2023届福建省高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

2023届福建省高三第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

3．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在点处里程碑上刻着“ㄨ”，在点处里程碑上刻着“攵〦”，则从点到点的所有里程碑上所刻数之和为（    ）

A．1029 B．1125 C．1224 D．1650

4．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（　　）

A．，y1＞y2 B．，y1=y2

C．，y1=y2 D．，y1＜y2

5．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论不正确的是

A．卫星向径的最小值为

B．卫星向径的最大值为

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

6．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（    ）

A．-1010 B．-1009 C．1009 D．1010

7．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为

A． B． C． D．

8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的部分图象如图所示，则可以是（    ）

A． B．

C． D．

10．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（    ）

A． B．2 C． D．

11．在四面体ABCD中，，，．若平面同时与直线AB、直线CD平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

12．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*），则a5=______.

14．若，当时，实数的值为________

15．，有两个不同的解，则k的取值范围是______．

16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

18．如图，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱锥，使得.

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

19．已知圆，圆，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)证明C是椭圆（除去一点），并求C的方程；

(2)①一组方向向量为（k为常数）的平行直线与C均有两个公共点，证明这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；

②上图是该椭圆旋转一定角度所得的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其两个焦点的位置，并在答卷的图中画出来.（不必说明理由）.

20．某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和．

（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；

（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值．

①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？

②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．

21．设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．

(1)求常数的值；

(2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.

22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．

（1）求与交点的极坐标；

（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】解不等式求得，从而求得.

【详解】，

，

所以.

故选：D

2．D

【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.

【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，

故选：D.

3．B

【分析】根据规定确定点A和B处的里程碑的数值，结合等差数列通项公式求出里程碑的数量，利用等差数列前n项求和公式计算即可.

【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字54，B点处里程碑刻着数字96，

里程碑上的数字成等差数列，公差为，

则从A到B的所有里程碑个数为，

所以从A到B的所有里程碑上的数字之和为.

故选：B.

4．B

【分析】分别计算甲、乙的平均数和中位数，由此得出选项.

【详解】，故选B.

【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数和中位数的计算，属于基础题，直接计算求得相应的结果，再进行比较即可.

5．D

【解析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.

【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.

根据椭圆的几何性质有：卫星向径的最小值为，

卫星向径的最大值为，所以A, B正确.

当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，

由，可得越大，椭圆越扁，所以C正确.

卫星运行速度在近地点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.

则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.

故选：D

【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.

6．D

【解析】根据程序框图,先计算出和的含义,再根据即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.

【详解】依题意：得,.

解法一：,

故选:D.

解法二：,,

所以,

故选:D.

【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.

7．A

【分析】先画出圆锥的侧面展开图如图所示，再求线段BC的长度，即得点经圆锥侧面到点的最短距离.

【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，

由题得圆锥底面圆的半径为，

所以,

所以,所以BC=.

故答案为A

【点睛】(1)本题主要考查圆锥侧面两点间的最短距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求曲面上两点间的最短距离，一般利用展开法，转化成平面上两点间的最短距离.

8．D

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

【详解】由题意

，

所以，，

.

故选：D.

9．D

【分析】根据函数的奇偶性，定义域，特殊值排除即可得答案.

【详解】解：由函数的定义域，由于选项C的定义域为，故排除；

对于A选项，，即函数，不符合函数图像特点，排除；

对于B选项，当时，，又，不符合给出的函数图象的特点排除；

对于D选项，函数的定义域为，且时，函数为增函数，且，图像特征满足；

故选：D

10．D

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．

【详解】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．

则F（1，0），

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，

则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，

d=|PF|+|PA|≥|AF|=．

故答案为：

【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.

11．B

【解析】根据题意可得截面为平行四边形，求出异面直线所成的角，再代入三角形的面积公式，利用基本不等式可求得面积的最值.

【详解】如图所示，在四面体ABCD中，截面为，

由线面平行的性质定理可得，

同理可得：；

四边形为平行四边形；

当分别为边的棱的中点时，

，

为中点，，，

，

，；

设，则，，

，等号成立当且仅当，

多边形截面面积的最大值为，

故选：B.

【点睛】本题考查线面平行性质定理的运用、截面的面积最值、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基本不等式求最值的运用.

12．D

【解析】如图所示，与直线相交于，关于的对称点在上，根据切线与平行得到，得到答案.

【详解】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.

则

设，则，

故在上单调递减，在上单调递增，，

故恒成立，即恒成立.

的导函数，的导函数，

当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.

故，当，时等号成立.

故选：.

【点睛】本题考查了利用导数研究距离的最值，意在考查学生的综合应用能力.

13．31

【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.

【详解】因为，,

所以，，，.

故答案为：31.

【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

14．0或2.

【分析】将原式变形为，通项为，对应的系数，故得到从而得到结果.

【详解】因为，

将原式变形为，通项为

对应的系数，故得到

系数为

故答案为0或2.

【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

15．

【分析】根据题意，设，分析可得若有两个不同的解，则有2个正根，据此分析可得，解可得k的取值范围，即可得答案．

【详解】根据题意，设，

若有两个不同的解，则有2个正根，

则有，

解可得：，

即k的取值范围为；

故答案为

【点睛】本题考查方程的根判断，涉及函数的零点与方程根的关系，属于基础题．

16．##4.5

【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.

【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，

所以，即，

故，当且仅当时取等，

所以，

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，以及两角差的正弦公式，化简求解即可；

（2）根据正弦定理以及，，关系，化简为，然后分析的范围，进而利用二次函数单调性即可求得结果.

【详解】（1）由，

根据正弦定理得，，

则，或，

或（舍），.

（2）由（1）知，，

,

又，且，，

，.

，

令，，则，，

根据二次函数性质，可知在内递增，

.

18．(1)证明见解析；

(2)点到平面的距离为.

【分析】（1）先证明平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，再由距离公式求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，又，，

所以，故，

又，平面，，

所以平面，因为平面，

所以，

在等腰梯形ABCD中，，

所以，

所以，又，

所以，

因为平面，，

所以平面，因为平面，

所以平面平面；

（2）由（1）平面，，

以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，则

，所以，

令，则，

所以为平面的一个法向量，

所以点到平面的距离为，

19．(1)证明见解析，（）

(2)①证明见解析；②答案见解析

【分析】（1）根据两圆的位置关系得到，进而根据椭圆的定义即可求出结果；

（2）①设其中一直线l与C的两个公共点为，，线段AB的中点为，然后结合点差法得到，进而可得出结论；

②结合椭圆的对称性作出图形即可.

(1)

由得，，所以圆M的圆心为，半径，由得，，所以圆N的圆心为，半径.

所以，所以圆M内切于圆N，且易得它们切于点.

设动圆P的圆心为，半径为R.因为圆P与圆M外切且与圆N内切，圆M内切于圆N，所以，所，

由椭圆的定义可知，C是以M，N为焦点，长半轴长为6的椭圆（下顶点除外），设其方程为，则，，所以，，故C的方程为（）.

(2)

①因为该组平行直线的方向向量为，所以它们的斜率为k，设其中一直线l与C的两个公共点为，，线段AB的中点为，则，，，

当时，由椭圆的对称性知，这些直线被C截得的线段的中点均在y轴上；

当时，，由得，所以，即.

所以D在直线上，由l的任意性知，这些直线被C截得的线段的中点均在直线上；

综上，这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上，且该直线过原点.

②先作出两条互相平行的弦，再作出这两条弦的中点E，F；再作出另外两条互相平行且与前面作出的弦不平行的弦，作出这两条弦的中点M，N；作出直线EF和直线MN的交点O；以O为圆心，作一个圆交椭圆于P，Q，R，S四点，过O作平行于PQ的直线OA（A为该直线与椭圆的一个交点），过O作平行于QR的直线OB（B为该直线与椭圆的一个交点），则OA和OB中较长的为长半轴，较短的为短半轴，不妨设OB为短半轴，则以B为圆心，OA为半径作圆交长轴于，两点，则，为椭圆的两个焦点.

【点睛】椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．

20．（1）0.95；（2）①生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.

【解析】（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解；

（2）①根据（1）的结论求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；

②的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，得到的分布列，根据期望公式求解即可.

【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别为事件，，由题知，，互为独立事件，所以，，

，

令，解得，故的最小值．

（2）由（1）可知，，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，

不合格品率分别为0.05和0.1．

①由题知，生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品（件），

可挽回损失为（元），

生产线上随机抽检1000件产品，

估计不合格品（件），

可挽回损失为（元）．

由此，估计生产线挽回的平均损失较多．

②由题知，的所有可能取值为6，8，10，

用样本的频率分布估计总体分布，则

，，

，

所以的分布列为

所以（元）．

故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元）．

【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．

21．(1)；

(2)；

(3)详见解析.

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）求出的导数，对讨论，①当时，②当时，③当时，求出单调区间，求得最小值，即可得到的范围；

（3）对要证的不等式等价变形，可得，且运用（2）中的结论，通过的取值，即可得证.

（1）

由题可得，

根据条件知，

所以，

∴；

（2）

由题知，，

∴，，

设，，则，

①当时，由于，有，

于是在上单调递增，从而，

因此在上单调递增，即而且仅有，符合题意；

②当时，由于，有，

于是在上单调递减，从而，

因此在上单调递减，即不符合题意；

③当时，令，当时，

，于是在上单调递减，

从而，因此在上单调递减，

即，不符合题意；

综上可知，所求实数的取值范围是；

（3）

要证对于任意的正整数，不等式恒成立，

即证，

即证恒成立，

由（2）知时，在上单调递减，即而且仅有，

取，则成立，

由（2）中时，在上单调递增，而且仅有，

取，则成立，

因此对于任意的正整数，不等式恒成立.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．(1) ，或；(2) ．

【详解】试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.

试题解析：

（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．    

（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．    

23．（1）；（2）.

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）当时，由，可得，分析可得，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，.

当时，，解得，此时；

当时，，此时；

当时，，解得，此时.

综上所述，当时，不等式的解集为；

（2）若，则，

由，可得，即，解得，

对任意的时，不等式成立，则，

所以，，此不等式组无解.

故实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．