【解析版】湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上期中考试数学（文）试题

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题

一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)

1.已知，则（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C[来源:中%^&教网@#]

【解析】

分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.

详解：,故选C.

点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.[中&国教%育出^@版~网]

2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[

A. 第22项    B. 第23项    C. 第24项    D. 第28项[来源:z#z@step.&co%m*]

【答案】B[来源%:#中国~教*育@出版网]

【解析】

试题分析：由数列前几项可知，令得[来源:zz^@step.&com*%]

考点：数列通项公式[来源:@中教*网&%#]

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝[来源:zzst%ep#.@*com^]

A.     B.     C.     D. 1[来~源:%中教*&网@]

【答案】B

【解析】

【分析】

将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．

【详解】在△ABC中，由余弦定理得．[来源:^@中教网&~#]

故选B．

【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．

4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为

A. 钝角三角形    B. 直角三角形

C. 锐角三角形    D. 等边三角形

【答案】A

【解析】

由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.

5.已知点 在函数的图象上，则的最小值是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据，利用基本不等式计算出的最小值为.

【详解】

故选.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.

6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

分析：设此等差数列为{an}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．

详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{an}，

设其公差为d，且d＞0，

由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，

则4a1+6d=3，3a1+21d=4，

解可得a1=，d=，

则第6节的容积a6=a1+5d=

故答案为：A[中国教育@出版网&^*%]

点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.

7.设为等比数列{}的前n项和,,则＝

A. 10    B. 9    C. -8    D. -5

【答案】A

【解析】

由,得,故.

故选A

8.数列满足，则数列的前20项的和为（  ）

A.     B.     C.     D. [来%源:@~z&zste#p.com]

【答案】A

【解析】

由，得，，的前项的和为 ，故选A.[中&国教育#*~出%版网]

9.若实数满足约束条件，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z最大，求出的坐标，代入得答案．

详解：

由满足约束条件作出可行域如图，

由，得 ．

要使z最大，则直线的截距最大，

由图可知，当直线过点时截距最大．

联立，解得），

∴的最大值为．

故选：B．

点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．

10.已知，则取最大值时的值为（　　）．

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

分析：由，利用基本不等式可得结果.

详解：∵，

∴，当且仅当时取等号．

∴取最大值时的值为．

故选．

点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

11.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若对所有的n(n∈N*)，都有Sn≥S10，则

A. an≥0    B. a9·a10<0

C. S2<S17    D. S19≤0

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．

【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，[www#.~zz%ste@p.^com]

得等差数列{an}的前n项和Sn的最小值为，

所以a10≤0，a11≥0.

对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；

对于B，由以上结论可得，所以B错误；

对于C，由于，所以，因此C错误；

对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．

故选D.

【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．[来源:z^zste%p.co~m@#]

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.在等比数列{an}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝ ________ .

【答案】2018

【解析】

【分析】[来源%:^中教网~@*]

根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．

【详解】∵数列{an}为等比数列，

∴．

故答案为：2018.

【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．

13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．

【详解】在△ABC中，由正弦定理得，

∴．

又，

∴B为锐角，[ww^w.#z~zstep&.com*]

∴．

故答案为：．[来源@:zzstep.c&%*#om]

【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．

14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)

【答案】②③④⑤

【解析】

【分析】

根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．

【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；

对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；

对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；

对于④，若，则，则，则，故④为真命题；

对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．

综上可得②③④⑤为真命题．

故答案为：②③④⑤.

【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．

三、解答题(本大题共3小题，共30分)

15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.[来源%:^@*中教网&]

(1)求C；(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.

【答案】（1）；（2）[来%源#:z~zstep.*com&]

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及两角和与两角差的三角函数转化求解C.

(2)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可.

详解：（1）由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，

2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.

可得cosC＝，因为，所以C＝.

（2）由已知S△ABC＝absinC＝，又C＝，所以ab＝6，

由已知及余弦定理得a2＋b2-2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，

所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理等，在解题的过程中，注意对公式的正确使用，从而求得结果.

16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．

【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．

【解析】

试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。（2）由可行域及目标函数，可出得最优解，注意x,需取整。

试题解析：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，

约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分

（Ⅱ）设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y

由z=3x+2y可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．

结合图象可知，z=3x+2y在A处取得最大值

由 可得A（200，100），此时z=800[来源%:中~教网#@^]

故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．

17.已知公差不为零的等差数列{an}满足：，且是与的等比中项． [来%@源&:^中~教网]

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn .

【答案】（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.

试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，

∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项， [中国@~教育出#&版网%]

∴，解得a1=1，d=2，

∴an=1+2（n-1）=2n-1．

（2）bn==（），

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（1-）=．

点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

一、选择题

18.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

A.     B.     C.     D. [来%^~&源:中#教网]

【答案】C

【解析】

设到的距离为，则，因为，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，所以，故选．

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

二、填空题

19.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是__________．

【答案】[来^%源:中教网#~*]

【解析】

【分析】

根据题意及椭圆、双曲线的定义求出双曲线的实半轴长，然后根据双曲线的离心率公式可得所求．

【详解】由题意设双曲线的方程为，则，

∵A是C1，C2在第二象限的公共点，[来源:*中@教#&网~]

∴|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，

∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.

在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，

∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，

即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，

解得，

∴e＝＝＝.

∴曲线C2的离心率是．

【点睛】在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容，双曲线的离心率涉及的也比较多．由于是一个比值，故只需根据条件得到关于的一个关系式，利用消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．

三、解答题

20.在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图．

(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；

(2)求二面角C－AB－F的正切值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】[w%ww.*zz#s~t@ep.com]

（1）根据平面几何知识在空间几何体中可证得AG⊥FB，同时可得EF⊥平面ABF，进而得AG⊥EF，于是可得AG⊥平面BCEF．（2）根据二面角平面角的定义并结合三垂线法作出二面角的平面角，再通过解三角形得到所求的正切值．

【详解】(1)因为AF＝BF，∠AFB＝60°，

所以△AFB为等边三角形．

又G为FB的中点，

所以AG⊥FB.

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，

所以EF⊥AB.[中国教*育&#^@出版网]

于是EF⊥AF，EF⊥BF，

又,

所以EF⊥平面ABF，

因为平面ABF，[中国~@^*教&育出版网]

所以AG⊥EF.[中*国教育^出%@版#网]

又，

所以AG⊥平面BCEF.

(2)如图，连接CG，

因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，[中*国教^&%育#出版网]

所以EC＝FG＝BG＝1，

从而CG∥EF.

因为EF⊥平面ABF，

所以CG⊥平面ABF.

过点G作GH⊥AB于H，连结CH，

由三垂线定理可得CH⊥AB，

所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角. [w~ww.zz&step%.@com#]

在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，

所以GH＝.

在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，

所以CG＝1.

在Rt△CGH中，可得tan∠CHG，[来源@:中教*网&~%]

所以二面角C－AB－F的正切值为.

【点睛】（1）解决空间中垂直关系问题的关键是熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础，同时合理运用“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化．[来~源:*中%国教育出#版网@]

（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

21.已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.[中%&国教*育^出版网~]

(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；

(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由二次函数的单调性易得 ，解关于的不等式组可得．

（2）分，最大值是最大值是三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是求出12-t的值，验证范围后即可得到答案．

【详解】(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．

∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即∴－20≤q≤12.

(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.

①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，∴t＝；

②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，

∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；

③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，

∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，

∴t＝9.

综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．

22.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e＝.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足，求实数λ的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C的坐标，代入椭圆方程后整理得到，根据的范围可得，进而得到所求范围．[中国#教^@育*出版网&]

【详解】（1）设椭圆的标准方程为，[来源^#:中国教育*%&出版网]

由已知得解得[来源~:#^中@国%教育出版网]

所以椭圆的标准方程为. [来源:中国教育^%#出版&网@]

（2）因为直线：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，

所以＝1，

整理得(t≠0)．

由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，

因为直线与椭圆交于M，N两点，

所以，

将代入上式可得恒成立．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则有x1＋x2＝－，

所以y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，

因为)，[来源:&中%国教育出^版~网@]

所以可得C，

又因为点C在椭圆上，

所以＋＝1,

所以，

因为t2＞0，所以＋＋1＞1，[来源:~#z^zstep@*.com]

所以，

所以的取值范围为.

【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；[来源:*#z~zste@p.^com]

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．