2023年四川省泸州市高考数学三模试卷（理科）

这是一份2023年四川省泸州市高考数学三模试卷（理科），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，且，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知向量，满足，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  工业生产者出厂价格指数反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响下图是我国年各月涨跌幅折线图注：如图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率

下列说法中，最贴切的一项为(    )A. 年逐月减小
B. 年逐月减小
C. 年各月同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差
D. 年上半年各月同比涨跌幅的方差小于下半年各月同比涨跌幅的方差4.  执行右图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为(    )A.
B.
C.
D.
 5.  将名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到个场馆，每个场馆至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种6.  函数的图象大致为(    )A.  B.
C.  D. 7.  将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数(    )A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增8.  记为等差数列的前项和，已知，，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，于，若，为坐标原点，则与的面积之比为(    )A.  B.  C.  D. 10.  在直三棱柱中，，，点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，给出下列个结论：
；
；
；
．
其中所有正确结论的序号是(    )A.  B.  C.  D. 12.  设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  计算复数______．14.  已知，满足约束条件则的最小值为______ ．15.  已知数列满足，，则 ______ ．16.  在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两条生产线中各随机抽取了件产品，并对每件产品进行评分，得分均在内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于产品为“优质品”．

求在甲生产线所抽取件产品的评分的均值同一区间用区间中点值作代表；
将频率视作概率，用样本估计总体在甲、乙两条生产线各随机选取件产品，记“优质品”件数为，求的分布列和数学期望18.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知：：：：，．
求的值；
求的值；
求的值．19.  本小题分
如图，正方形的边长为，平面，平面，，为棱上一点．
是否存在点，使得直线平面？若存在，请指出点的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；
当的面积最小时，求二面角的余弦值．
20.  本小题分
已知椭圆：的右焦点为，短轴长等于焦距．
求的方程；
过的直线交于，，交直线于点，记，，的斜率分别为，，，若，求的值．21.  本小题分
已知函数．
若在区间上存在单调递增区间，求的取值范围；
若，，求的取值范围．22.  本小题分在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．写出的极坐标方程；设射线：和射线：与分别交于，两点，求面积的最大值． 23.  本小题分
已知函数．
画出的图象，并写出的解集；
令的最小值为，正数，满足，证明：．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，
，且，
，
则实数的取值范围是．
故选：．
求出集合，，利用并集定义、不等式性质求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
进行向量数量积的运算即可．
本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：对于，由年月，同比为负可知，年月大于年月，
由年月，环比为正可知，年月大于年月，
由年月，同比为正可知，年月大于年月，
故年月大于年月，逐月减小说法不正确，故选项A错误；
对于，年同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，
因此年各月同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；
对于，年月、月等月份，环比均为正，相对于上月有增长，逐月减小说法不正确，故选项B错误；
对于，年上半年各月同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月同比涨跌幅的数据波动幅度要小，
因此年上半年各月同比涨跌幅的方差小于下半年各月同比涨跌幅的方差，故选项D正确．
故选：．
由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可．
本题考查统计相关知识，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：若输入的值为，则输出．
故选：．
根据程序框图可知，再结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，再将这组志愿者分配给个场馆，因此，不同的分配方案种数为．
故选：．
先将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，再将这组志愿者分配给个场馆，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题考查分步乘法计数原理，排列、组合的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：函数的定义域为，且，
则函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项BC；
又当时，，则排除选项D．
故选：．
由函数的奇偶性排除选项BC，由当时，，排除选项D，进而得解．
本题考查根据函数性质确定函数图象，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度，
则所得图象为，
对于，，
则，在该区间不单调性，故A错误；
对于，，
则，在该区间上单调递减，故B正确；
同理可得，对于，在其对应的区间均不单调，故CD错误．
故选：．
先求出变换后的图象，再结合余弦函数的单调性，即可求解．
本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设公差为，则，，
，
所以时，取得最小值．
故选：．
由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．
本题考查等差数列的公式和性质，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：依题意，由于，得，即是正三角形，，

而，则直线的方程为，
由，消去并整理，得，
令，，解得，又准线：，
因此，
所以与的面积之比．
故选：．
根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出，的长即可求解作答．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：分别取，中点，，连接，则，平面，
连接，，，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，

则由已知得，，，，，
，，
，，
，
平面的一个法向量是，
设直线与平面所成角为，则，
，
时，，即的最大值为．
故选：．
分别取，中点，，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的最大值．
本题考查线面角的定义及求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：在同一坐标系作出与的图象，

设在处的切线方程过原点，，
则曲线在处的切线方程为，
将原点代入切线解得，
故在处的切线方程为，有两个零点，则，
由于与，与互为反函数，
故有两个零点，则，
设函数与图象交点坐标分别为，，
与图象交点坐标分别为，，
其中点、关于直线对称，、关于直线对称，
则，，且，故正确，
对于，构造函数，其中，则，
所以函数在上单调递增，则，
故当时，，
构造函数，其中，则，
当时，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减，
故当时，，即当且仅当时，等号成立，
若，则，又因为，可得，
所以，与矛盾，故错．
故选：．
在同一坐标系作出与的图象，利用反函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查了反函数的性质，考查了利用导数的几何意义求切线方程，同时考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：由圆的方程知，，
又，在直角中，，
且．
在中，，的面积，
．
在中，，
由正弦定理，，
，
由双曲线定义，，
又，，，
，即．
为直角，易知为钝角，
由知，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
，
整理得，．
又，将代入，解得．
双曲线的方程为：．
故选：．
由双曲线定义，的面积，直角中的锐角三角函数和中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意，约束条件对应的平面区域为如图的阴影部分，
设，则，则的几何意义为直线在轴上的截距，
设直线和的交点为，
，解可得，即的坐标为，
分析可得：当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，即最大，的值最小，
此时．
故答案为：．
根据题意，作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
本题考查线性规划的应用，涉及二元一次不等式的几何意义，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：数列满足，且，
，
，又，
是首项为，公比为的等比数列，
，
．
故答案为：．
由已知条件得，从而得到是首项为，公比为的等比数列，由此能求出．
本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，
 16.【答案】 【解析】解：如图，取中点，连接，，

由，则，，由面面，面面，
面，所以面，而面，所以，
设，，则，，
易知≌，，取外接圆的圆，
易知在直线上，设外接圆半径为，
由正弦定理，
同理，取外接圆的圆心，则在直线上，，
过，分别做平面和平面的垂线交于点，
易证≌≌，≌≌，
，为三棱锥外接球的球心．
当时，，，
，分别在线段，上，易知，
设三棱锥外接球的半径为，
则，
由基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立．
当时，，，，
，分别在线段，的延长线上，如下图所示，

此时，，
，且无最小值．综上所述，的最小值为，
三棱锥的外接球表面积的最小值为．
故答案为：．
分别过和的外心作平面和平面的垂线，则垂线交点为三棱锥外接球的球心，再利用图形中的几何关系，将外接球半径的平方表示为函数关系，求其最值即可．
本题考查外接球的表面积的应用，属中档题．
 17.【答案】解：甲生产线抽取件产品中，评分在，，，，的频率分别为，，，，．
则评分均值为．
甲生产线抽取件产品的评分的均值为分．
由频率分布直方图知，甲生产线抽取到“优质品”的频率为，
乙生产线抽取到“优质品”的频率为，
将频率视作概率，用样本估计总体．甲、乙生产线抽取到“优质品”的概率分别为，，
在甲、乙两条生产线各随机选取件产品，记“优质品”件数为，则，，，，．
则；；；；．
则的分布列为 故的数学期望为． 【解析】用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积频率的乘积之和估计均值即可；
由相互独立事件的概率求出每个取值的概率，再求数学期望即可．
本题考查离散型随机变量的期望等统计知识，属于中档题．
 18.【答案】解：中，：：：：，
：：：：，又，
，；
中，由余弦定理可得；
由可得，
，，
． 【解析】由题意利用正弦定理，求得的值．
由题意利用余弦定理计算求得结果．
先利用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得的值．
本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：当为的中点时满足条件．证明如下：
设为，的交点．因为四边形为正方形，所以为的中点，
故在中，为的中位线，即．
又因为平面，平面，所以，
即四点，，，共面，又因为，所以四边形为平行四边形，
所以而与相交，，不在平面内，，在平面内，
所以平面，平面，又与相交，
且，是平面内的直线，所以平面平面，
又因为平面，所以直线平面．
因为平面，平面，所以．
因为四边形为正方形，所以，故AB平面．
又因为平面，所以，即为直角三角形．由于，
故当最小时，最小，此时因为，，，
所以，，即，由，，，
可以以，，所在直线为，，轴建立如图所示坐标系，

则，，，，，
所以，所以，，
设平面一个法向量是，
则，取，得平面的一个法向量为，
又因为，，
设平面的法向量为，
则，取，得平面的一个法向量为，
，，
注意到二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为． 【解析】取为的中点时满足条件，设为，的交点，得，再证明，然后可得线面平行，从而得面面平行，最后可得到线面平行平面；
确定时，的面积最小，然后建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．
本题线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
 20.【答案】解：根据题意可得，
解得，，
所以椭圆的方程为．
设，，，
直线的方程为，其中，
由，得，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
设直线方程，直线的方方程为，
联立，得，
所以，
同理可得，
所以

． 【解析】根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
设，，，直线的方程为，其中，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，则，由，得，进而可得，解得，设直线方程，直线的方方程为，联立椭圆的方程，解得，，再计算，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：已知函数，函数定义域为，
易得，
当时，因为在定义域上恒成立，
所以，
此时函数在区间上单调递增，满足条件；
当时，不妨设，函数定义域为，
当时，函数单调递增，
若函数在区间上存在单调递增区间，
此时，
即在区间上有解，
易知函数在区间上单调递减，
所以，
即；
综上所述，若函数在区间上存在单调递增区间，则的取值范围为；
若，，
不妨令，函数定义域为，
此时需满足，
而，
又，，
不妨设，函数定义域为，
则，
不妨设，函数定义域为，
则，
当时，恒成立，
所以函数单调递增，
当时，，，；当时，，
此时，
所以当时，，单调递增，
即单调递增，
当，即时，，
可得函数单调递增，
所以恒成立，
则符合题意；
当，即时，，，
此时存在，使得，
当时，，函数单调递减，
所以，不符合题意，
综上所述，满足条件的的取值范围为． 【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，对和进行分别讨论，再按部就班进行求解即可；
将，转化成，对函数进行求导，设，对函数进行求导，再设，对函数进行求导，因为当时，恒成立，得到函数单调递增，进而求解即可得到，反推出单调递增，再对当和这两种情况进行逐一分析，按部就班进行求解即可得到满足条件的的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数单调性和利用导数解决恒成立问题．
 22.【答案】解：易知曲线的普通方程：，
因为，，
所以曲线的极坐标方程为：，即；
由题意及知，，
，
因为，则
所以当，即时，的面积最大，最大值是． 【解析】先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；
求出，，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
 23.【答案】解：，图象如下图所示，

由图可知，的解集为；
证明：由知，函数的最小值为则，
只需证明，
由已知，，，则，所以，
于是，
因为，
由于，
则，即，
所以，当且仅当时，等号成立． 【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图象，结合图象写出解集即可；
问题等价于证明，而，，由此可得证．
本题考查绝对值函数的图象及性质，考查不等式的解法及其证明，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．