【解析版】北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试卷

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2019年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数的值为（　　）A.  B. 2 C.  D. 1【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可．[www.z*z@s&tep.c~o^m]【详解】由，解得；[来源~:^zzstep.co#m%&]由解得， 因为，所以，解得．故选A．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．[中国#教*%~育&出版网] 2.已知数据是宜昌市个普通职工的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（    ）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变【答案】B【解析】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而xn+1为世界首富的年收入则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，[中国^教#育~出&版%网]但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大故选B 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）[中国^&教育*出%#版网]A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出，然后求得离心率即可.【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即 所以离心率 故选A[来源^~:&中教网@%]【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题. 4.已知函数f（x）=，则不等式f（x）≤1的解集为（　　）A.  B. ， C.  D. 【答案】D【解析】【分析】对x讨论，当时，当时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．【详解】解：当时，，即为：，解得x2；当时，，即为：，解得x0．综上可得，原不等式的解集为．[中~国#教育出&版网^%]故选：D．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题． 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）[来源~:zzst%ep.c*&#om]A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出球与三棱锥的体积，从而可得结果．【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为,故选D．【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.[中%^@国教&育~出版网][中~国教%@育&出版网*]6.在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为（   ）[来源:zzst@e%p&~^.com]A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】[来%&~源^:中#教网]令m=1得，再利用累加法求数列的通项公式.【详解】令m=1,得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 (  )A.  B. 84 C. 3 D. 21【答案】D【解析】【分析】[中国教#育出^@版网*&]根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程可得：，由椭圆定义可得：…（1），由双曲线方程可得：，，由双曲线定义可得：…（2）联立方程（1）（2），解得：，所以故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题。 8.如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为an，可推得a1=1，an+1=2an+1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（　　）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】C【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，直到满足条件结束循环，即可得到输出的结果.【详解】由程序框图知，i＝1时，S=1；i＝2时,S＝1×2+1＝3；i＝3时，S＝3×2+1＝7；i＝4时，S＝7×2+1＝15；i＝5时，S＝15×2+1＝31；i＝6时，S＝31×2+1＝63；i＝7时，S＝63×2+1＝127；i＝8时，S＝127×2+1＝255；i＝9时，S＝255×2+1＝511；i＝10时,S＝511×2+1＝1023；程序运行结束，输出的结果是i＝10．故选：C．【点睛】本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，其中解答中执行循环体，得出每次循环的计算规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量，若，则______．【答案】-10【解析】【分析】先求出，然后利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】因为所以；又；；，故答案为．【点睛】本题主要考查向量的运算以及向量垂直的性质，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答. 10.在中，内角所对的边分别为为的面积，，且成等差数列，则的大小为______．【答案】【解析】【分析】由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得，由余弦定理和三角形面积公式，可得，再由余弦定理求得，可求得角的大小．【详解】在中， 成等差数列，可得，即，，即为，即有，由余弦定理可得，即有，，由为三角形的内角，可得，故答案为．【点睛】本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 11.设第二象限角，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数求出的值，再根据为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，即可求出的值．【详解】因为为第二象限角，，，，而，为第二象限角，，则，故答案为.【点睛】本题考查了两角和的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 12.已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为____【答案】【解析】【分析】本道题目关键掌握好，代入数据，即可得出答案。【详解】，即，又所以【点睛】本道题考查了向量的数量积运算公式和向量的四则运算，注意在上的投影为 13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，详解】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．【点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题． 14.直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）切线，则a的值是______．【答案】【解析】【分析】设切点的横坐标为，求出导函数，利用直线与曲线相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．【详解】解：设切点的横坐标为，，则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法考查转化思想以及计算能力． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，3sinA=2sinB，．（1）求cos2C；（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.【详解】（1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题. 16.已知正项数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设{an}是递增数列，，Tn为数列{bn}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1，化为：，an＞0．化简进而得出．（2）{an}是递增数列，取an＝2n﹣1．可得，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．【详解】（1）时，，化为：，.∴，或，时，数列是等差数列，.，∵，可得．（2）是递增数列，∴.，数列的前项和 ，∵恒成立，∴，解得.∴实数的取值范围是.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17.如图，在平行四边形中，于点，将沿折起，使，连接，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，即可得出平面，从而可得结论；（2）过作，垂足为，连接，则，可得平面，由此为直线与平面所成的角，利用正切值为求出到平面的距离，代入体积公式即可得结果．【详解】（1）∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，∴AE⊥平面BCDE，以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），设AC的中点为M，则M（1，，），∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），∴=0，=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN=，∴tan∠PDN===，解得x=，即PN=．∵BD==，CD=AB=，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD==1，∴三棱锥P-BCD的体积V=S△BCD•PN==．【点睛】本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理. 18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030   （1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：   参考公式，其中【答案】（1）直方图见解析；女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）有的把握.【解析】【分析】（1）利用频数分布表中所给数据求出各组的频率，利用频率除以组距得到纵坐标，从而可得频率分布直方图，由直方图观察女性用户和男性用户评分的集中与分散情况，即可比较波动大小； （2）利用公式求出，与临界值比较，即可得出结论．【详解】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．    （2）2×2列联表如下图： 女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500   ≈5.208＞2.706，所以有的把握认为性别和对手机的“认可”有关．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立性检验的应用，是中档题．高考试题对独立性检验的思想进行考查时，一般给出的计算公式，不要求记忆，近几年高考中较少单独考查独立性检验，多与统计知识、概率知识综合考查，频率分布表与独立性检验融合在一起是一种常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算的观测值，从而解决问题． 19.已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．【答案】（Ⅰ）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据题目所给的条件得到解出参数值即可；（2）分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.【详解】（Ⅰ）由已知可得：解得：； 所以椭圆C的方程为：． （Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以，．设，则，即．则直线BM的方程为：，令，得； 同理：直线AM的方程为：，令，得．所以．即四边形ABCD的面积为定值2．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 20.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的最大整数值．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)2.【解析】分析：（1）先确定函数定义域，再求出函数的导数， ， 分类讨论，确定和时函数的单调性.（2）根据题意，转化为时，条件下求参数问题.由（1）可知：①当时在上单调递增，且，即成立；②时，即，分析情况同①；③时，即，，构造关于的新函数，判断函数的单调性，确定函数零点位置，而；综上得的最大整数值为.详解：解：（1）函数的定义域为． ， 当时，，在上单调递增，当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递增，又，所以当时，，满足题意. 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.若，即，在上单调递增，所以当时，，满足题意. 若，即，上单调递减，在上单调递增.  即 令，，在上单调递减，  又，，在上存在唯一零点， 综上所述，的取值范围为，故的最大整数值为. 点睛：本题考查利用导数分析含参函数单调性，应用函数的单调性求恒成立问题的参数，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数法，是一道综合题.导函数为二次函数的含参函数的单调性分类讨论步骤：（1）求定义域.（2）讨论导数的最高项系数，若最高项系数含有参数则需分等于零和不等于零进行讨论；若最高项系数不含参数则此步略.（3），再结合二次项系数的正负，确定函数单调性;（4），即有两个零点和，讨论两个零点的大小及其与函数定义域的关系，再结合二次项系数分解出各单调区间，明确单调性.（5）将分类讨论的情况进行总结.