陕西省商洛市2023届高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷（含解析）

陕西省商洛市2023届高三下学期第一次模拟考试理科

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，那么（    ）

A．1 B． C． D．2

3．在等差数列中，，则（    ）

A．6 B．3 C．2 D．1

4．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团．已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

其中x：y：z＝5：3：2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的．为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为（    ）A．4              B．6              C．9              D．10

5．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是图象的一条对称轴；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

7．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

8．双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

10．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（    ）

A．事件与相互独立 B．事件与相互独立

C． D．

11．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知偶函数对任意的都有，且，则（    ）

A．0 B．6 C．8 D．16

二、填空题

13．若满足约束条件，则的取值范围为___________．

14．函数在区间上的最小值为_________.

15．记为等比数列的前项和，若，，则______．

16．如图，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上（不含端点），设，，，则的最小值为_______．

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的值域．

18．网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式．为了调查每周网络购物的次数和性别的关系，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的列联表如下：

(1)从这100位市民中随机抽取一位，试求出该市民为每周网络购物不满10次的男性的概率；

(2)请说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？

[参考公式：（其中）]

19．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

20．已知函数.

(1)求 在点处的切线方程;

(2)求证：当时，.

21．已知函数．

(1)当时，讨论函数在区间上的单调性；

(2)当时，证明：．

22．已知直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线和曲线的极坐标方程；

(2)若射线分别交直线和曲线于、两点（点不同于坐标原点），求.

23．已知函数．

(1)求函数的最小值M；

(2)若且，求的最小值．

参考答案：

1．A

【分析】利用一元二次不等式的解法及并集的定义即可求解.

【详解】由，得，解得，

所以.

所以.

故选：A.

2．B

【分析】根据复数的四则运算求出复数，即可得的值.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

即，

所以，

所以.

故选：B

3．B

【分析】根据等差数列下标性质进行求解即可.

【详解】因为是等差数列，所以，

故选：B

4．B

【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.

【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的，

所以“剪纸”社团的人数占总人数的，人数为．

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为，

所以“剪纸”社团中高二年级人数为．

以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为．

故选：B.

5．B

【分析】求出切点坐标和斜率，即可求出切线方程.

【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，当x=1时，y=0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为.

故选：B

6．A

【分析】利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案.

【详解】对于①，的最小正周期为，故①正确；

对于②，，所以②不正确；

对于③，把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到，所以③不正确.

故选：A.

7．C

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.

故选：C.

8．B

【分析】利用双曲线的标准方程及双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】把双曲线的方程化为标准方程为，

由此可知，实半轴，虚半轴，，

所以双曲线的离心率为.

故选：B.

9．B

【分析】由题意，作出三视图的直观图，根据三视图所给数据，即可求出结果.

【详解】由题意，作出三视图的直观图，图下图所示，其中三棱锥即为该几何体的直观图，

由三视图可知，

，

所以三角形的高为

所以三角形的面积为；

，；

所以该几何体的表面积为.

故选：B.

10．D

【分析】计算出，，验证得到，，故AB错误；

利用条件概率公式求出，得到C错误，D正确.

【详解】先将甲、乙、丙、丁4名医务工作者分为3组，1组2人，2组1人，则有种选择，

再将分好的3组人员与参加登记、接种、留观3项工作全排列，故共有种基本事件，

若甲与另外一人，共同参加登记这项工作，则只需将乙、丙、丁与登记、接种、留观3项工作全排列即可，此时由种选择，

若甲单独参加登记这项工作，则先将剩余的乙、丙、丁分为两组，再和接种、留观2项工作全排列，有种选择，

故事件包含的基本事件数为：，则，

同理，

事件包含的基本事件数为：，则，

事件包含两种情况，一是甲单独参加登记这项工作，乙单独参加接种这项工作，则剩余的两人参加留观工作，此时由种选择，

二是甲乙两人，有1人不是单独参加工作，此时有种选择，

故事件包含的基本事件数为：，则

∵，故A错误；

∵，故B错误；

∵，故C错误；

∵，故D正确．

故选：D.

11．B

【分析】连接，，可得即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，由余弦定理可得答案.

【详解】连接，，，则，

则即为异面直线与所成角，

设正方体的棱长为2，则，，

则，

即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B.

12．C

【分析】利用赋值法以及函数的奇偶性、周期性求解.

【详解】因为为偶函数，，

所以，解得，

所以，那么的最小正周期为2，

所以，

，故A，B，D错误.

故选：C.

13．

【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置来求得的范围.

【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示，

要求的取值范围，即求在轴上的截距的取值范围，

数形结合可知当直线过点时在轴上的截距最大，即最小，

过时在轴上的截距最小，即最大，

所以，，

故的取值范围为，

故答案为：

14．0

【分析】利用导数得到函数单调性，即可求解.

【详解】由题意可得当时，；当时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以

故答案为：0

15．

【分析】通过可得，则公比可求，进而可求出及.

【详解】由，得，

所以等比数列的公比为，

故答案为：.

16．

【分析】由三点共线以及，可得，利用基本不等式即可求得的最小值.

【详解】,由图可知均为正数.

又三点共线，则，则.

【点睛】（1）平面向量中三点共线：若,则三点共线的充要条件是.（2）“1”的代换是基本不等式中构造的基本方法.

17．(1)，.

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.

（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

(1)

解：

，

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为，.

(2)

解：，

，

．

即函数在区间上的值域为．

18．(1)

(2)在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关

【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可求解；

（2）根据表格将数据代入的计算公式即可求解.

【详解】（1）由表中数据可知，每周网络购物不满10次的男性为40人，所以概率；

（2）由题意可知，，

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，根据线面平行的判定可证得结论；

（2）结合平行关系和体积桥可知所求为，由线面垂直的判定可证得为三棱锥的高，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）连接，

分别为中点，为的中位线，且，

又为中点，，，，，

，，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，平面.

（2）由（1）得：平面，，

连接，

在矩形中，；

四边形为菱形，，为的中点，，

，，平面，

平面，则为三棱锥的高，

，，

三棱锥的体积为.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；

（2）由题知，进而构造函数，研究最小值即可证明；

【详解】（1）解：由题知，，，

所以，切点为，斜率为，

所以，所求切线为.

（2）证明：，即

令，则

令，，则在恒成立，

所以，在上单调递增，有，

所以，在恒成立，即在上单调递增，

所以，，即，

综上，当时，.

21．(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可求，利用二次函数的性质通过分类讨论可求；

（2）由题可得函数的最小值为，构造函数设，可求函数的最大值为，即证.

(1)

∵，函数的定义域，

∴

，

设，

函数是开口向下的抛物线，

又．

①当时，，

又，即，

因此在上单调递减．

②当时，有两个不等实根，

设两个根为，且．

，可知，

解得，

因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

要证明成立，即就是证明成立．

当时，由上可知，函数在上递减，在上递增，

因此函数的最小值为．

设．

因此，当时，在区间上递增，

当时，在区间上递减，

所以的最大值为，

因此对任意，总有，

故．

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）根据普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线和曲线的极坐标方程；

（2）设点、的极坐标分别为、，求出、的值，即可得出，即可得解.

【详解】（1）解：直线的直角坐标方程为，

根据转换为极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为，即，

根据转换为极坐标方程为.

（2）解：设点、的极坐标分别为、，

射线与直线交于点，

故，

射线与曲线交于点，故，

故.

23．(1);

(2).

【分析】（1）利用零点分段法将写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数的最小值；

（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.

【详解】（1）由于，作出此函数图象如图所示:

由图象可知函数的最小值为，即．

（2）由（1）知，所以，所以，

即，当且仅当时等号成立，

∴,当且仅当时等号成立．

故的最小值为.