【精品解析】北京市清华大学附属中学2019届高三高考二模数学（文）试卷

这是一份【精品解析】北京市清华大学附属中学2019届高三高考二模数学（文）试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2019年北京市清华附中高考数学二模试卷（文科）一、选择题。1.设集合，，现有下面四个命题：：，；：若，则；：若，则；：若，则．其中所有的真命题为（　　）A. ， B. ，， [来源:中国^#@*教育&出版网]C. ， D. ，，【答案】B【解析】由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”. 2.下列说法错误的是（　　）A. 回归直线过样本点的中心B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1[w~ww.z#zs^te%p@.com]C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小【答案】D【解析】分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关；[来@源:zzstep.*%&#com]B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.故选D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题． 3.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）A. 2盏 B. 3盏 C. 26盏 D. 27盏[来源@:^zz&s*te#p.com]【答案】C【解析】分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，利用等差数列求和公式列方程可得详解：设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，，，，，，，，，（盏），所以最下面一层有灯，（盏），故选C.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.[ww@w.zzs%t&ep.^#com][中*国教^&%育#出版网]4.如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（　　）A. 5.3 B. 4.3 C. 4.7 D. 5.7【答案】B【解析】由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分概率为，因为正方形的面积为，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为，故选B.[来源%:~中教网#@^]【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.[www.z~^&z#step.com@]5.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（　　）[来源:*&中国~教#育出版网@]A.  B.  C.  D. 12【答案】A【解析】因为，所以由正弦定理得： ，又 的周长为 ，所以可得 ， 的面积为[中#国%^@教育出版网~] ，故选A. 6.如图，正方体中，为棱的中点，用过点、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（　　）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】[中国*教育^#出&版网%]根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图[来源@:中教网#~&%]【详解】解：正方体中，过点的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选：A．【点睛】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题．[来^源#:中教&~网%]7.在如图所示的程序框图中，若输入的，输出的，则判断框内可以填入的条件是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】[来源:中*&国^教育出#版网@]输入，，，当，当，当时，满足条件退出循环，[w%~w@w.zzstep*.^com]故选 8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足[来源:中#国教^@育出版*网%]∠AMB=120°，则m的取值范围是A．                        B．C．                        D．【答案】A【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．[中国*教育@^出~版网#]点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．[w~w&w.zz%ste*p^.com]二、填空题。9.已知集合，，则的真子集的个数为 _____．【答案】7【解析】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可求出，从而得出的真子集的个数为【详解】解：，；∴；∴的真子集的个数为：个．[来&#源:%中国^教育~出版网]故答案为：7．【点睛】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性．[w%ww^.z*zstep.com@~] 10.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____【答案】[中国教育@出~^版*&网]【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【详解】解：作出实数满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分）由的得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由解得．代入目标函数得．即的最大值为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键． 11.已知向量，的夹角为，且，，，则_____[来&@源:*中^国教育出~版网]【答案】-3【解析】由已知可设故可得解得或[来源:&中教*网#%~]则或则当时，则当时，[来#源:中教网~@%^]，的夹角为，故可得[www.%zz#st&ep*.c^om]则 12.如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从下山，甲沿匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从乘缆车到，在处停留1分钟后，再从匀速步行到．已知缆车从到要8分钟，长为1260米，若，．为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度（米/分钟）的取值范围是_____．【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理余弦定理首先解三角形，然后结合实际问题得到关于速度的不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：在△ABC中解三角形：已知，，，则：，[中#国%^@教育出版网~]由正弦定理可得：，由余弦定理有：，解得：，若，则，不能组成三角形，舍去，据此可得：.[w*ww.~z@zstep.c%o#m]乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得,解得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在范围内.点睛：解三角形应用题一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.[来源:中~@国教育&出*%版网]13.在中，为的中点，，，，点与点在直线的异侧，且，则平面四边形的面积的最大值为_____．【答案】【解析】分析：首先判断出点P所在的位置具备什么样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点P到AC距离最大，之后再转化为点B到AC的距离最小，综合得到BP和AC垂直时即为所求，从而求得结果.详解：根据题意可以求得，所以，则点到边的距离为，因为点与点在直线的异侧，且，所以点在以为圆心，以2为半径的圆上，只有当点到线距离最大时，满足面积最大，此时就是到线距离最小时，此时到线距离为，此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，.[www.zz#~@step^.com%]点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一步是转化为点B到AC距离最短时即为所求，从而得到此时BP和AC垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果.[来源:~中@国教%#育^出版网]14.抛物线的焦点为是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.[来源%:中国教育出#版*~^网]详解：设|PF|=2a，|QF|=2b，由抛物线定义，得|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|PA|+|QF|=2a+2b，∵|MN|=|PQ|，[中国%#教&育出^版*网]∴|PQ|=a+b，[中^国教育~@出*版网#]由余弦定理得，设∠PFQ=θ，（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，∴a2+b2+2ab=4a2+4b2﹣8abcosθ，∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，∴θ≤，[来源&:#中@国教育出~版网*]故答案为：点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值. 三、解答题.15.已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期；[中国^&教育*出%~版网]（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 最大值,最小值．【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的周期性得出结论．[中国^教&育*出@版~网]（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最小值和最大值．【详解】（Ⅰ） =， 所以函数最小正周期. （Ⅱ）因为，所以 ． 所以当，即时，取得最大值. 当，即时，取得最小值．[来~源:z#zstep*.co&m%]【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 16.已知数列的前项和是，若，（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和．[中*国教^&%育#出版网]【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，判断数列为等差数列，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）求得，利用裂项相消法，即可求解数列的和.【详解】（Ⅰ）因为，所以数列是公差为1的等差数列.又因为，则，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,则 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、通项公式的求解，以及利用裂项相消法求解数列的和，其中解答中正确求得等差数列的通项公式，合理裂项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.[来^*源:%zzstep.&com@]17.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．[来源&:中*^教@#网]【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；[来@源#^%:中国教育出版网~]（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．【详解】解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，[来*源%:z#zstep&.c^om]由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，所以所求概率约为（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件，[中&国教育#*~出%版网]因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，[来@源:%^*中教网#]所以（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效．[来源:zz#step^.%&c~om]【点睛】本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，一道常规题． 18.如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）设平面与直线交于点，求线段的长【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）证明平面．推出．然后证明平面．得到．．即可证明平面．（Ⅱ）说明．证明平面．通过求解即可．[来源:zzst&ep#@.c^o%m]（Ⅲ）证明．说明为中点．然后求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为三棱柱中，侧棱垂直于底面，所以平面．因为平面，[来^#源:@中教&%网]所以．又因为，，[来%源:@中^国教育~出版#网]所以平面．因为平面，所以．因为，所以四边形为菱形．[www.z#zs^te%p@.com~]所以．因为，[中#国~教育@*出%版网]所以平面． （Ⅱ） 由已知，平面，平面，所以．因为，，所以平面．又，故到平面的距离为2．因为为中点，所以点到平面距离为1．[来源:%&中#~教网*]所以（Ⅲ）在三棱柱中，[来源#~&:中教网@%]因为，为平面与平面的公共点，[来源:中&国教育@^出#*版网]所以平面平面．因为平面平面，平面，所以平面．又平面平面，所以．又，所以．因为为中点，所以为中点．所以【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．[来@%源:中~国教育出^版网#]19.已知函数，，（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； [w&@w^w.%zzst~ep.com]（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)见解析； (Ⅲ).【解析】【分析】(Ⅰ)求解出点，再利用导数求出切线斜率，从而得切线方程；(Ⅱ)求导后，分别在、和三个范围中讨论导函数的符号，即可得到原函数的单调性；(Ⅲ)将问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，利用导数分别求解出两个函数的值域，从而构造不等式，解出取值范围.【详解】(Ⅰ)当时，，所以所以所以曲线在处的切线方程为，即(Ⅱ)的定义域是，令，得①当时，，所以函数的单调增区间是[中国#教^&育出*@版网]②当时，变化如下：+--+↗极大值↘↘极小值↗  所以函数的单调增区间是，单调减区间是③当时，变化如下：+--+↗极大值↘↘极小值↗  所以函数的单调增区间是，单调减区间是(Ⅲ)因，所以当时，[来源~:中#^@国%教育出版网]所以在上恒成立，所以在上单调递增所以在上的最小值是，最大值是即当时，的取值范围为由(Ⅱ)知，当时，，在上单调递减，在上单调递增因为，所以不合题意当时，，在上单调递减所以在上的最大值为，最小值为[来^源:~中&@*教网]所以当时，的取值范围为“对于任意，总存在，使得成立”等价于 即，解得所以的取值范围为[w*ww.z@%z~step.c^om]【点睛】本题考查了利用导数求解切线方程、讨论含参数函数的单调性、利用不等关系求解参数范围问题.重点考查了恒成立与能成立相结合的问题，解决问题的关键是能够将问题转化为两个函数的值域之间的包含关系，从而使问题得到解决，对学生转化与化归思想的应用要求较高. 20.已知椭圆的右焦点为，离心率为 ，直线：与椭圆交于不同两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线的倾斜角与直线的倾斜角互补．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意知道焦点和离心率，分别求出a、b、c，得出椭圆方程；（2）设出点M、N的坐标，联立方程化简，得出一元二次方程，再表示出直线MF与直线NF的斜率，计算可得证.【详解】解：1椭圆C：的右焦点为，离心率为，[来*源:中@^教网&%]由题意得，解得，，椭圆C的方程为．证明：2设，，由，得，依题意，解得，，，当或时，得，不符合题意．.，直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程的求法和性质的运用，还考查了直线与圆锥曲线的相交问题的综合知识；属于中档题.[w*ww.~z@zs%tep.co#m]直线与圆锥曲线的相交问题：（1）设出直线方程和点的坐标（注意斜率不存在的情况）；（2）联立方程得一元二次方程（注意考虑判别式），写出韦达定理；（3）转化问题，将题目已知条件转化为数学公式；（4）计算.