湖北省荆州市沙市中学2020届高三下学期5月第三次模拟数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com湖北省荆州市沙市中学2019-2020学年高三第三次模拟考试文科数学试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合，集合求即可.

【详解】解:由集合，集合，

则,

故选:B.

【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.

2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（    ）

A.  B. -2 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

分析】

根据复数除法的四则运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，整理出复数代数形式的标准形式，得到答案.

【详解】.

故选：B．

【点睛】本题考查复数的基本概念和复数的四则运算，属于基础题.

3.中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法.某大学开设这四门课供学生选修，男生甲选其中三门课进行学习，已知他选修了京剧，则他选修书法的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出4门课程里选3门课程（京剧已选）的基本事件的个数，再求出从4门课程里选3门课程他选修了京剧，且选修书法的基本事件的个数，然后结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】解：因为4门课程里选3门课程（京剧已选），再从剩下的3门课程中选2门即可，共有{京剧，武术，中医}，{京剧，武术，书法}，{京剧，中医，书法}3种不同的选择，

又从4门课程里选3门课程他选修了京剧，且选修书法共有{京剧，武术，书法}，{京剧，中医，书法} 2种不同的选择，

所以选书法的概率为，

故选：D.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题.

4.已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将两边同时平方，再结合同角三角函数的关系及二倍角公式求解即可.

【详解】解：因为，

两边同时平方得，

所以，所以，

故选：C.

【点睛】本题考查了二倍角公式，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.

5.设等差数列前项和为，若，，则（    ）

A. 13 B. 15 C. 17 D. 19

【答案】D

【解析】

【分析】

因为，，可得，从而求出，根据等差数列的性质可计算的值.

【详解】因为，，所以，

即，解得，所以.

故选：D．

【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的通项公式，属于基础题.

6.公元5世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：（称之为“约率”）和（称之为“密率”）．一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1），如果取圆周率为“约率”，则该几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

该图为三棱锥和半圆锥组成，按棱锥和圆锥的体积公式计算，体积公式中的代值计算时用计算即可.

【详解】如图，组合体有半个圆锥与一个三棱锥放一起形成，所以．

故选：A.

【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求体积，考查棱锥和圆锥体积公式，考查新概念的理解，属于基础题.

7.函数的图象可能是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先判断函数的奇偶性，再结合特殊变量对应的函数值的符号判断即可得解.

【详解】解：由函数，

则，

所以为偶函数，

又偶函数图像关于轴对称，

所以B，D不正确，

又因为，，

即C不正确，

故选：A.

【点睛】本题考查了偶函数图像的性质，重点考查了函数图像的对称性，属基础题.

8.菱形中，，，点为线段的中点，则为(    )

A.  B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先建系，再结合向量数量积的坐标运算求解即可.

【详解】解：建立如图所示坐标系，，，，，

所以，

则，，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.

9.数列的前项和为，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先由数列的递推关系可得当为奇数时，，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；当为偶数时，，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，再结合等比数列前项和的求和公式求解即可.

【详解】解：由，，，

当为奇数时，，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；

当为偶数时，，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查了等比数列前项和的求和公式，重点考查了等比数列的判断，属基础题.

10.点在直线上，则实数的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断出点的轨迹，然后结合直线与圆的位置关系求解即可.

【详解】解：因为，

所以的轨迹是半径为1的圆，

直线恒过与圆有公共点，

如图，临界为相切时刻，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.

11.已知双曲线：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

因为，所以点P在以为直径的圆上，且圆心为O，所以，已知， ，所以根据正切函数的二倍角公式可计算的值，进而求得双曲线的离心率.

【详解】∵，所以点P在以为直径的圆上，且圆心为O，∴，

∴，又已知，，，∴.

故选：D．

【点睛】本题考查求双曲线离心率，考查正切函数的二倍角公式，考查数形结合的数学思想，属于中档题.

12.设函数，若有两个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先将表示为关于的函数，再利用导数求函数的值域即可得解.

【详解】解：由可知，

，

∴，

∴，，

又，

令，则，

则函数在为减函数，在为增函数，

又，，，

∴，

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数求函数的值域，属中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线在处的切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.

【详解】解：由，

得，

则，

即当时，，

所以切线方程为：，

故答案为：.

【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.

14.设，满足约束条件，则的最小值是______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据条件画出约束条件所表示的可行域，再利用几何意义求最值，的几何意义是轴上纵截距的2倍，所以只需求出在轴上纵截距的最小值，则可得出结果.

【详解】如图，不等式组所表示的平面区域，令，移动此直线，当目标函数过取得最小，且．

故答案为：.

【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查线性目标函数的几何意义，属于基础题.

15.设抛物线：焦点为，斜率为正数的直线过焦点，交抛物线于，两点，交准线于点，若，则直线的斜率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义有，，然后再求解即可.

【详解】解：分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，

∴，，

∵，

则为中点，

在中，，

∴，

设，

则，，

∴，

∴，

故答案为：.

【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题.

16.如图，边长为4的正方形，为中点，为边上一动点，现将，分别沿，折起，使得，重合为点，形成四棱锥，过点作平面于.①平面平面；②当为中点时，三棱锥的体积为；③为的垂心；④长的取值范围为 .则以上判断正确的有______（填正确命题的序号）.

【答案】①②④

【解析】

【分析】

对于①，由面面垂直的判断定理即可判断；

对于②，利用等体积法求三棱锥的体积即可；

对于③，假设为垂心，则，平面，可得，又不恒为2，对于④，沿将折到四边形内，即位置，此时沿翻折，由可得.

【详解】解：对于①，如图所示，∵，所以折起后不变，，，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，即①正确；

对于②，当为中点时，，∴，即②正确；

对于③，当运动时，若为垂心，则，平面，∴，又，∴平面，∴，∴，∴，∴，即，又不恒为2，即③不正确；对于④，如图（3）沿将折到四边形内，即位置，此时沿翻折，如图，∴，∴，即④正确，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了线与面的位置关系，重点考查了空间几何体的体积的运算，属中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.在中，角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理可得，结合运算即可；

（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.

【详解】解：（1）由正弦定理可得，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，∴，

∵，

则；

（2）由余弦定理可得，

得，

化简得，

又，则，

解得，或，，

所以三角形周长为.

【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.

18.如图，四棱锥，平面，底面梯形，，，，，为中点.

（1）证明：直线；

（2）若平面与棱交于，求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先证明平面，再证明即可；

（2）先证明为四棱锥的高，再结合棱锥的体积公式求解即可.

【详解】证明：（1）证明：如图，连结，

在中，，易得，

在中，

∴，

又∵平面，

∴，

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴；

（2）取中点，连结，，

在中，，分别为，中点，

∴，

又∵，

∴，

∴，，，四点共面，

∴即为平面与棱的交点；

∵平面，

∴，

又，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，为中点，

∴，

又∵，平面，

∴平面，

∴即为四棱锥的高.

.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定及线线垂直的证明，重点考查了棱锥的体积的求法，属中档题.

19.2019年春节前后，中国爆发新型冠状病毒（SARS-Cov-2）如图所示为1月24日至2月16日中国内地（除湖北以外的）感染新型冠状病毒新增人数的折线图，为了预测分析数据的变化规律，建立了与时间变量的不同时间段的两个线性回归模型.根据1月24日至2月3日的数据（时间变量的值依次为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11）建立模型①：；根据2月4日至2月16日的数据（时间变量的值依次为12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24）建立模型②：.

（1）求出两个回归直线方程；（计算结果取整数）

（2）中国政府为了人民的生命安全，听取专家意见，了解了病毒信息，并迅速做出一系列的隔离防护措施，但新冠状病毒在世界范围内爆发时，某些欧美国家采取放任的态度，不治疗、不隔离、不检测，甚至不公布，请你用以上数据说明采取一系列措施的必要性，不采取措施的后果.

参考数据：，，，

参考公式：.

【答案】（1），；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）结合题设的参考数据及参考公式求回归方程即可；

（2）利用回归方程，结合题设对应图像分析即可得解.

【详解】解：（1）当时，，

，∴，

∴，所以模型①：；

当时，，

，，

，所以模型②：；

（2）由图可观察出除湖北外由于我国的隔离防护等一系列措施的实施，从2月3日以后新冠状病毒新增确诊病例出现了拐点，逐渐减少，呈下降的趋势，效果显著；假如不采取措施，任由其发展，按模型①的规律发展下去，在2月16日，即时，新增确诊病例预测为，是采取措施后的十几倍，所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位.

【点睛】本题考查了线性回归直线方程的求法，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属基础题.

20.函数，.

（1）设是函数的导函数，求的单调区间；

（2）证明：当时，在区间上有极大值点，且.

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求出，再求出，然后解不等式，求解即可；

（2）先利用零点定理证明为函数的极大值点，再构造函数，利用导数证明即可.

【详解】解：（1）定义域为，

则，，

令，由，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）可知在上单调递减，

∵，∴，

由，，

设，

∵，，

∴，

∴，

∴，使得，

即时，，时，，

所以为函数的极大值点.

∵，即①，②，

将①代入②整理得：，

设，则，

∴在上单调递减，

∴，

所以当时，恒成立.

【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数证明不等式恒成立，属中档题.

21.已知椭圆：的离心率为，左右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】

【分析】

（1）由当在轴时，面积最大，得，然后结合求解即可；

（2）先设，求出点，的坐标，然后求出以为直径的圆的方程，再结合在椭圆上，代入方程整理得圆的方程为，然后令，求解即可.

【详解】解：（1）由题意知，当在轴时，面积最大，

所以①，

又②，

联立①②，得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）设，其中，则，，

所以直线的方程为，

令，得，即，

又，所以直线的方程为，

令，得，即，

所以，以为直径的圆的方程为：

，

又，

且在椭圆上，

所以，

代入方程整理得圆的方程为

，

令，

则，

所以存在点，使得以为直径的圆恒过点.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，主要考查了圆的方程，重点考查了运算能力，属中档题.

（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线的直角坐标方程和极坐标方程；

（2）若将曲线绕点逆时针旋转得到曲线，曲线与曲线交于，，与轴分别交于，，求三角形的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用公式，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程互换.（2）由题意写出曲线的直角坐标方程，联立曲线求得点坐标，再求出点坐标，由三角形面积公式求解.

【详解】解：

（1）曲线的参数方程为（为参数），化为直角坐标方程为：，化为极坐标方程为：，化简得：.

（2）曲线绕点逆时针旋转得到曲线，方程为，联立，解得：.

在中，令得：.

所以三角形的面积为：.

【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标的互化，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.

23.已知．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由题意可知：，由零点分段法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集.（2）原不等式等价于，运用零点分段法讨论的最小值，再由不等式的解法可得所有范围.

【详解】解：（1）当时，即求解：.等价于或或，解得：或或.

所以原不等式解集为：.

（2）有解等价于：有解.

当 时， ，为先减后增函数，且在时有最小值.所以，即；

当时，，为先减后增函数，且在时有最小值，所以，即.所以的值范围是.

【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式有解问题，考查学生分类讨论的思想，考查学生的计算能力，属于中档题.