人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率巩固练习

10．1.3　古典概型

必备知识基础练　

1．一个盒子中装有除颜色外其它都相同的5个小球，其中有2个红球，3个白球，从中任取一球，则取到红球的概率为(　　)

A． 　　　B．　 　　C． 　　　D．

2．抛掷两枚均匀的硬币，出现两枚正面朝上的概率等于(　　)

A．    B．    C．    D．

3．从3名男生和2名女生中随机选取2人参加书法展览会，则选取的2人全是男生的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

4．不透明箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个红球，现从箱子中随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

5．从2到8的7个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

6．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

7．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是________．

8．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数．

(1)求这个两位数是奇数的概率；

(2)求这个两位数能被3整除的概率．

关键能力综合练　

1．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m，n，则m为2或4，且m＋n>5的概率为(　　)

A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

2．袋中有大小、质地均相同的黑球和白球共m个，设“任取1个球，这个球是白球”为事件A，则P(A)＝.现再向袋中放入4个白球和3个黑球，则P(A)＝，则m的值是(　　)

A．4    B．5    C．6    D．7

3．二进制数字系统中，用两个不同的符号0(代表脉冲间隔)和1(代表有脉冲信号)来表示基数，每个0或1就是一个位(bit).如二进制数01001就是5(bit).一个5(bit)的二进制数，由3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

4．2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》《革命者》《红船》《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

5．缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

926　446　072　021　392　077　663　817　325　615

405　858　776　631　700　259　305　311　589　258

据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为(　　)

A．0.45    B．0.5    C．0.55    D．0.6

6．(多选)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则(　　)

A．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为

B．事件A发生的概率为

C．事件A∩B发生的概率为

D．事件A∪B发生的概率为

7．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则a＋b>ab的概率为________．

8．甲、乙两校共有5名教师报名支援边远贫困地区教育，其中甲校2男1女，乙校1男1女，现选出2名教师去支援边远贫困地区教育，则选出的2名教师来自同一学校的概率为________．

9．某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校．现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).

(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；

(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率；

(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率．

10.某市从高二年级随机选取1 000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理6门课程的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．

(1)在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修政治的概率；

(2)在这1 000名学生中，从选择方案一、方案二的学生中各选取2名学生，方案三中选取1名学生，如果在这5名学生中随机选取3名，求这3名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率．

核心素养升级练　

1．投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量(a，b)与向量(1，－1)的夹角为锐角的概率为(　　)

A．    B．C．    D．

2．在△ABC中，边AB、AC的长度分别为5、12，现在从{8，9，10，…，15，16}这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度，则△ABC为钝角三角形的概率为________．

3．已知函数f(x)＝mx2－nx－1，集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对(m，n).

(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)”，求事件A的概率；

(2)记事件B为“方程|f(x)|＝2有4个根”，求事件B的概率．

10．1.3　古典概型

必备知识基础练

1．答案：D

解析：一个盒子中装有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同，∴摸出1个球是红球的概率为P＝.

故选D.

2．答案：B

解析：抛掷两枚均匀的硬币，可得基本事件的空间为：

(正正)，(正反)，(反正)，(反反)，共四种情形，

其中出现两枚正面朝上的基本事件为(正正)，共一种情形，

所以其概率为P＝.

故选B.

3．答案：D

解析：记3名男生分别为a1，a2，a3，2名女生分别为b1，b2，从5人中随机选取2人，该试验的样本空间Ω＝{(a1，a2)(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，n(Ω)＝10，设事件A＝“2名全是男生”，则A＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)}，n(A)＝3，故所求概率为.

故选D.

4．答案：B

解析：由题设，若白球为1，2，红球为a，b，c，

则摸出两球的可能有(1，2)、(1，a)、(1，b)、(1，c)、(2，a)、(2，b)、(2，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)，共10种；

其中两个球同色有(1，2)、(a，b)、(a，c)、(b，c)，共4种；

所以随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为.

故选B.

5．答案：C

解析：从2到8的7个整数中随机取两个不同的数的不同结果有：(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8), (3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共21个，

其中这两个数的和是质数的事件有：(2，3)，(2，5)，(3，4)，(3，8)，(4，7)，(5，6)，(5，8)，(6，7)，共8个，

所以这两个数的和是质数的概率为P＝.

故选C.

6．答案：A

解析：从5张卡片中不放回地抽取2张的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，样本点总数为10.

其中数字之积为2的倍数的样本点有7个，分别为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5).故所求概率为.

故选A.

7．答案：

解析：从甲乙丙丁4人选取两人的所有基本事件为{(甲乙)，(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，(丙丁)}，共有6种，

甲被选中包含的基本事件有(甲乙)，(甲丙)，(甲丁)，共3个．

故甲被选中的概率为＝.

8．解析：(1)这个试验的样本空间可记为Ω＝{13，14，15，18，31，34，35，38，41，43，45，48，51，53，54，58，81，83，84，85}，共包含20个样本点．

设“这个两位数是奇数”为事件A，

则A＝{13，15，31，35，41，43，45，51，53，81，83，85}，共包含12个样本点，

所以P(A)＝＝.

(2)设“这个两位数能被3整除”为事件B，则B＝{15，18，45，48，51，54，81，84}，共包含8个样本点，

所以P(B)＝＝.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：将一枚骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36种不同的情况，

其当m＝2时，要满足m＋n>5，只要n＝4，5，6，有3种情况，

当m＝4时，要满足m＋n>5，只要n＝2，3，4，5，6，有5种情况，

所以当m为2或4时，m＋n>5共有8种情况，

所以所求概率为＝.

故选B.

2．答案：B

解析：设袋中白球的个数为n，则

由题意可知，，解得，

所以m的值是5.

故选B.

3．答案：C

解析：将3个0和2个1随机排成一行，可以是：

00011，00101，01001，10001，00110，01010，10010，01100，10100，11000，共10种排法，

其中2个1不相邻的排列方法为：

00101，01001，10001，01010，10010，10100，共6种排法，

故2个1不相邻的概率为＝.

故选C.

4．答案：D

解析：分别用1，2，3，4表示《1921》《革命者》《红船》《三湾改编》，

由题可得基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种，

其中甲、乙两校选择不同电影有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共有12种，

所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是P＝＝.

故选D.

5．答案：B

解析：依题意，在20组随机数中，表示三天中至少有两天下雨的随机数有：446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10组，

所以三天中至少有两天下雨的概率约为＝.

故选B.

6．答案：BD

解析：从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，故A错误；

从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有20个基本事件，如下：

11，12，13，14，15，21，22，23，24，25，31，32，33，34，35，41，42，43，44，45，

抽取的两个小球标号之和大于5的有：15，24，25，33，34，35，42，43，44，45，共10个，

所以P(A)＝＝，故B正确；

事件A∩B包含的基本事件有：25，33，34，35，43，44，45，共7个，

所以P(A∩B)＝，故C错误；

事件A∪B包含的基本事件有：15，24，25，33，34，35，42，43，44，45，共10个，

所以P(A∪B)＝＝，故D正确．

故选BD.

7．答案：

解析：取出2个不同的数a，b的所有情况为1和3，1和5，1和7，3和5，3和7，5和7，6种情况，

其中满足a＋b>ab的有：1和3，1和5，1和7，3种情况，

所以a＋b>ab的概率为＝.

8．答案：

解析：来自甲校的教师设为a，b，c，来自乙校的教师设为1，2，则全部情况为：(a，b)，(a，c)，(a，1)，(a，2)，(b，c)，(b，1)，(b，2)，(c，1)，(c，2)，(1，2)，共有10种情况，其中4种符合要求，为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(1，2)，故选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.

9．解析：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，

所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为＝.

(2)设A，B，C，D表示参加摄影社的男同学，a，b表示参加摄影社的女同学，

则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果，

AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，

其中恰有1名女同学的结果有8种：

Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，

所以从6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率为P＝.

(3)由上可得从这6名同学中选出的2名同学代表来自于同一初中学校的概率为，

所以这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率1－＝.

10．解析：(1)设事件A为“在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，该学生选修政治”．在这1 000名学生中，选修物理的学生人数为220＋200＋180＝600，其中选修政治的学生人数为220，所以P(A)＝＝.故在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，该学生选修政治的概率为.

(2)设这5名学生分别为A1，A2，B1，B2，C，其中A1，A2选择方案一，B1，B2选择方案二，C选择方案三．从这5名学生中随机选取3名的样本空间Ω＝{A1A2B1，A1A2B2，A1A2C，A1B1B2，A1B1C，A1B2C，A2B1B2，A2B1C，A2B2C，B1B2C}，共10个样本点．记事件B为“这3名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目”，则B＝{A1A2C，B1B2C}，共2个样本点，因此P(B)＝.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：设向量(a，b)与向量(1，－1)的夹角为θ，则cos θ＝＝，

又因为向量(a，b)与向量(1，－1)的夹角为锐角，则cos θ>0⇒a－b>0⇒a>b；

可知，投掷两枚骰子，分别得到点数a，b共有36种等可能情况；

当a>b时，即有：

b＝1时，a＝2，3，4，5，6，有5种情况；b＝2时，a＝3，4，5，6，有4种情况；b＝3时，a＝4，5，6，有3种情况；b＝4时，a＝5，6，有2种情况；b＝5时，a＝6，有1种情况；所以a>b，共有1＋2＋3＋4＋5＝15种等可能情况，

则向量(a，b)与向量(1，－1)的夹角为锐角的概率P＝＝.

故选C.

2．答案：

解析：由题意可知：7<BC<17 ，

从{8，9，10，…，15，16}这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度，故有9种可能，

要使△ABC为钝角三角形，需满足：52＋BC2－122<0 或52＋122－BC2<0，

即BC< 或BC>13，故BC的取值可能是：8，9，10或14，15，16，共6种可能，

故△ABC为钝角三角形的概率为＝.

3．解析：(1)由题知m∈{1，2，3，4}，n∈{－1，2，4，6，8}，

所以，数对(m，n)的可能取值为(1，－1)，(1，2)，(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，－1)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，－1)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，－1)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，8)，共20对．

若函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则函数f(x)的对称轴为x＝＝1，即n＝2m，

所以，满足条件的基本事件有：(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)，共4对，

所以，事件A的概率为P(A)＝＝.

(2)因为m>0，二次函数开口向上，

所以，方程|f(x)|＝2有4个根，即为f(x)＝2和f(x)＝－2各有2个根，

所以，二次函数f(x)＝mx2－nx－1的最小值小于－2，

所以<－2，即n2>4m，

满足条件的基本事件有：(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，6)，(4，8)，共11对．

所以，事件B的概率P(B)＝.