【word版】湖南师范大学附属中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文）试题

考查范围：必修5第三章、选修1-1第一、二章

时量：120分钟

满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）

命题人：黄祖军 王朝霞   

必考试卷Ⅰ

一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、若，则下列不等式正确的是（         ）   

A．  B．       C． D．

答案B.解析：根据不等式的性质可知，答案选B.

2.不等式的解集为，函数的定义域为，则为（    ）

 A．     　   B． C． D．

答案A.解析：不等式的解集为，函数的定义域为，故答案为A.

3.设变量x，y满足约束条件 目标函数，则有（     ）

A.有最大值无最小值         B. 有最小值无最大值

C. 的最小值是8             D. 的最大值是10

答案D.解析：先做出可行域，如图所示，当目标函数过直线

y=1与x+y=3 的交点（2，1）时z取得最大值10. 答案为D.

4.以下命题：①，②，

③，④。其中正确的个数是（     ）

A.0          B.  1         C.2          D. 3

答案C.解析：①式在的条件下才成立，故错；②式，故正确；

③，故正确；④，故错。答案选C.

5.下列命题为真命题的是（     ）

A. 是的充分条件   B. 是的充要条件 

C. 是的充分条件    D. 是的必要不充分条件

答案   B

6.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（    ）

A.   B.   C.     D.

答案：C

7.已知椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴，离心率是，过点,则椭圆的方程是(    )

A.                      B. 或

C.                      D. 或

答案.D

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

8. 已知，方程表示双曲线，则是的           条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

答案：必要不充分

9.下列命题中：①命题“若，则且”的逆否命题是真命题；②命题“是周期函数”的否定是“不是周期函数”；③如果为真命题，则也一定是真命题； ④已知，则

其中正确的有              （填序号）

解析：①②④

10.已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题

恒成立. 若为假命题，则实数的取值范围是                    .

答案，解：命题真时，，则假时，；命题真时，，

命题假时，，若为假命题，则假假，故实数的取值范围是.

11.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，则双曲线的标准方程是              .

答案，解析：设的方程是，又过点，则，

即的方程是.

12.已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程是               .

答案，解析：用相关点代入法求解得

13.已知椭圆，，圆与椭圆恰有两个公共点，则椭圆的离心率的取值范围是          .

答案，解析：据题意有，

三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

14．（本小题满分11分）

已知椭圆，、是其左右焦点， 其离心率是，是椭圆上一点，△的周长是.

（1）          求椭圆的方程；

（2）          试对讨论直线与该椭圆的公共点的个数.

解（1）设椭圆的焦距是，据题意则有，∴

       故椭圆的方程是.…………5分

（2）          联立的方程组，整理得：

其判别式 .…………8分

当即或时，直线与椭圆无公共点；

当即时，直线与椭圆恰有一个公共点；

当即时，直线与椭圆恰有两个不同公共点. …………11分

15．（本小题满分12分）

已知函数满足，

（1） 求的最小值及此时与的值；

（2）对于任意, 恒有成立.求的取值范围

解析：（1）由可知且……3分

∴，当且仅当时取等号.

即当时有最小值 …………6分

（2）又因为对恒成立, 即恒成立,

即对恒成立, …………8分

故…………10分

解之得：，则…………12分

16．（本小题满分12分）

已知双曲线，、是双曲线的左右顶点，是双曲线上除两顶点外的一点，直线与直线的斜率之积是，

（1）          求双曲线的离心率；

（2）          若该双曲线的焦点到渐近线的距离是，求双曲线的方程.

解（1）因为在双曲线上，则

………………………………3分

又，则.……5分

及，解之得； …………7分

（2）取右焦点，一条渐近线即，

据题意有，…………10分

由（1）知，∴，…………11分

故双曲线的方程是 …………12分

必考试卷Ⅱ

一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知是抛物线上的一个动点，到直线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是（    ）

A．            B．           C．             D．不存在

C，解析：直线恰是抛物线的准线，则等于到抛物线的焦点的距离，则的最小值就是焦点到直线的距离

二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

2.已知过椭圆E:的焦点的弦的中点M的坐标是，则椭圆E的方程是                  .

解析：（1）法一：设，据题意有：

又相减得：

而，而，

解得：即椭圆方程是：

法二：直线的方程是：

联立

，解得：

三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

3.（本小题满分13分）

围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地ABCD的一面利用旧墙EF（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为,新墙的造价为,设利用的旧墙的长度为(单位：)。

（1）将总费用表示为的函数：    

（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，

并求出最小总费用。

（2）解：

                                                         …………10分

当且仅当时，等号成立.               …………12

即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。…………13分

4.（本小题满分13分）

已知椭圆，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于点、，定直线交轴于点，直线和直线的斜率分别是、.

（1）若直线的倾斜角是，求线段的长；

（2）求证：.

     即

综上总有.…………13分

   （也可设的方程是化为关于的方程解；还可用椭圆的第二定义及几何知识证明平分，略）

5. （本小题满分14分）

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）证明：抛物线在点处的切线与直线平行；

（3）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

即．                                           .…………8分

（3）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．                                       .…………9分

由（Ⅰ）知

．

轴，．.…………11分

又

       ．.…………13分

，解得．

即存在，使．.…………14分

或设，由（2）有，

即                 .…………10分

即解之得：，故 .…………14分