福建省2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

福建省2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知复数，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．使得的展开式中含有常数项的最小的n为

A． B． C． D．

3．下列命题中，正确的个数为（    ）

①“”是“”的一个充分不必要条件

②函数既是奇函数又是增函数

③函数与是同一函数

④函数的值域是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．将一个棱长为2的正方体铁块打磨成一个球体零件，则可以制作的最大零件的体积为（    ）

A． B． C． D．

5．“雨打黄梅头，四十五日无日头”是梅雨时节的特点．福建省某三个地区明天下雨的概率分别为0.8，0.8，0.9，若各地区是否下雨互不影响，则明天至少有1个地区下雨的概率为（    ）

A．0.576 B．0.648 C．0.992 D．0.996

6．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C．2 D．

7．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ）

（参考数据：①；②；③）

A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分

B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多

C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人

D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为

10．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知正方体ABCD-的棱长为2，F是正方形的中心，则（    ）

A．三棱锥F-的外接球表面积为4π

B．平面

C．平面，且

D．若点E为BC中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半.

12．定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(    )

A．的图象关于对称 B．4是的一个周期

C．  D．

三、填空题

13．若函数为奇函数，则φ＝_________.

14．已知圆C：与直线相切，且圆D与圆C关于直线对称，则圆D的方程是___________．

15．数列满足，，其前n项积为，则______．

16．若双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为___________.

四、解答题

17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

(1)求；

(2)若的面积为，，求的周长.

18．如图所示，在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中， ，点E在PD上，且.

(1)求证PA⊥平面ABCD；

(2)求平面EAC与平面DAC所成角θ的大小；

(3)棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论.

19．已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前n项和，且满足．

(1)分别求数列和的通项公式；

(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．

20．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；

(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．

(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．

附：样本相关系数，，，，

21．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，①求的范围；②证明：.

22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．

(1)求C的方程；

(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】解：因为

所以

的共轭复数的虚部为．

故选：C．

2．B

【详解】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B

【考点定位】本题考查二项式定理的应用．

3．B

【分析】解出①中不等式对应的范围即可得命题①是正确的，将函数写成分段函数形式画出函数图象可知命题②正确；根据函数定义域和值域的取值范围可知命题③错误；利用换元法即可求得函数值域为，可得④错误.

【详解】对于①，由可得，由可得；

又因为，所以“”是“”的充分不必要条件，即①正确；

对于②，由可得，其图象如下图所示：

所以，函数既是奇函数又是增函数，即②正确；

对于③，函数的值域为，函数的值域为，两函数值域不同；

所以函数与不是同一函数，即③错误；

对于④，令，则，

所以，即其值域为，所以④错误；

综上可得①②正确；即正确的命题个数为2个.

故选：B

4．C

【解析】由题意得出该球体为正方体的内切球时体积最大，最后由球的体积公式得出答案.

【详解】由题意可知，当该球体为正方体的内切球时，即该球体半径，可使得体积最大

故选：C

5．D

【分析】利用对立事件概率公式，即可求解.

【详解】明天三个地区都不下雨的概率，

则至少有1个地区下雨的概率为.

故选：D

6．A

【分析】根据正弦函数的定义直接计算即可.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，.

故选：A

7．C

【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.

【详解】设的中点是，

，

即，所以，

所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.

8．D

【分析】根据题意，构造出函数，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小.

【详解】令，则.

因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递减.

而，，

所以在上有.

所以在上单调递减.

所以，即.故.

故选：D.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

9．BD

【分析】根据正态分布中的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D.

【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误；

对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；

对于C，时，，

故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误；

对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，

由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.

故选：BD

10．ABC

【分析】通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.

【详解】由题可知，函数，

若时，则，定义域为：，选项C可能；

若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为 选项B可能；

若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，

故不可能是选项D，

故选：

【点睛】本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域、奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.

11．BCD

【分析】可得的中点到三棱锥F-的各顶点距离相等，即可求出外接球半径，可判断A，可由面面平行得到线面平行，可判断B，由正方体的性质可判断C，通过转换顶点确定两个三棱锥底面与高的关系可判断D.

【详解】对于A，在中，设为的中点，则有，由中位线定理得，故三棱锥F-的外接球半径为，表面积为，故A错误；

对于B，可得，可得平面，故B正确；

对于C，平面即平面，在正方体ABCD-中，,可得平面，又，故C正确；

对于D，三棱锥即三棱锥，三棱锥即三棱锥，在正方体中，点E为BC中点，三棱锥和三棱锥底面积相等，三棱锥的高是三棱锥的一半，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半，故D正确.

故选：BCD.

12．AD

【分析】对A：由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称.

对B：令,由及可得到的图象于对称且关于对称，故4为的一个周期,而不是的一个周期.

对C：举例说明.

对D：由的周期性求得的值.

【详解】对A：因为关于对称,有，

令，则，的图象关于对称.选项A正确；

对B：由题设条件得，

令，有，则的图象于对称，

因为，有，

即，则的图象关于对称.

所以，又，所以，

所以，所以，

所以4为的一个周期，即，

则.选项B不正确；

对C：由上知图象关于对称，对称，

则令符合题意，而.故C不正确;

对D：因为图象关于对称，所以，

故，有.选项D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质，关于的求值问题也转化为的求值问题.

13．

【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数是奇函数，求出φ即可．

【详解】函数2sin（x+φ），

因为函数是奇函数，所以φ．

故答案为．

【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，是基础题.

14．

【详解】试题分析：圆C：的圆心为（-1,2），半径为，因为与直线相切，所以根据圆心到直线的距离等于圆半径可以求出，即半径为，因为圆D与圆C关于直线对称，所以圆心关于直线对称，半径不变，可以求出（-1,2）关于该直线对称的点为（0,1），所以圆D的方程是.

考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的关系.

点评：两个圆关于某条直线对称，应该圆心关于这条直线对称，而半径不变.

15．

【分析】根据数列的项的周期性，去求的值即可解决.

【详解】由，，可得，，，，，，

由此可知数列的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，所以数列的前2022项之积为．

故答案为：

16．

【分析】结合已知条件，写出双曲线的渐近线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求出，，之间的关系即可求解.

【详解】对于双曲线，其中渐近线方程为：，

对于圆，化成圆的标准方程为：，

则圆心为，半径，

因为渐近线与圆相切，

由圆的位置关系可知，只能与渐近线相切，

所以圆心到渐近线的距离，

故，解得.

故答案为：.

17．(1)

(2)8

【分析】（1）由及正弦定理求解；

（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.

【详解】（1）.由正弦定理可得：

，

所以，

所以，

，

为三角形内角，，解得，，

.

（2），，

由余弦定理得，，

即，解得，

的周长为.

18．(1)证明见解析

(2)

(3)是，证明见解析

【分析】（1）由线线垂直证线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系如图所示，由向量法求面面角.

（3）设，由线面平行列式即可解得参数证明.

【详解】（1）∵，四边形ABCD为菱形，∴，∴，

∵平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD；

（2），则，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

∵点E在PD上，且，∴.

又平面DAC的一个法向量为，设平面EAC的法向量为，，由，取得，

∴，则由图可知平面EAC与平面DAC所成角θ的大小为；

（3）设在PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，设，则，

∴.

由.

∴点F为PC中点时满足条件.

19．(1)，;

(2)11302.

【分析】（1）利用基本量代换列方程组分别求出公差和公比，即可求出和的通项公式；

（2）判断出公共项，利用公式法求和.

【详解】（1）设正项等差数列的公差为.

因为所以，解得：，所以.

设正项等比数列的公比为.

因为所以，解得：，所以.

（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列.

设数列的前n项和为Bn，所以

.

20．(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

(2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.

（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；

(ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数.

【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.

因为,

所以 ,

所以 ,

所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

（2）(i)

，

要使取得最小值，当且仅当.

(ii) 由(i)知 ，

所以y关于x的经验回归方程，又，

所以当 时，则，

所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

21．(1)见解析

(2)①或.②证明见解析.

【分析】（1）求导后，按照和分类讨论导函数的符号可得结果；

（2）①分类讨论，得到函数的单调性，利用单调性求出的最小值，由可求出结果；②根据当时，对，有，即，得到，利用此不等式进行列项求和后可证不等式成立.

【详解】（1）因为，，

所以，，

当时，，，所以在上单调递减，

当时，令，得，得，(舍去)，

当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上所述：当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）①由（1）知，当时，在上单调递减，所以，

此时，因为当时，，所以，解得，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

若，则，，，，，，则在上单调递增，

所以，所以，

因为当时，，所以，解得.

若，则，，不满足当时，.

综上所述：的取值范围是或.

②由①知，当时，对，有，即，

又时，，，所以，

所以.

【点睛】（2）①将当时，，转化为求解是解题关键；②利用时， ，然后进行裂项求和证明不等式是解题关键.

22．(1)

(2)或

【分析】（1）由椭圆的离心率及△ABF2的面积为3，列出两个基本量的方程求解即可；

（2）根据对称性可知，圆E的圆心在轴上，利用直线l特殊位置时求出符合条件的圆E的方程，一般情况下前进性验证即可.

【详解】（1）已知椭圆C的离心率为，所以；

由当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3，得，即，又，

所以，又，则，椭圆方程为.

（2）当l⊥x轴时，以AB为直径的圆的圆心为F1，半径；

当l为x轴时，以AB为直径的圆的圆心为O，半径；

因为直线l过点F1，所以以AB为直径的所有圆关于轴两两对称的，

根据对称性可知，圆E与以AB为直径的圆内切时，圆心在轴上.设圆心E，半径为R,

当以AB为直径的圆在圆E内部与E相切时，

则，，故，

又，所以， ，即，，圆E的方程为；

当以AB为直径的圆在圆E外部与E相切时，

则，，故，又，

所以， ，即，，圆E的方程为；

当直线l斜率不为零时，设直线l的方程为,，，

联立，得，

则，，

所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心，半径，当圆E的方程为时，

，

此时，所以以AB为直径的圆与E相切.

当圆E的方程为时，

，

此时，所以以AB为直径的圆与E相切.

综上圆E的方程或.

【点睛】与圆锥曲线相关的圆问题方法点睛

因为圆的方程在圆锥曲线的求解过程中计算量比较大，所以往往不直接进行求解，而是由特殊位置求解圆的方程或者找到其特征，再一般情况下进行验证即可.