湖北省荆门市2022届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

湖北省荆门市2022届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．设集合，则(    )

A． B． C． D．

2．设复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．整数除以7的余数为（    ）

A．6 B．5 C．3 D．1

4．若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（   ）

A． B．

C． D．

5．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9与圆C2：(x-5)2+y2＝16的公切线条数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．设点D为的边AB上一点，点P为内一点，且分别满足关系，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为

B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为

C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生

D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率

10．已知双曲线过点且渐近线方程为，是双曲线的焦点，则下列结论正确的是（    ）

A．的方程为；

B．的离心率为2；

C．是双曲线上一点，且，则；

D．直线与只有一个公共点.

11．已知，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ）

A．异面直线与所成角的取值范围是

B．三棱锥的体积不变

C．平面平面

D．若，则的最小值为

三、填空题

13．若命题“，使得”是真命题，则实数a的取值范围是_______．

14．现有个小球和个小盒子，下面的结论正确的是____________.

①若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），则共有种放法；

②若个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有种；

③若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有种；

④若编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有种.

15．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为______．

四、双空题

16．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，且，，，则的标准方程为___________；若过点的直线与椭圆交于两点，且点关于点对称，则的方程为___________.

五、解答题

17．已知数列满足

(1)求数列的通项公式

(2)记，求数列的前项和

18．如图，在三棱柱中，AC＝BC，四边形是菱形，，点D在棱上，且．

(1)若，证明：平面平面ABD．

(2)若，是否存在实数，使得平面与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．在中，角所对的边分别，已知且.

(1)求角的大小；

(2)若是的中点，，求面积的最大值.

20．学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：

某次数学考试试卷评阅采用“双评＋仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理）．

（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数的分布列及数学期望；

（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“类解答”．

①记乙同学6个题得分为的题目个数为，，计算事件“”的概率．

②同学丙的前四题均为满分，第5题为“类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“类解答”的认识．

21．已知抛物线的焦点为，且过点与轴垂直的直线截抛物线所得弦长为4.

（Ⅰ）求

（Ⅱ）当动直线与抛物线相切与点，且与直线相交于点，求证：为直角三角形.

22．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中shx＝，chx＝分别称为双曲正弦、余弦函数．

(1)若对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．

(2)若a＞0，存在，使得成立，试比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，并证明你的结论．

参考答案：

1．B

【分析】根据对数不等式解法求出集合A，根据二次不等式解法求出集合B，从而根据集合补集和并集的概念即可得到答案．

【详解】，

或，

，

则．

故选：B．

2．C

【分析】通过解方程组求得，进而求得的虚部.

【详解】依题意，，

两式相加并化简得，

所以，

，两边乘以得，

所以的虚部为.

故选：C

3．A

【分析】变形55＝56﹣1，利用二项式定理展开即可得出答案．

【详解】解：

因为能被7整除，

所以除以7的余数为6.

故选：A.

4．D

【分析】先根据等差中项求出，再套用离心率公式即可求解.

【详解】因为，所以，解得，

所以，

，

则，

所以

故选：D

5．D

【分析】由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.

【详解】由题设，即在恒成立，

当时，上，不满足题设，

所以，此时在上递减，递增，

要使不等式恒成立，则，即，

综上.

故选：D

6．B

【分析】根据题意，求出两圆的圆心，半径及圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案．

【详解】根据题意，圆C1：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圆心为(2，4)，半径R＝3，

圆C2：(x-5)2+y2＝16，其圆心为(5，0），半径r＝4，

圆心距|C1C2|5，则有r-R＜|C1C2|＜r+R，所以两圆相交，

所以两圆有2条共切线；

故选：B．

7．B

【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．

【详解】解：如图所示，

第一排 三个图讨论最短；第二排 三个图讨论最长，

设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，

第一排，三个图讨论最短：

当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；

当时构成的四面体，不满足题意；

所以满足题意的四面体第三对棱长大于，

第二排，三个图讨论最长：

当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；

当时构成的四面体，不满足题意；

所以满足题意的四面体第三对棱长小于；

综上，，．

故选B．

【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．

8．B

【分析】根据向量关系得到，，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值.

【详解】

，，所以，

又，

所以的高：的高，

，，，

当且仅当，取等号.当时，取得最大值.

故选：B.

【点睛】本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题.

9．AD

【分析】由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.

【详解】对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为，故A错；

对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有，6个基本事件，故由古典概型可知，故B正确；

对于C，和事件发生，就是，事件至少一个发生，它的对立事件就是，事件都不发生，即事件，都发生，故C正确；

对于D，试验次数足够多，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，不一定是事件发生的概率，故D错误.

故选：AD

10．BD

【分析】根据给定条件求出双曲线的方程，再逐一分析各选项，计算判断作答.

【详解】因双曲线的渐近线方程为，则设双曲线的方程为，

而点在双曲线上，于是得，即，双曲线的方程为， A错误；

由，，得，双曲线的离心率为，B正确；

由双曲线的定义，，则或，C错误；

直线与双曲线的渐近线平行，直线与只有1个公共点，D正确.

故选：BD

11．ABC

【分析】将指数转化为对数可得，，利用换底公式计算的值可判断A；根据对数函数的单调性判断的范围即可得的范围，再由即可得的范围可判断B；由对数的运算可得，利用函数的单调性求出得范围可判断C；根据的范围即可得以及的范围可判断D，进而可得正确选项.

【详解】由可得：，，

对于A：，所以，故选项A正确；

对于B：，，

即，所以，

，即，

所以，所以，，故选项B正确；

对于C：，，

所以，令，

则在上单调递增，

所以，故选项C正确；

对于D：，，所以，，

所以，故选项D不正确，

故选：ABC.

12．BCD

【分析】根据为中点时，异面直线与所成角为判断A；根据判断B；证明平面即可判断C；将平面沿展开使其与平面重合时，再求的距离即可判断D.

【详解】解：对于A选项，由正方体的性质易知，为等边三角形，

所以，当为中点时，，

所以，此时，异面直线与所成角为，故A选项错误；

对于B选项，由正方体的性质易知平面，平面，侧面为正方形，

所以，，由于平面，

所以平面

设到平面的距离为，则，

因为，

所以，三棱锥的体积，故正确；

对于C选项，由正方体的性质易知平面，平面，

所以，，由于，平面，

所以平面，平面，

所以，同理证得，

由于，平面，

所以平面，因为平面，

所以平面平面，故C选项正确；

对于D选项，根据题意，将平面沿展开使其与平面重合时，如图，

因为，所以，，

所以，故正确；

故选：BCD

13．

【分析】根据题意由即可求出.

【详解】，使得，

，解得或，即实数a的取值范围是.

故答案为：.

14．②③④

【分析】由分步乘法计数原理可判断①的正误；由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断②的正误；由分步乘法、排列、组合知识可判断③的正误；利用枚举法可判断④的正误.

【详解】对于①，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），每个小球有种放法，共有种不同的放法，①错误；

对于②，将个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒，

则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放个小球，

此时，共有种不同的放法，②正确；

对于③，将个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒，

则两个盒子各放个小球，另一个盒子放个小球，此时，共有种放法，③正确；

对于④，将编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法为：、、、、、、、、，共种，④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

15．

【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.

【详解】解：因为数列为等比数列，，公比，

所以 ，

所以，当时，最大，

即 ，解得：，

所以，当或时，最大，为.

故答案为：

16．         

【分析】记椭圆的半焦距为，根据椭圆的定义，由题中条件，得到；再由勾股定理，根据，求出，得到，即得椭圆方程；设，，根据题中条件，由中点坐标公式，得出，再将坐标代入椭圆方程，两式作差整理，求出直线的斜率，即可求出直线方程.

【详解】记椭圆的半焦距为，

根据椭圆的定义可得，，则，

又，则，所以，

则；所以，因此椭圆的方程为；

设，，因为点关于点对称，所以；

由题意可得，两式作差可得，

则，

所以直线的方程为，即.

故答案为：；.

【点睛】思路点睛：

求解椭圆中的中点弦问题时，一般需要先设弦端点的坐标，代入椭圆方程，两式作差整理，求出弦所在直线方程，进而即可求解.

17．(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得；

（2）由题可得，然后根据裂项相消法即得.

【详解】（1）由，可得，

两式相除得，

所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列，

由，，可得，

当为奇数时，，

当为偶数时，，

所以；

（2）因为

，

所以，

所以.

18．(1)证明见解析

(2)存在，．

【分析】(1) 取AB的中点O，连接，OC．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB⊥平面．然后再证明平面ABD，最后利用面面垂直的判定即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面和平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：取AB的中点O，连接，OC．

因为四边形是菱形，且，所以，则．

因为O为AB的中点，所以．

因为，且O为AB的中点，所以AB⊥OC．

因为，平面，且，所以AB⊥平面．

因为平面，所以．

因为，AB，平面ABD．且，所以平面ABD．

因为平面，所以平面平面ABD．     

（2）因为，所以，所以AC⊥BC．

因为O是AB的中点，所以．

因为四边形是菱形，且∠，所以是等边三角形．

因为O是AB的中点，所以．

因为，所以，则OB，OC，两两垂直，故以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，，故，，，，.

因为，所以，所以．

设平面的法向量为，

则，令，得．

设平面ABD的法向量为，

则，令，得．

设平面与平面ABD所成的角为，则，

解得或，故存在或，使得平面与平面ABD所成角的余弦值是．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果；

（2）由，结合向量的模长公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）由且得：，

由正弦定理得，

又，即；

（2）由，得到，

则，化简得，当且仅当时，等号成立，

面积，即面积的最大值为；

20．（1）分布列见解析；期望为；（2）①；②答案见解析．

【分析】（1）根据题中规则：规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．可得随机变量的取值为9，9.5，10，10.5，11，利用表格中的概率值，求出各种情况下的概率，即可得到分布列，以及数学期望；

（2）①事件发生的次数，“”相当于事件恰好发生3次，那么就可以求出其概率；

②分别求出乙，丙同学的均值，比较大小即可.

【详解】（1）根据题意，随机变量的取值为9，9.5，10，10.5，11．

设一评、二评、仲裁所打的分数分别是，，，

，

，

，

，

故的分布列为

．

（2）①方法一

事件“”可分为，；，；，；，四种情况，其概率为

．

方法二

记“或”为事件，6次实验中，事件发生的次数，“”相当于事件恰好发生3次，故概率为：．

②由题意可知：乙同学得分的均值为，丙同学得分的均值为：．

显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“类解答”的出现．

21．(Ⅰ)2（Ⅱ）详见解析

【分析】（Ⅰ）由题意将代入，得弦长，所以解得.

（Ⅱ）由题意，当直线斜率不存在或斜率为0时，显然不成立，设，可得B点坐标，再与抛物线联立，求得A点坐标，利用=0，可证得结论.

【详解】（Ⅰ）由题意，将代入，得，所以解得.

 (Ⅱ)由题意，当直线斜率不存在或斜率为0时，显然不成立，设，联立

得，

由题意，得，

设，则，，

即，又易得，，

则，，

∴

=，

所以，即为直角三角形.

【点睛】本题考查了抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，属于中档题．

22．(1)；

(2)答案见解析﹒

【分析】（1）不等式左边构造为函数g(x)，g(x)为偶函数，∴不等式恒成立转换为g(x)的最大值小于等于零，故对g(x)的单调性进行讨论，求其最大值；

（2）该存在性问题转化为，故对函数y＝ch x和函数h(x)＝的单调性进行讨论，分别求它们的最小值和最大值，由此即可得到参数a的取值范围；要比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，构造函数t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，根据前步求出的a的范围求其单调性进行研究﹒

(1)

设，

∵g(x)为定义域R上的偶函数，∴只需x≥0时g(x)≤0即可；

∵g(0)＝0，，g′(0)＝0；

令，则．

①当时，m′(x)≤0，∴对任意x≥0，g′(x)单调递减，g′(x)≤g′(0)＝0，g(x)单调递减；

∴对任意x≥0，g(x)≤0恒成立；

②当λ≥0时，m′(x)＞0，∴任意x≥0，g′(x)单调递增，g′(x)≥g′(0)＝0，g(x)单调递增；

∴对任意x≥0，g(x)≥0恒成立，不满足题意；

③当时，若，则m′(x)＞0，g′(x)单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0，

g(x)单调递增，g(x)＞g(0)＝0，不满足题意；

综上知，实数λ的取值范围是．

(2)

若a＞0，存在，使得成立，

则；

∵，∴当x≥1时(chx)′＞0；

∴y＝chx在[1，＋∞)上单调递增，∴chx≥ch1，即；

令h(x)＝a(﹣ch2x＋4shx﹣1)，则h(x)＝a(﹣1﹣sh2x＋4shx﹣1)＝a[﹣(shx﹣2)2＋2]；

∵a＞0，x≥1，y＝shx在[1，＋∞)上单调递增，∴，∴＝2a；

∴，即．

设t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，则，因为；

当时，t′(a)＞0，t(a)单调递增，当a＞e﹣1时，t′(a)＜0，t(a)单调递减；

∴t(a)至多有两个零点；

又t(1)＝t(e)＝0，∴当a＞e时，t(a)＜0，即(e﹣1)lna＜a﹣1；

当a＝e时，t(a)＝0，即(e﹣1)lna＝a﹣1；

当时，t(a)＞0，即(e﹣1)lna＞a﹣1．

综上，a＞e时，(e﹣1)lna＜a﹣1；

a＝e时，(e﹣1)lna＝a﹣1；

时，(e﹣1)lna＞a﹣1．

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)考查数形结合思想的应用．