2023版新教材高中数学习题课有关球的切接问题新人教A版必修第二册

习题课　有关球的切接问题

必备知识基础练　

1．一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为(　　)

A．48π    B．32π

C．12π    D．4π

2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为(　　)

A．    B．C．    D．

3．已知某圆锥的母线长为5，其侧面展开图的面积为15π，则该圆锥外接球的表面积为(　　)

A．    B．40π

C．    D．36π

4．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，则球的体积与圆柱的体积之比为(　　)

A.    B．C．    D．

5．三棱锥B­ACD的顶点都在同一球面上，其中BA、BC、BD两两垂直，且BA＝3，BC＝4，BD＝5，则该球的表面积为(　　)

A．100π    B．64π

C．50π    D．36π

6．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为45°.且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为(　　)

A．100π    B．

C．200π    D．

7．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．

8．已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c，若a∶b∶c＝4∶2∶1，且其外接球的表面积为25π，则该长方体的体积为________．

关键能力综合练　

1．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝4，AB＝3，AA1＝12，∠BAC＝90°，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)

A．125π    B．144π

C．169π    D．244π

2．将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为(　　)

A．(2－2)π    B．(48－32)π

C．(24－16)π    D．(108－72)π

3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)

A．100π    B．128π

C．144π    D．192π

4．已知正三棱柱ABC­A1B1C1所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为(　　)

A．48π    B．64π

C．84π    D．144π

5．已知棱长为a的正四面体的外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1∶S2＝(　　)

A．9    B．3

C．4    D．

6．已知正三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为2，底面边长为4，则球O的表面积是(　　)

A．32π    B．32π

C．24π    D．24π

7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P­ABCD是阳马，PA＝5，AB＝3，BC＝4，则该阳马的外接球的表面积为(　　)

A．    B．50πC．100π    D．

8．一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积是________．

9．如图几何体是由一个正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为________．

10．如图，正四棱锥S­ABCD中，SH是这个正四棱锥的高，SM是斜高，且SH＝2，SM＝2.

(1)求这个四棱锥的全面积；

(2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径．

核心素养升级练　

1．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O­DEF，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)

A．3π    B．π

C．6π    D．24π

2.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，三棱锥D­ABC为一个鳖臑，其中DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，AM⊥DC，M为垂足，则三棱锥M­ABC的外接球的表面积为________．

3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝60°，AC＝AA1，若三棱锥A1­ABC的外接球的半径为，则三棱锥A1­ABC的体积的最大值为________．

习题课　有关球的切接问题

必备知识基础练

1．答案：D

解析：因为正方体的棱长为2，所以其体对角线为＝2，

所以外接球的直径即为2，即外接球的半径R＝，

所以外接球的体积V＝πR3＝π×()3＝4π.

故选D.

2．答案：B

解析：如图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，

∴外接球体积V＝π()3＝.

故选B.

3．答案：A

解析：由题意，可设圆锥的底面半径为r，

则πr×5＝15π，故r＝3，则圆锥的高h＝＝4，

设该圆锥外接球的半径为R，则R2＝32＋(4－R)2，

解得R＝，故该圆锥外接球的表面积为4π×()2＝，

故选A.

4．答案：B

解析：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，

所以球的体积为V球＝πr3，圆柱的体积为V圆柱＝πr2×2r＝2πr3，

所以球的体积与圆柱的体积之比为＝＝.

故选B.

5．答案：C

解析：在三棱锥B­ACD中，BA、BC、BD两两垂直，将该三棱锥补成长方体BCED­AFGH，

则长方体BCED­AFGH的体对角线长为BG＝＝5，

所以三棱锥B­ACD的外接球半径为R＝＝，

因此，该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝50π.

故选C.

6．答案：B

解析：由题意，轴截面如图所示，AE＝DE＝1，

若球体半径为R，则R2－9＝(1＋)2，可得R＝5.

所以该球体积为πR3＝.

故选B.

7.

答案：8π

解析：过正方体的对角面作截面如图，故球的半径r＝，

∴其表面积S＝4π×()2＝8π.

8．答案：8

解析：由a∶b∶c＝4∶2∶1，不妨设a＝4k，b＝2k，c＝k(k>0).

因为长方体的外接球的直径为其体对角线，设外接球的半径为r，则有(2r)2＝a2＋b2＋c2，即4r2＝16k2＋8k2＋k2＝25k2.

而外接球的表面积为25π，所以S＝4πr2＝25k2π＝25π，解得k＝1.

所以a＝4，b＝2，c＝1，

所以该长方体的体积为V＝abc＝4×2×1＝8.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：∵三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱垂直于底面，AC＝4，AB＝3，∠BAC＝90°，AA1＝12，

∴可将棱柱ABC­A1B1C1补成长方体，且长方体的长宽高分别为3，4，12.

∴长方体的对角线＝13，即为球的直径．

∴球的半径R＝，

∴球的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝169π.

故选C.

2.

答案：B

解析：依题意，作圆锥的轴截面等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，圆锥的底面半径为2，则其母线长为2.设圆锥的内切球半径为r，则×2r＋×2r＋×4×r＝×4×2，所以r＝2(－1)，所以球表面积为S＝4πr2＝16(3－2)π＝(48－32)π.

故选B.

3．答案：A

解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.

故选A.

4．答案：C

解析：如图，D为棱BC的中点，G为正△ABC的中心，O为外接球的球心，

根据直棱柱外接球的性质可知OG∥AA1，OG＝AA1＝3，外接球半径R＝OC，

∵正△ABC的边长为6，则CG＝2，

∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，

外接球的表面积S＝4πR2＝84π.

故选C.

5．答案：A

解析：如图所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a，由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R.

在Rt△BEO中，BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(a)2＋r2，

又R＋r＝a，可得R＝3r，S1∶S2＝R2∶r2＝9.

故选A.

6．答案：D

解析：如图所示：

设O1为正三角形ABC的中心，连接PO1，

则PO1⊥平面ABC，球心O在PO1上，

设球O的半径为R，连接AO，AO1，

∵正三角形ABC的边长为4，∴O1A＝4××＝，

又∵PA＝2，

∴在Rt△PO1A中，PO1＝＝ ＝，

在Rt△OO1A中，OA＝R，OO1＝PO1－PO＝－R，O1A＝，

∴R2＝(－R)2＋()2，解得R＝，

∴球O的表面积为4πR2＝24π.

故选D.

7．答案：B

解析：

连接AC，BD，交于O1，取PC中点O，连接OO1，如图所示

因为O，O1分别为PC，AC的中点，

所以OO1∥PA，

又PA⊥平面ABCD，

所以OO1⊥平面ABCD，

所以O到A，B，C，D的距离都相等，又PO＝OC，

所以O为该四棱锥的外接球的球心，

在Rt△PAC中，PA＝5，AC＝＝＝5，

所以PC＝＝＝5，

所以该四棱锥的外接球的半径R＝＝，

所以该阳马的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×()2＝50π.

故选B.

8．答案：

解析：

设正六棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′，

正六边形的周长为3，则边长为，则AD＝×2＝1，

矩形ADD′A′经过球心，AD′就是外接球的直径，

AD′＝＝＝2，

外接球的半径R＝＝1，则外接球的体积为＝＝.

9．答案：9π

解析：设正四棱柱和正四棱锥的高为h，

则其外接球的半径为R＝＝＝h＋h＝h，

解得h＝1，所以R＝，

故球的表面积为S＝4πR2＝9π.

10．解析：(1)连接HM，HC.在△SHM中，HM＝＝＝2，故AB＝4.所以SABCD＝4×4＝16，S△SAB＝×4×2＝4，故这个四棱锥的全面积为16＋16；

(2)由题几何体外接球球心在线段SH上，设为O，设外接球的半径为R.

因为AB＝4，所以HC＝2，在△OHC中，由勾股定理得：OC2＝HC2＋OH2，即R2＝8＋(R－2)2，解得：R＝3.设内接球的半径为r.VS­ABCD＝×16×2＝，VS­ABCD＝×(16＋16)×r所以＝×(16＋16)×r，解得：r＝2(－1).

核心素养升级练

1．答案：C

解析：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，

折起后OD，OE，OF两两垂直，

故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球．

因为OD＝2，OE＝1，OF＝1，

所以2R＝＝，

所以R＝，

所以该三棱锥外接球的表面积为S表＝4πR2＝6π，

故选C.

2.

答案：8π

解析：取AC的中点O，连接MO、BO，则AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，所以AC＝2，

则AO＝BO＝CO＝，

又AM⊥DC，所以MO＝AC＝，所以点O就是三棱锥M­ABC的外接球的球心，所以三棱锥M­ABC的外接球的球半径为，

所以三棱锥M­ABC的外接球的表面积为4π×()2＝8π.

3．答案：6

解析：

设直三棱柱ABC­A1B1C1的上、下底面三角形的外接圆圆心分别为O1，O2，外接球球心为O，则O为O1O2中点，

根据已知条件可知O1O2＝AA1＝AC.

设上下底面三角形外接圆半径为BO1＝r，

设O1O2＝AC＝AA1＝2x，则OO1＝x，OB＝，

在△ABC中，由正弦定理得，

＝2r⇒＝2r⇒x＝r，

在Rt△BO1O中由勾股定理得，x2＋r2＝7，即(r)2＋r2＝7，

则r＝2，x＝，AC＝AA1＝2，

由圆的知识得，当且仅当AB＝BC时，△ABC的面积取得最大值为×(2)2＝3，

所以三棱锥A1­ABC的体积最大值为×3×AA1＝×2＝6.