甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷（含解析）

甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试

理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ）

A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④

2．复数的共轭复数在复平面内的对应点为（    ）

A． B． C． D．

3．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（    ）

A． B． C． D．

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．8 B．16 C．24 D．32

5．已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ）

A．4 B． C．或 D．

6．已知数列是通项和公差都不为零的等差数列，，则等于（    ）

A． B． C． D．

7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为

A．24里 B．48里 C．72里 D．96里

8．已知点，，则直线的斜率是（      ）

A． B． C．5 D．1

9．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

10．已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长是（   ）

A． B． C． D．

11．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为

A． B．

C． D．

12．已知函数，若，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 _________.

14．在等差数列中，已知，则___________.

15．已知函数，下面有四个结论：

①当时，在上单调递减；

②若函数恰有2个零点，则的取值范围是；

③若函数无最小值，则的取值范围是；

④若方程有三个实数根，其中，则不存在实数，使得．

其中所有正确结论的序号是___________．

16．若函数有3个零点，则实数的取值范围是___

三、解答题

17．为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，某调查小组在，两所大学各随机抽取名毕业生进行问卷计分调查（满分分），打分如下所示：

校：，，，，，，，，，

校：，，，，，，，，，

(1)分别估计，两所大学毕业生问卷计分调查的平均值；

(2)若规定打分在分及以上的为满意，分以下的为不满意，从上述满意的毕业生中任取人，求这人来自同一所大学的概率.

18．在锐角△ABC中，，，

（1）求角A；

（2）求△ABC的周长l的范围.

19．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面．

20．已知椭圆的左､右焦点分别是和，点在椭圆上，且的周长是.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为椭圆上三点，若有，求的面积.

21．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的极值．

22．在平面直角坐标系中，直线的方程为为参数，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；

(2)设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值.

23．已知函数．

(1)若对，恒成立，求实数n的取值范围；

(2)若的最小值为4，且正数a，b，c满足a＋2b＋c＝n，求的最小值．

参考答案：

1．D

【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.

【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；

对②：因为集合，故正确，即②正确；

对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；

对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；

对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；

对⑥：显然成立，因此⑥正确．

综上，本题不正确的有③④，

故选：D

2．B

【分析】利用复数的乘除法运算法则化简复数得，再根据共轭复数的概念得其共轭复数为，再根据复数的几何意义可得结果.

【详解】，其共轭复数为，

在复平面内的对应点为.

故选：B

【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.

3．B

【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】解：以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则、、、，

，，

，

故选：B.

4．B

【分析】首先还原几何体，再利用锥体的体积公式，即可求解.

【详解】由题意可知几何体的形状如图：

是矩形，，所以几何体的体积为.

故选：B．

5．C

【分析】结合抛物线的定义以及求得的值.

【详解】依题意，

当时，过作，交于，

根据抛物线的定义得.

当时，过作，交于，

根据抛物线的定义得.

综上所述，的值为或.

故选：C

6．A

【分析】设数列公差为，利用裂项相消法求.

【详解】设数列的公差为，

则，

所以

，

故选：A.

7．D

【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得a2的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．

【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，

由S6=378，得S6==378，

解可得a1=192，

则a2=a1×q=192×=96；

即此人第二天走的路程里数为96,

故答案为D

【点睛】本题考查等比数列的前n项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型．

8．D

【分析】根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.

【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

9．C

【分析】作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.

【详解】如图，

作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．

则,,

设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，

由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．

故选：C

【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

10．C

【分析】首先求得扇形半径，再利用扇形弧长公式求得结果.

【详解】弧度的圆心角所对的弦长为，半径，所求弧长为.

故选：C.

11．A

【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.

【详解】由题得，

所以直线l过定点P.

当CP⊥l时，弦AB最短.

由题得,

所以.

所以直线l的方程为.

故选A

【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12．D

【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据奇偶性对不等式化简，再判断函数的单调性，然后利用单调性将不等式转化为，从而可求出实数的取值范围

【详解】函数的定义域为，

因为，

所以为奇函数，

所以可化为

，

即，

任取，且，则

，

因为，所以，

所以，即，

所以在上为增函数，

所以由，得，

所以，所以，

即实数的取值范围是，

故选：D

13．##

【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.

【详解】，

画出可行域如下图所示，

由图可知，平移基准直线到点时，

取得最大值为.

故答案为：

14．

【分析】方法一：根据等差数列的性质即可求解.

方法二：根据等数列的定义得出公差，代入等差数列的通项公式即可求解.

【详解】方法一：由等差数列的性质可得：，所以，

又因为，所以，

故答案为：.

方法二：因为在等差数列中，已知，所以公差，则，

故答案为：.

15．①②④

【分析】①结合二次函数的单调性判断即可；②将函数恰有2个零点，转化为在上有两个零点，进而根据二次函数的零点问题即可判断；③求出分段函数在各段的值域，分析即可求出结果；④结合二次函数的对称性以及不等式的性质即可判断．

【详解】①当时，，因为函数的对称为，且开口向上，所以在上单调递减，故①正确；

②因为时，，故在无零点，因此若函数恰有2个零点，即在上有两个零点，因此，即，则的取值范围是，故②正确；

③因为时，，故在上的值域为，若函数无最小值，则需满足在上的最小值大于0，

若，即，此时在上单调递减，所以，符合题意；

若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即，因此，综上所述的取值范围是，故③错误；

④假设存在方程有三个实数根，其中，则有，则，当且仅当时，等号成立，而，即，则不存在实数，使得，故④正确．

故答案为：①②④.

【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

16．

【解析】结合与的图象，判断出当时，的零点个数.由此判断出当时，的零点个数.画出时的图象，由此求得的取值范围.

【详解】画出与的图象如下图所示，由图可知，当时，与的图象有个交点，也即的图象有个零点.

所以当时，有个零点.

当时，画出的图象如下图所示，由图可知，要使与只有个交点，则需或.

所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】研究分段函数零点问题，可结合函数图象，将零点问题转化为函数交点个数问来研究.

17．(1)，

(2)

【分析】（1）由样本平均数估计总体平均数即可；

（2）使用古典概型概率公式进行计算即可.

【详解】（1）大学随机抽取的名毕业生问卷计分调查的平均值为：

，

由此估计大学毕业生问卷计分调查的平均值为；

大学随机抽取的名毕业生问卷计分调查的平均值为：

，

由此估计大学毕业生问卷计分调查的平均值为.

（2）方法一：

由已知，上述毕业生中，大学打分为满意的学生共有人，分别记为，

大学打分为满意的学生共有人，分别记为，

从这人中任取人，所有的基本事件有：

，，，，，，，，，，，，，，，共个，

设事件“人来自同一所大学”，

则事件中的基本事件有：

，，，，，，共个，

∴从上述满意的毕业生中任取人，这人来自同一所大学的概率.

方法二：

由已知，上述毕业生中，、大学打分为满意的学生均有人，共人，

从这人中任取人，基本事件有个，

人均来自大学的基本事件有个，人均来自大学的基本事件有个，

设事件“人来自同一所大学”，

∴从上述满意的毕业生中任取人，这人来自同一所大学的概率.

18．（1）.（2）

【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得，可得；

（2）利用正弦定理将表示为的函数，根据锐角三角形得的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.

【详解】（1）∵，

，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

，所以.

（2），

所以,所以，，

所以

因为△ABC是锐角三角形，且，所以，解得，

所以，所以，

所以.

【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.

19．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】（1）

证明：如图，取中点，连，．

∵为中位线，∴，又平面，平面，

∴平面．

同理，在梯形中，，又平面，平面，

∴平面，且平面，平面，，

∴平面平面．又平面，所以平面．

（2）

证明：如上图，在四边形中，过作交于，

在中，得，，，则，得，

∵，∴．

又由已知条件，，故平面．

又平面，∴平面平面．

20．（1）；（2）.

【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到，求得，得到，进而求得，即可求得椭圆的方程；

当直线斜率存在时，设方程为：，联立方程组求得，根据，求得，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得；当直线斜率不存在时，得到直线AB方程为，求得，即可求解.

【详解】（1）由题意，双曲线的焦点和，可得，

因为的周长是，可得

所以，即，可得，

又由，

所以椭圆的方程是.

当直线斜率存在时，设方程为：，，

联立方程组，整理得，

则

由，可得，

又由，可得

所以，

将代入椭圆方程可得，整理得，

又到直线的距离为，

则，

又由，可得点为的重心，所以；

当直线斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB方程为，

可得，所以，

所以，

综上可得：.

【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：

对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．

21．(1)

(2)极小值，无极大值

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

当时，，

所以切线方程为，即；

（2）由题可得的定义域为．

令，即，得或（舍去），

令，得，令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以存在极小值，无极大值．

22．(1)，；

(2).

【分析】（1）通过加法消元求得直线的普通方程，再利用求得其极坐标方程；对曲线通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；

（2）求得曲线的极坐标方程，联立与直线和曲线的极坐标方程，求得，将目标式转化为关于的三角函数，求其最值即可.

【详解】（1）对直线的参数方程，两式相加可得，且，

由，得，

又对曲线，经过变换，

则，即，

所以直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为.

（2）直线极坐标方程整理得，即，

曲线变形得，

即，，

由题可知，，

则

当且仅当，即，，

当时，的最大值为.

23．(1)

(2)

【分析】（1）由绝对值三角不等式得，由题意知，即可得出的取值范围；

（2）由题意得，利用基本不等式求出的最小值，从而得出答案．

【详解】（1）由绝对值三角不等式得，当且仅当时等号成立，即，

由题意知，所以或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）由（1）知，的最小值为，所以，解得或．

当时，，不符合题意，故舍去．

从而，即．

，当且仅当，即时等号成立，所以，

综上，的最小值为．