四川省德阳市重点中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题及答案解析

这是一份四川省德阳市重点中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题及答案解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上）
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 记为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
A. “”是方程“表示椭圆的充要条件”，
B. 已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，
C. 命题“，使得”否定是：“，均有” ，
D. 函数的图像必过．
5 设，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（ ）种

A. 36B. 48C. 54D. 72
8. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A. －1B. －2C. 1D. 2
9. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 设函数的导函数为，对任意都有成立，则（ ）
A. B.
C D.
11. 若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
12. 函数，．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上）
13. 若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______．
14. 已知，求的常数项系数为______．
15. 设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
16. 在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．
①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；
②当时，面与正方体的截面面积为；
③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；
④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写在文字说明及演算步骤．）
17. 2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：
（1）疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅
附：对于一组组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
参考数据：．
18. 在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.
（1）若平面，证明：是的中点.
（2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20. 在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围
21. 已知函数．
（1）若在上，最小值为0，求；
（2）若在上有两个零点，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22. 已知直线参数方程为(为参数)，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．
23. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若为正实数，且，证明不等式.
答案解析
一、选择题（本大题共12个小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程组即可求解.
【详解】联立，可得，
故.
故选:D.
2. 记为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列求和公式结合等差数列的性质可求得结果.
【详解】由题意可得.
故选：C.
3. 已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】由点，，可得，
又由，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则，
所以点的轨迹方程为.
故选：C.
4. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
A. “”是方程“表示椭圆的充要条件”，
B. 已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，
C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” ，
D. 函数的图像必过．
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义可判断A,根据空间中两平面的关系可判断B,由特称命题的否定为全称命题可判断C，由对数型函数的定点问题可判断D.
【详解】若表示椭圆，则需要满足，解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，
对于B,若，，则，可能相交也可能平行，故B错误，
对于C,命题“，使得”的否定是：“，均有” ，故C错误，
对于D,函数的图像必过,故D正确，
故选：D
5 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令求出，再令求出，即可得解.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
所以.
故选：A
6. 函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.
【详解】因为，令，则，
即，解得，或，解得，
所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，
所以排除AD；
当时，，
则，当时，，
所以当时，，函数单调递增，所以B正确；
故选：B.
7. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（ ）种

A. 36B. 48C. 54D. 72
【答案】D
【解析】
【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可.
【详解】
如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，
①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；
②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，
故有种方案.
故选：D
8. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A. －1B. －2C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】根据常用函数的导数可知：，，
则两函数在点和处的切线分别为：，化简得
由题意可得：，化简得.
故选：B
9. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.
【详解】设球O的半径为R，的外心为，
由题意得外接圆半径为，面积为，
所以，
所以最大值，
所以，即，解得，
所以球O的表面积为.
故选:A.

10. 设函数的导函数为，对任意都有成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案．
【详解】由，则，
设 ，
则在上单调递减.
则，即 ，
即.
故选：A.
11. 若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】可设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，利用椭圆和双曲线的定义可得，，再利用垂直关系可得，
联立即可得解.
【详解】设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，
设，，
所以，，
平方和相加可得，
由则，
所以，
所以，
即，，
即.
故选：C
12. 函数，．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，构造得到，令，结合，分和，利用导数求得单调区间和最小值，即可求解.
【详解】根据题意，可得，则，
由，可得，即，
令（其中且）且，
①当时，可得，所以，不满足题意，舍去；
②当时，，且，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，也为最小值，
所以，即，
所以的最小值为.
故选：C.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上）
13. 若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据共轭复数定义可得，再由复数的乘法运算可得.
【详解】由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；
所以.
故答案为：
14. 已知，求的常数项系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用微积分基本定理求出，再利用二项式展开式的通项计算可得.
【详解】因为，
所以，展开式的通项为，
令，解得，所以，故展开式的常数项为.
故答案为：
15. 设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值.
详解】由得，故,由得,
由于直线与直线互相垂直，所以,
故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10
故答案为：10
16. 在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．
①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；
②当时，面与正方体的截面面积为；
③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；
④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
让从开始逐渐向运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．
【详解】由题设可得为所在棱的中点.
当时，如图（1），
直线 分别交与，连接并延长于，
连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.
当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，
其面积为，故B正确.
当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.
如图（4），
在平面内，设，则，而平面，
故平面，同理平面，
故平面平面即、、三条直线交于一点.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写在文字说明及演算步骤．）
17. 2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：
（1）疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅
附：对于一组组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
参考数据：．
【答案】（1）y＝1.4x＋9.6；
（2）1月19日新增病例人数将超过36人．
【解析】
【分析】（1）由所给数据，利用最小二乘法结论求即可；
（2）根据回归方程预测即可.
【小问1详解】
，，
，
∴，，
∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6.
【小问2详解】
由1.4x＋9.6＞36，，解得,
所以1月19日新增病例人数将超过36人．
18. 在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）求取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）由，得到，且，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理得,
又由余弦定理得，
因为，所以.
【小问2详解】
解：由，可得，所以，且，
则，
因为，所以，
结合正弦函数图象，可得，，
所以的取值范围为．
19. 如图，在四棱锥中，已知底面正方形，底面，且是棱上一点.
（1）若平面，证明：是的中点.
（2）线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，且O为的中点，则E是的中点；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，列出与相关的方程，解出即可.
【小问1详解】
证明：如图，连接交于点O，连接，
因为是正方形，所以O是的中点，
又平面，平面，平面平面，
所以，
因为O为的中点，所以E是的中点.
【小问2详解】
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设（），设，，,
，则，
则，，，
由且，可知是平面的一个法向量.
设为平面的法向量，则，
即，取，，，则，
，解得，即.
20. 在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据伸缩变换的规律可知将代入曲线中，即可得曲线的方程；
（2）设出两点坐标为，，再利用即可得出，将代入椭圆方程联立可解得，再由椭圆性质即可求得实数的取值范围为.
小问1详解】
由伸缩变换可知；
将代入得，
即曲线的方程为．
【小问2详解】
如下图所示：

设，，
由得，
从而，，即，
因为点A在椭圆上，故，
即，
又在椭圆上，即，
解得，
由椭圆定义知，故，
解得，
又由题设知，故，
所以实数的取值范围是．
21. 已知函数．
（1）若在上，最小值为0，求；
（2）若在上有两个零点，证明：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）函数变形为，则最小值为0，求导数，由求得极小值点，从而也是最小值点，然后可得．
（2）先对的零点进行处理，则由，得，取对数得，同理，消去参数，得，不等式就变为，即，设，不妨设，则，这样问题转化为证明则，令，利用导数求得函数的单调性后可证结论成立．
【详解】（1）的最小值为0，
即最小值为0，
，时，，递减，时，，递增，∴仅当时，取最小值，
即；
（2），故可知：，
两边取对数得，
同理，，
两式相减并整理得：，
欲证，只须证：，
不妨设，
原式化为：，
令，则，
令，
，
故为增函数，
，故原式得证．
【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化．第一小题中直接对求导，求最小值不方便，但变形为的最小值为0，即最小值为0，对求最小值就比较简单．第二题证明不等式，可能没法下手．因此对进行深入的认识，利用零点变形得，，消去参数得，从而题设不等式变为，这类不等式可通过设可转化为研究函数的单调性和最值．
请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22. 已知直线的参数方程为(为参数)，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两边同时乘以，根据互化公式可得结果；
（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求出结果.
【小问1详解】
由，得，
将，代入，得圆C的直角坐标方程为.
【小问2详解】
把参数方程化为标准形式：，
代入得，
设，是上述方程的两根，则有,,
因此由t的几何意义可知．
23. 已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若为正实数，且，证明不等式.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；
（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.
【小问1详解】
由题知，
其函数图象如图所示，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
解法一：利用基本不等式：
，
当且仅当时取等号.
所以，.
解法二：利用柯西不等式：，
当且仅当时取等号.
所以，.
1月x日
12
13
14
15
新增病例y人
26
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