期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合-【备战期末必刷真题】高一下学期期末考试真题必刷满分训练（新高考湖南专用）

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期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合

1．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数；
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2）最小值为；最大值为2.
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简为，代入正弦型函数的周期公式及对称中心方程即可求解；
（2）由x的范围，求出的范围，根据正弦函数的图像与性质可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可得答案.
【详解】解：（1）
∴的最小正周期为
令，则
∴的对称中心为
（2），

∴当，即时，的最小值为；
当，即时，的最大值为2.
【点睛】本题考查正弦型函数的周期，对称中心及最值问题，考查辅助角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题.
2．（2022秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数
(1)求f（x）的最小正周期；
(2)当时，求函数f（x）的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简三角函数解析式，然后由周期公式即可求解；
（2）利用整体思想，结合正弦函数的图象，即可求解函数f（x）的值域.
(1)
解：因为，
所以函数的最小正周期为；
(2)
解：当时，，
∴，
，
所以的值域为.
3．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期及最大值；
(2)求在区间上的值域．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）利用周期公式及正弦函数的性质即得；
（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.
(1)
∵函数，
∴最小正周期，
∵，，
∴当时，.
(2)
当时，，
∴当时，即时，，
当时，即时，，
∴在区间上的值域为.
4．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)求使成立的的取值集合．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）通过函数的图象，求出，再求出函数的周期，进而求出 ，利用函数经过的特殊点，求出 ，得到函数的解析式．
（2）令，再结合特额殊角三角函数值，即可求出结果.
（1）
解：由图可知，，则．
因为，所以．   
由，得，   
所以，解得．      
又因为，所以．
故．
（2）
解：由，可得．    
所以或，     
解得或．
故x的取值集合为或．
5．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)求函数在上的所有零点之和．
【答案】(1)和
(2)

【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；
（2）由题意可知，作出函数在上的图象，根据图象和函数的对称性，即可得到结果.
(1)
解：
，  
由，得，
故的单调递增区间为．     
当时，；       
当时，．     
故在上的单调递增区间为和．
(2)
解：，得，    
在上的图象如图所示，

因为，
所以在区间上，函数的图象与直线共有8个交点，
即有8个零点，设这8个零点分别为，       
由，得，所以函数的图象关于直线对称，     
所以，        
故在上的所有零点之和为．
6．（2022秋·湖南娄底·高一统考期末）已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.
(1)求函数的解析式，并写出的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值以及相对应的x值.
【答案】(1)，增区间为，，减区间为，；
(2)最小值为，此时；最大值为，此时.

【分析】（1）根据题意求得的最小正周期，即可求得与解析式，再求函数单调区间即可；
（2）根据（1）中所求，可得在区间的单调性，结合单调性，即可求得函数的最值以及对应的值.
(1)
设的周期为T，则，所以，即，
所以函数的解折式是.
令，解得，
故的增区间为，，
令，解得，
的减区间为，.
(2)
由（1）可知，的减区间为，，
单调增区间为，，
又因为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
又因为，
所以，，
故函数在区间上的最小值为，此时，最大值为.此时.
7．（2022秋·湖南怀化·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边的锐角的终边与单位圆相交于点，已知的横坐标为.

(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角函数的定义，直接求解；
（2）求出，再根据两角和的余弦公式求解即可.
(1)
设，由已知，，，
所以，
得.
(2)
由（1）知，，
所以
8．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由任意角的三角函数的定义求出，再利用二倍角公式计算可得；
（2）利用诱导公式将式子化简，再将弦化切，最后代入计算可得；
(1)
由三角函数定义可知：
；
(2)
由三角函数定义可知: ，
∴.
9．（2022秋·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期、单调增区间及对称中心；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)；，；，
(2)

【分析】（1）先化简函数，可得，再结合正弦函数的性质求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1），
即.
所以函数的最小正周期.
令，，即，
所以的单调递增区间，.
令，，解得，
所以对称中心为，.
（2）由（1）知：，
当，，即，
所以在上的值域为.
10．（2022秋·湖南益阳·高一统考期末）已知锐角、满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由二倍角的余弦公式可求得的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式可求得的值．
【详解】（1）解：.
（2）解：因为、均为锐角，则，，
所以，，，
所以，，
因此，.
11．（2022秋·湖南益阳·高一统考期末）已知函数的图像过点且关于直线 对称．
(1)若直线是函数的图像中与直线相邻的一条对称轴，请确定函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求的最大值．
【答案】(1)
(2)13

【分析】（1）根据已知条件求出周期，进而求出的值，根据图像上点及已知条件求出的值；
（2）根据由题意得，和相减得，所以为正奇数，然后根据函数在区间上单调，从而分析出周期，进而确定的值，代回已知条件检验即可.
【详解】（1）由题意可知：，
所以，
又因为的图像过点，
所以得,
因为，所以，
所以，
（2）由函数的图像过点得，
，①
且关于直线 对称得，
，②
由 ②—①得：，
所以为正奇数，
又因为在上单调，
所以，
因为为正奇数，取时，
由①得，
又因为，所以，
此时，，直线是它图像的一条对称轴
又因为时，，
所以在上单调，
综上所述，的最大值为13．
12．（2022秋·湖南永州·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.

【分析】（1）由诱导公式化简函数，再由余弦函数的单调性可得答案；
（2）由余弦的二倍角公式得，令，根据二次函数的性质可求得函数的最大值.
【详解】（1）解：因为函数，令，解得，.
所以函数的单调递增区间为，；
（2）解：因为，所以，
令，则，所以设，
当，即时，在上单调递减，所以，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，
当，即时，在上单调递增，所以，
所以当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为.
13．（2022春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为米

【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.
对于小问2，令，解出即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，
写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
【详解】（1）由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，
又函数周期为分钟，所以，

又，
所以，又，所以，
所以.
（2），
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
（3）经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差

当或时，即或分钟时，取最大值为米.
14．（2022秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示：

（1）求的解析式；
（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在的实数解.
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】（1）先根据函数图象确定出的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式求解出的值，然后代入点结合的范围求解出的值，从而的解析式可求；
（2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据得到关于的方程，结合，求解出的值即为方程的实数解.
【详解】（1）因为由图象可知，所以且，所以，
所以，代入点，所以且，所以，
所以；
（2）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的后得到的函数解析式为：，
因为，所以，又因为，所以，
所以或或，所以或或，
所以方程在的实数解为：或或.
【点睛】思路点睛：根据的图象求解函数解析式的步骤：
（1）根据图象的最高点可直接确定出的值；
（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出的值；
（3）代入图象中非平衡位置的点，结合的范围求解出，则函数解析式可求.
15．（2022秋·湖南湘潭·高一湘潭一中校联考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，

【分析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；
（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；
（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可
【详解】（1）根据图象可知，且，的周期为：
解得：，此时，
，且
可得：
解得：
故
（2）当时，
令，又恒成立
等价于在上恒成立
令，
则有：开口向上，且，只需即可满足题意
故实数m的取值范围是
（3）由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点
在上时，，分类讨论如下：
①当时，的图象与直线在上无交点；
②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.
综上，当时，；当时，.
16．（2022秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)若，求的最值以及取得最值时相应的的值.
【答案】(1)
(2)时，，时，

【分析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；
（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.
(1)
由图知，，
，即，
得， 所以，
又 ，所以， ,
即，由得，
所以.
(2)
由得 ，
所以当，即时，，
当，即时，.
17．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间的最值.
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再求其最小正周期和单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求，结合函数图像平移求得，再利用整体法即可求得函数的最值.
（1）
，
∴最小正周期，
当即时单调递增，
∴函数的增区间为；
（2）
由题可知：，
当时，，
，
，.
18．（2022秋·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考期末）已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意可得，从而可求得，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案；
（2）求出平移后的函数的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性即可得出答案.
【详解】（1）解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以，所以，
所以，
当时，，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
所以；
（2）解：函数的图象向左平移个单位后，
得到函数，
因为为偶函数，
所以，
所以，
又因为，所以.
19．（2022春·湖南衡阳·高一校联考期末）函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；
(2)将的图像向右平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的解析式．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用即可求出；
（2）先求出平移后的解析式，再求出的解析式即可.
（1）
由函数图像可得，，所以，则，
又，所以，即，
因为，所以，
所以；
（2）
将的图像向右平移个单位，可得，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得.
20．（2022秋·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知函数的图象关于点对称．
(1)求，m的值；
(2)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得值；
（2）由图象变换得出的表达式，再由余弦函数值域得结论．
【详解】（1），
依题意可得，，，
则，．
（2）由（1）知，则．
当时，，
则，
故在上的值域为．
21．（2022秋·湖南岳阳·高一统考期末）设函数的最小正周期为，其中.
(1)求函数的递增区间；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数的解析式，利用周期求出的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；
（2）由，可求出，并进而求出的值域.
(1)
由已知，解析式可化简为

∵的最小正周期为，且，∴，解得，
∴，设，
∵函数的递增区间是，
由，得.
∴函数的递增区间是；
(2)
当时，..
∴，故函数在上的值域是.
22．（2022秋·湖南·高一统考期末）（1）若，求的值；
（2）已知锐角，满足，若，求的值.
【答案】（1）5；（2）.
【分析】（1）根据给定条件化正余的齐次式为正切，再代入计算作答.
（2）根据给定条件利用差角的余弦公式求出，结合角的范围求出即可作答.
【详解】（1）因，所以.
（2）因，是锐角，则，，又，，
因此，，，
则，
显然，于是得：，解得，
所以的值为.
23．（2022秋·湖南·高一统考期末）已知.
(1)若，，求x的值；
(2)若，求的最大值和最小值.
【答案】(1)或；
(2)的最大值和最小值分别为：，.

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用给定的函数值及x的范围求解作答.
(2)求出函数相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.
(1)
依题意，，
由，即得：，而，即，
于是得或，解得或，
所以x的值是或.
(2)
由(1)知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以的最大值和最小值分别为：，.
24．（2022秋·湖南·高一校联考期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
(2)

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数变形为，然后由可求出其单调增区间，
（2）先求出函数在上的值域，即，从而可得进而可求出的取值范围
(1)



令，解得.
故的单调递增区间为.
(2)
因为，所以，
所以，所以，即.
因为等价于，
所以若，则
解得，即的取值范围为.
25．（2022秋·湖南岳阳·高一统考期末）已知函数（其中）的最小正周期为．
(1)求，的单调递增区间；
(2)若时，函数有两个零点、，求实数的取值范围．
【答案】(1)和
(2)

【分析】（1）根据函数的最小正周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与在上有两个交点，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：函数的最小正周期为且，
，，
由，解得，
的单调递增区间为和.
（2）解：当时，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
函数在上有两个零点，
即与在上有两个交点，
，
.
26．（2022秋·湖南湘潭·高一湘潭一中校联考期末）已知，，.
(1)求，的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；
（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.
(1)
∵，∴.
∵，∴，
∴，且，解得，
∴，.
(2)
∵，，∴，
∴，
∴
.
27．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求使成立的的取值集合．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，解不等式可得函数的单调递减区间；
（2）由可得出，解之即可得解.
【详解】（1）解：
，
由，解得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：由可得，可得，
解得，
所以，使成立的的取值集合为.
28．（2022秋·湖南娄底·高一统考期末）已知，，，，求.
【答案】
【分析】由已知结合商数关系、平方关系求，根据的范围及平方关系求，最后由结合差角余弦公式求值即可.
【详解】因为，所以，又，可得或，
而，所以，
由，且，解得，
因为，，则，
所以，
所以.
29．（2022春·湖南·高一校联考期末）已知函数
(1)讨论函数的周期性和奇偶性；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)函数是周期为，为奇函数
(2)或

【分析】(1)根据两角和的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式可得，结合、即可得出函数的周期与奇偶性；
(2)由(1)可得，结合角的取值范围即可求出结果.
(1)


，
因为

所以函数是周期为，为奇函数；
(2)
由，得，即
因为，所以，
于是或
故或
30．（2022秋·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.
（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，
可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，解得.
（2）∵，∴，且，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
又∵，∴.
31．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．
【答案】（1），；（2）见解析
【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.
【详解】（1）函数的最小正周期为 ，
由的单调增区间是可得
，解得
故函数的单调递增区间是．
（2）设，则，
由在上的性质知，当时，即，；
当时，即， ．
【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
32．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于的方程在恰有4个不同的解，求的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）．
【答案】（1）（2）（3）.
【分析】（1）设，则原函数可转化为关于的二次函数，求值域即可；
（2）根据同角三角函数基本关系，转化为，解关于的一元二次不等式；
（3）设，由正弦函数图象知当，时，与有4个交点，故需与有2个交点，且交点横坐标，，根据（1）及二次函数图象可得，且.
【详解】（1）设，
则函数，所以
，即函数的值域为.
（2）不等式化简得，
解得或（舍）
解得（或者为）
（3）.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，三角不等式，属于难题.