＝72°，
故答案为：72°；
（3）67000×20%＝13400（人），
故答案为：13400．
19．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【解答】解：（1）设每千克售价x元时，所得日均总利润为700元，
由题意可得：（x－6）[160－20×（x－10）]＝700，
解得x1＝11，x2＝13，
当x1＝11时，160－20×（x－10）＝160－20×（11－10）＝140，
当x2＝13时，160－20×（x－10）＝160－20×（13－10）＝100，
∵为了尽快减少库存，
∴售价为11元；
（2）解：设利润为W元，
由题意可得：W＝（x－6）[160－20（x－10）]＝（x－6）（360－20x）＝－20x2＋480x－2160，
∵－20＜0，
∴当时，利润W取得最大值，此时W＝720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠D．
∵CD⊥AC，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠CBE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝90°．
∴OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：设CD与⊙O交于点G，连接BF，BG，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∵∠CFB＝∠CGB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形CFBG为矩形．
∴BG＝FC．
在Rt△AFB中，
∵AF＝2，tanA＝2＝，
∴BF＝4．
设AC＝BC＝x，则CF＝x－2．
∵CF2＋BF2＝BC2，
∴（x－2）2＋42＝x2，
解得：x＝5，
∴FC＝3，BC＝5．
∴BG＝3．
∵∠CBE＝90°，BG⊥CE，
∴△CBG∽△BGE．
∴，
∴，
∴EG＝．
∴BE＝＝．
21．在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称．其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点（－4，2），（1，－2）关于x轴斜对称．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1）．
（1）下列各点中，与点A关于x轴斜对称的是 ①④ （只填序号）；
①（3，－1），②（－2，1），③（2，－1），④（－1，－1）．
（2）若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线y＝kx＋1上，△AOB的面积为3，求k的值；
（3）抛物线y＝x2－bx－1上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且△DMN为等腰直角三角形，则b的值为 2 ．
【解答】解：（1）根据题意得：与点A关于x轴纵对称的点的纵坐标为－1，横坐标为不等于2，
∴②③不是点A关于x轴纵对称的点，①④是点A关于x轴纵对称的点，
故答案为：①④；
（2）由题意可得点B的纵坐标为－1，设点B的坐标为（x，－1），
①当x＞0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥y轴于M，作BN⊥y轴于N，
∴S△AOB＝S梯形AMNB－S△AOM－S△BON＝（2＋x）×（1＋1）－×2×1－x•1＝3，
∴x＝4，
∴点B的坐标为（4，－1），
∵点B恰好落在直线y＝kx＋1上，
∴4k＋1＝－1，解得k＝－，
∴k的值为－；
②当x＜0时，如图，分别过点A、点B作AM⊥x轴，作BN⊥y轴于N，AM、BN交于点M，
∴S△AOB＝S△ABM－S梯形AMNO－S△BON＝（2－x）×（1＋1）－×（1＋1＋1）×2－（－x）×1＝3，
∴x＝－8，
∴点B的坐标为（－8，－1），
∵点B恰好落在直线y＝kx＋1上，
∴－8k＋1＝－1，解得k＝，
∴k的值为．
综上，k的值为－或；
（3）令y＝－1，则x2－bx－1＝－1，
∴x1＝0，x2＝b，
不妨假设M（0，－1），N（b，－1），
∵抛物线的顶点D（，），
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴b＝2（－1－），
解得b＝－2或2（2不符合题意舍去），
∴b＝－2．
22．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC＝S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋2；
（2）由题意可知C（0，2），A（－1，0），B（4，0），
∴AB＝5，OC＝2，
∴S△ABC＝AB•OC＝×5×2＝5，
∵S△ABC＝S△ABD，
∴S△ABD＝×5＝，
设D（x，y），
∴AB•|y|＝×5|y|＝，解得|y|＝3，
当y＝3时，由－x2＋x＋2＝3，解得x＝1或x＝2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y＝－3时，由－x2＋x＋2＝－3，解得x＝－2（舍去）或x＝5，此时D点坐标为（5，－3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，－3）；
（3）∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴AC＝＝，BC＝＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC＝45°，
∴∠CFB＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴＝，即＝，解得OM＝2，＝，即＝，解得FM＝6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y＝kx＋m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y＝－3x＋12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，－3），
∴BE＝＝．
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