河南省郑州外国语学校2021届高三上学期调研测试（四）数学文试卷 Word版含答案

郑州外国语学校2020-2021学年上期高三调研4试卷

文科数学

（120分钟    150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ）

A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限    D. 第四象限

2. 已知集合，，则（    ）

A     B.      C.       D.

3. 已知，且为第三象限角，则的值等于（    ）

A.       B.         C.         D.

4. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，，且，，则

5. 已知数列为等差数列，且，，则（   ）

A.     B.     C.     D.

6. 执行图所示的程序框图，则输出的结果为（    ）

A.          B.      C.         D.

7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ）

A.    B.      C.      D.

8. 若函数，则不等式的解集为（    ）

A.    B.      C.      D.

9.已知向量的夹角为，点为的平分线上的一点，且,则（   ）

A.          B.      C.          D.

10.“为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ）

A.

B.

C.  

D.

11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（    ）

A.      B.    C.     D.

12.已知函数函数与的图象关于直线对称，令，则方程解的个数为（ ）

A. 1       B. 2         C. 3          D. 4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设实数，满足约束条件则的最大值为__________．

14.已知向量那么的最大值为     

15. 已知直线与曲线，在曲线上随机取一点，则点到直线距离不大于的概率为__________.

16. 已知三棱锥所有棱长都是，四个顶点、、、都在球的球面上，记球的表面积是，过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为，则的值为__________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（12分） 已知的内角、、所对的边为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若的外接圆半径为1，求的最大值.

18.（12分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措.某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图.

（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营店中随机抽取100个进行政策询问.如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？

（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下.

（i）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（ii）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率.

19.（12分）设数列的前项和为，已知，（）．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

20. （12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，求三棱锥的体积．

21.（本小题满分12分）已知函数

（1）若关于的不等式对任意的正数恒成立，求实数的取值范围.

（2）证明：

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求时直线的普通方程；

（2）直线和曲线交于、两点，点的直角坐标为，求的最大值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

 已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

郑州外国语学校2020-2021学年上期高三调研 4答案

文科数学 

13.    14   ，  14.     15.      16.  

17.【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，，即，

因，所以，

则，，，.………………6分

（2）因为的外接圆半径为1，所以，

则，

即，当且仅当时取等号，

故，的最大值为.…………………………………………12分

18.

19.【解析】（1）由，及，得，

整理，得，，又，

是以为首项，为公比的等比列……………………………………6分

（2）由（1），得，（）．

，①

，②

由②①，得……12分

20.【解析】（1）连接BD交AC于F，连接EF

∵四边形ABCD为菱形，∴F为AC中点，

那么EF∥PB

又∵平面ACE，平面ACE

∴PB∥平面ACE；………………………………6分

（2）由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC为正三角形，

∵E为DP中点，∴，

取AB中点M，连接PM、CM，由几何性质可知PM＝1，，

又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即PM⊥MC，∵PM⊥AB，

∴PM⊥平面ABCD，

∴，

∴．…………………………12分

22.【详解】

（1）由，得，∴曲线的直角坐标方程为.

当＝时，直线过定点（1，2），斜率k＝﹣.

∴直线的普通方程为，即；（4分）

（2）把直线的参数方程为代入,

得.设的参数分别为

所以，则与同号且小于0，

由，得

∴|PA|+|PB|＝

∴|PA|+|PB|的最大值为.（10分）

23.解：（1）当时，

∴，即或或，

∴或，

∴不等式的解集为.（4分）

（2）∵对任意，都存在，使得成立，

∴，，

（当且仅当时等号成立），

，所以，∴或，

∴或，∴实数的取值范围为.（10分）