湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三上学期联合考试理科数学试题 Word版含答案

湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三月考试卷一（全国卷）

数学（理科）

一、选择题

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．

C．   D．

2．若复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为  B．为实数  C．  D．

3．\展开式中项的系数为（    ）

A．   B．   C．15   D．5

4．设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（    ）

A．   B．   C．   D．1

5．已知数列满足，则（    ）

A．  B．  C．  D．

6．随机变量的分布列如表：

若，则（    ）

A．   B．   C．   D．

7．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A．  B．  C．  D．

8．函数的图象的大致形状是（    ）

A．  B．

C．  D．

9．如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（    ）

A．12   B．10   C．8   D．6

10．技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2000，则大约增加了（参考数据：）（    ）

A．  B．  C．  D．

11．已知函数在区间恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

12．已知双曲线（，），过原点任作一条直线，分别交双曲线两支于点，（点在第一象限），点为的左焦点，且满足，，则的离心率为（    ）

A．   B．   C．   D．2

二、填空题

13．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在，，三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选项、乙不选B项的概率为______．

14．已知锐角、满足，则的最小值为______．

15．如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱、构成边长为的正三角形，点是底面圆上异于，的动点，则、、、四点所在球面的半径是______．

16．已知点，，动点，分别在直线和上，且与两直线垂直，则的最小值为______．

三、解答题

（一）必考题

17．圆的内接四边形中，，，．

（1）求的长度；

（2）求圆的半径．

18．三棱柱中，平面，且，，，为中点．

（1）求四面体的体积；

（2）求平面与所成锐二面角的余弦．

19．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的方程．

（2）设为椭圆上非顶点的任意一点，若、分别为椭圆的左顶点和上顶点，直线交轴于，直线交轴于，，问：的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由．

20．如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率为．

（1）分别写出，的值；

（2）设一只蚂蚁从顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；

（3）求．

21．（1）求的最大值；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题

22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴）中，曲线的方程为，曲线，交于，两点，其中定点．

（1）若，求的值；

（2）若，，成等比数列，求的值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数，．

（1）若不等式无解，求实数的取值范围；

（2）当时，函数的最小值为2，求实数的值．

2021届高三月考试卷一（全国卷）

数学（理科）参考答案

1．【答案】B

【解析】

【解答】解：∵，．

故选B．

2．【答案】C

【解析】

【解答】解：因为，

所以．

故选C．

3．【答案】B

【解析】

【解答】解：展开式中项的系数：；

展开式中项的系数：；

故展开式中项的系数为．

故选B．

4．【答案】A

【解析】

【解答】解：根据题意，设，，

∴，，

∴，解得．

故选A．

5．【答案】D

【解析】

【解答】解：由题意，可知，

则，

∴

．

故选D

6．【答案】A

【解析】

【解答】解：，解得；

．

故选A．

7．【答案】C

【解析】

【解答】解：∵，，，

∴．

故选C．

8．【答案】A

【解析】

【解答】解：因为，

所以函数为奇函数，排除选项D；

，

当时，，，所以，单调递增；

当时，，，所以，也是单调递增．

综上可知，在上单调递增，排除选项B和C．

故选A．

9．【答案】D

【解析】

【解答】如图所示，过点作，交于点，

过点作交于点，过点作，交于点；

由作图可知：，所以四边形是平行四边形；

可得，；

所以截面四边形的周长为．

故选D．

10．【答案】A

【解析】

【解答】解：将信噪比从1000提升至2000时，

，

故大约增加了．

故选A．

11．【答案】D

【解析】

【解答】解：问题等价于函数在区间恰有3个零点，故，

于是可得．

故选D．

12．【答案】A

【解析】

【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点，由关于原点的对称点为，则|，

∴四边形为平行四边形，则，，

由，根据双曲线的定义，

∴，，．

∴，

在中，，，，

∴，整理得：，

则双曲线的离心率．

故选A．

13．【答案】

【解析】

【解答】解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，

其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，

故甲不选、乙不选项目的概率为．

法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，

而甲乙的选择相互独立，

故甲不选、乙不选项目的概率为．

故答案为．

14．【答案】18

【解析】

【解答】解：∵，

∴，

设，，则，

∵，均为锐角，∴，，

∴

，

当且仅当，即，即，时，等号成立．

∴的最小值为18．

故答案为18．

15．【答案】2

【解析】

【解答】解：如图，设底面圆的圆心为，、、、四点所在球面的球心为，连接，

则平面，且在线段上．易知，．

设球的半径为，

在中，由勾股定理得，解得．

故答案为2．

16．【答案】

【解析】

【解答】解：设，由于与两直线垂直且，则，

故．

此式可理解为点到及的距离之和，其最小值即为．

故所求最小值为．

故答案为．

17．【答案】（1）设圆半径为，由正弦定理，，，

∴，

又．故．而．∴．

设，则．

∴．∴．即．

（2），∴，

∴．

∴．

【解析】

18．【答案】解：（1）．

（2）设为中点，为中点，以射线，，为非负，，轴．

建立空间直角坐标系，

则，，，，．

∴，，，．

设平面，则

取，

设平面，则

取，．

故平面与平面所成锐二面角的余弦为．

【解析】

19．【答案】解：（1），

设椭圆方程为，

将点坐标代入可得，

故椭圆方程为即．

（2）设，，由、、共线可知，

由、、共线可知．

，．

∴，

由于，

∴．

【解析】

20．【答案】解：（1），．

（2）由于从顶点出发经过步到达点的概率为，

则由出发经过步到达点，的概率也是，

为奇数时，所以，

为偶数时，由出发经过步不可能到，，，这四个点，．

（3）同理，由，，分别经2步到点的概率都是，

由出发经过（为偶数）步再回到的路径分为以下四类：

①由经历步到，再经2步回到，概率为；

②由经历步到，再经2步回到．概率为；

③由经历步到，再经2步回到．概率为；

④由经历步到，再经2步回到．概率为；

所以，结合．

消元得：，

即，

所以，

故．

综上所述，．

【解析】

21．【答案】解：（1），则，

令得．

故在单调递增，在单调递减，

∴．

（2）设，

由得，则．

①若，则时，，，，，

此时对恒成立，

故在单调递减，，

故符合要求．

②若，由于故，

∴，而对恒成立，

∴．

∴符合要求，

综上，的取值范围为．

【解析】

22．【答案】（1）∵曲线的方程为，

∴，即．

∴曲线的直角坐标方程为，又已知，

∴曲线的直角坐标方程为．

将曲线的参数方程（为参数），与联立，

得，由于，

∴设方程两根为，，则，，

∴．

（2）将曲线的参数方程（为参数），与联立，

得，

由于，

∴设方程两根为，，则，，且，，

又，，成等比数列，

∴，得，则，即．

∴，得，

解得，又，∴，

∴当，，成等比数列时，得值为．

【解析】

23．【答案】解：（1）∵，

∴由，得，

∵不等式无解．

∴，

又∵，

∴，∴或，

∴实数的取值范围是．

（2）∵，∴，

∴，

由图可知当时，，

∴符合题意，∴．