数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理复习练习题

这是一份数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理复习练习题，共1页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。
A. eq \(OA,\s\up6(→)) B． eq \(OB,\s\up6(→))
C. eq \(OC,\s\up6(→)) D． eq \(OA,\s\up6(→))或 eq \(OB,\s\up6(→))
2．在空间四点O，A，B，C中，若{ eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )
A.O，A，B，C四点不共线
B.O，A，B，C四点共面，但不共线
C.O，A，B，C四点不共面
D.O，A，B，C四点中任意三点不共线
3．在三棱柱ABC ­ DEF中，G为棱AD的中点，若 eq \(BA,\s\up6(→))＝a， eq \(BC,\s\up6(→))＝b， eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则 eq \(CG,\s\up6(→))＝( )
A.－a＋b－c
B. eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c
C.－ eq \f(1,2)a＋b＋c
D.－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c
4．在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则D1M＝( )
A.－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c B． eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c
C. eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋c D．－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c
5．[2023·江苏南通高二测试](多选)已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面
C.对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得p＝xa＋yb＋zc
D.若{a，b，c}是空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底
6．[2023·广东惠来一中高二检测](多选)若向量{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A.a＋b，a－b，a＋2b B．a－b，a＋c，b＋c
C.a－b，c，a＋b＋c D．a－2b，b＋c，a＋c－b
7．已知四面体OABC，M，N分别是BC，OA的中点，且 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则用a，b，c表示向量 eq \(MN,\s\up6(→))＝________．
8．[2023·湖北武汉十七中高二检测]设{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，且向量p＝3a＋b＋c，若m＝a＋b，n＝a－c，则用基底{m，n，c}表示向量p＝____________．

1．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，F，G分别为AB，CC1的中点，则( )
A. eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)
B. eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋
C. eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)
D. eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)
2．[2023·山东潍坊高二检测]已知三棱柱ABC ­ A1B1C1，点P为线段B1C1上一点，且B1P＝ eq \f(1,3)，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)
B. eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)
C. eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))－
D. eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋
3．[2023·广东佛山高二测试]在四面体D ­ ABC中，点G是△ABC的重心，设 eq \(DA,\s\up6(→))＝a， eq \(DB,\s\up6(→))＝b， eq \(DC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(DG,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(1,3)a＋ eq \f(2,3)b＋ eq \f(2,3)c B． eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)c
C. eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b＋ eq \f(2,3)c D． eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,3)c
4．[2023·福建龙岩高二检测]在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，点E是线段CD1的中点， eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AF,\s\up6(→))，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，则 eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A. eq \f(5,6)a＋ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c B．－ eq \f(1,6)a－ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c
C. eq \f(1,6)a＋ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,2)c D．－ eq \f(5,6)a－ eq \f(2,3)b＋ eq \f(1,2)c
5.
如图，在平行六面体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝ eq \f(1,2)DD1.记 eq \(EF,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AD,\s\up6(→))＋zAA1，若x＋y＋z＝ eq \f(1,4)，则 eq \f(BE,BB1)＝( )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(1,4)
C. eq \f(1,3) D． eq \f(1,6)
6．[2023·辽宁丹东高二测试](多选)已知四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1的底面是平行四边形，且 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，＝c，则( )
A.a－b－c＝ B．a＋b＋c＝
C.a＋b－c＝D．a－b＋c＝
7．已知在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋m eq \(AB,\s\up6(→))－nAA1，则m＝________．
8.
如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝ eq \f(π,2)，∠ABC＝ eq \f(π,4)，BC＝BD＝1，AB＝ eq \r(2)，则异面直线AB与CD所成角的大小是________．
9．[2023·浙江杭州高二检测]如图三棱柱ABC ­ A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，点M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b，AA1＝c.
(1)用a，b，c表示A1M；
(2)证明：A1M⊥AB.
10.
如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
(1)用a，b，c表示 eq \(EF,\s\up6(→))，并求 eq \(EF,\s\up6(→))的长；
(2)求 eq \(EF,\s\up6(→))与 eq \(GH,\s\up6(→))的夹角．
1.
如图，在三棱锥O ­ ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若 eq \(OD,\s\up6(→))＝k eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OE,\s\up6(→))＝m eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OF,\s\up6(→))＝n eq \(OC,\s\up6(→))，则 eq \f(1,k)＋ eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝( )
A. eq \f(2,9) B． eq \f(2,3)
C. eq \f(3,2) D． eq \f(9,2)
2．如图(1)，ABCD是平行四边形，2AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，如图(2)，把平行四边形沿对角线AC折起，则三棱锥B ­ ACD体积的最大值为________．若AB与CD成60°角，则BD的长为________．
3．如图所示，三棱柱ABC ­ A1B1C1中， eq \(CA,\s\up6(→))＝a， eq \(CB,\s\up6(→))＝b，＝c，CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝ eq \f(2π,3)，〈b，c〉＝ eq \f(π,2)，N是AB的中点．
(1)用a，b，c表示向量；
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．
1．2 空间向量基本定理
必备知识基础练
1．答案：C
解析：∵ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(a－b)＝ eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))－ eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))，即a，b， eq \(OC,\s\up6(→))共面，∴ eq \(OC,\s\up6(→))与a、b不能构成空间基底．故选C.
2．答案：B
解析：因为{ eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))}为基底，所以非零向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选B.
3．答案：B
解析： eq \(CG,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AG,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＝( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→)))＝(a－b)＋ eq \f(1,2)(c－a)＝ eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c.故选B.
4．答案：B
解析：
如图所示，∵＝＋ eq \(DM,\s\up6(→))＝＋ eq \f(1,2) eq \(DB,\s\up6(→))＝＋ eq \f(1,2)( eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))，又＝c， eq \(DA,\s\up6(→))＝－b， eq \(DC,\s\up6(→))＝a，∴＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋c.故选B.
5．答案：AD
解析：a，b，c是空间的三个单位向量，由a∥b，b∥c，则a∥c，故A正确；a，b，c两两共面，但是a，b，c不一定共面，a，b，c可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当a，b，c不共面，才能作为基底，才能得到p＝xa＋yb＋zc，故C错误；若{a，b，c}是空间的一组基底，则a，b，c不共面，可知{a＋b，b＋c，c＋a}也不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故D正确．故选AD.
6．答案：ABD
解析：对于A：由于向量{a，b，c}构成空间的一个基底，且满足a＋2b＝ eq \f(3,2)(a＋b)－ eq \f(1,2)(a－b)，故A正确；对于B：由于a－b＝(a＋c)－(b＋c)，故B正确；对于C：由于a＋b＋c≠m(a－b)＋nc，故C错误；对于D：由于a－2b＝(a＋c－b)－(b＋c)，故D正确．故选ABD.
7．答案： eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c
解析：
如图， eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(MO,\s\up6(→))＋ eq \(ON,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)·( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b－ eq \f(1,2)c.
8．答案：m＋2n＋3c
解析：设p＝xm＋yn＋zc，
则x(a＋b)＋y(a－c)＋zc＝(x＋y)a＋xb＋(z－y)c＝3a＋b＋c，
故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝3,x＝1,z－y＝1))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2,x＝1,z＝3))，故p＝m＋2n＋3c.
关键能力综合练
1．答案：C
解析： eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \(FB,\s\up6(→))＋ eq \(BG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CG,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2).故选C.
2．答案：D
解析：
由题意得 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋＋，因为＝ eq \f(1,3)，＝，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋＋ eq \f(1,3)＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋＋ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)).故选D.
3．答案：B
解析：
设E是BC中点， eq \(DG,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AG,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)×( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(DB,\s\up6(→))－ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \(DA,\s\up6(→)))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))－2 eq \(DA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(DB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)c.故选B.
4．答案：B
解析：因为E为CD1中点，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(AF,\s\up6(→))⇒ eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))，所以 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))－ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2)－ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2)，即 eq \(EF,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,6)a－ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c.故选B.
5．答案：B
解析：设 eq \f(BE,BB1)＝λ，因为 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DF,\s\up6(→))＝－λ－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)＝－λ－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)AA1＝－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋( eq \f(1,2)－λ)AA1，所以x＝－1，y＝1，z＝ eq \f(1,2)－λ.因为x＋y＋z＝ eq \f(1,2)－λ＝ eq \f(1,4)，所以λ＝ eq \f(1,4).故选B.
6．答案：BC
解析：＝－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋－ eq \(AB,\s\up6(→))＝b＋c－a，A选项错误；＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋＝a＋b＋c，B选项正确；＝ eq \(AC,\s\up6(→))－＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))－＝a＋b－c，C选项正确；＝ eq \(AD,\s\up6(→))－＝ eq \(AD,\s\up6(→))－( eq \(AB,\s\up6(→))＋)＝b－a－c，D选项错误．故选BC.
7．答案： eq \f(1,2)
解析：如图所示，可得 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(DC,\s\up6(→))＋)＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)，又因为 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋m eq \(AB,\s\up6(→))－nAA1，所以m＝ eq \f(1,2)，n＝－ eq \f(1,2).
8．答案： eq \f(π,3)
解析：依题意可知CD＝ eq \r(BC2＋BD2)＝ eq \r(2)， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0＋ eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝| eq \(BA,\s\up6(→))|| eq \(BC,\s\up6(→))|cs 45°＝1.设直线AB与CD所成角为α，则cs α＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|)·\a\vs4\al(|\(CD,\s\up6(→))|))＝ eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝ eq \f(1,2)，因为α∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故α＝ eq \f(π,3).
9．解析：(1)因为△ABC为正三角形，点M为△ABC的重心，
所以N为BC的中点，
所以 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→))，
所以A1M＝A1A＋ eq \(AM,\s\up6(→))＝－AA1＋ eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→))＝－ eq \(AA,\s\up6(→))1＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b－c.
(2)证明：设三棱柱的棱长为m，
则A1M· eq \(AB,\s\up6(→))＝( eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b－c)·a
＝ eq \f(1,3)a2＋ eq \f(1,3)a·b－c·a
＝ eq \f(1,3)|a|2＋ eq \f(1,3)|a|·|b|cs eq \f(π,3)－|c|·|a|cs eq \f(π,3)
＝ eq \f(1,3)m2＋ eq \f(1,3)m2× eq \f(1,2)－m2× eq \f(1,2)＝0.
所以A1M⊥AB.
10．解析：(1)因E，F分别为棱BC，AD的中点，而 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
所以 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c，
因正四面体ABCD的棱长为1，则a·b＝b·c＝c·a＝|c||a|cs 60°＝ eq \f(1,2)，
所以| eq \(EF,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2) eq \r(（－a－b＋c）2)
＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2b·c－2c·a)＝ eq \f(\r(2),2).
(2)依题意， eq \(GH,\s\up6(→))＝ eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DH,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)a＋c＋ eq \f(1,2)(b－c)＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c，
因正四面体ABCD的棱长为1，有c·a＝|c||a|cs 60°＝ eq \f(1,2)，
因此 eq \(EF,\s\up6(→))· eq \(GH,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)(a＋b－c)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))(a－b－c)＝ eq \f(1,4)[(a－c)2－b2]＝ eq \f(1,4)(a2＋c2－2a·c－b2)＝0，
所以 eq \(EF,\s\up6(→))⊥ eq \(GH,\s\up6(→))，即 eq \(EF,\s\up6(→))与 eq \(GH,\s\up6(→))的夹角为90°.
核心素养升级练
1．答案：D
解析：由题意可知， eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(OG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AG,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3)[ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))]＝ eq \f(2,3)[ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,3)( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))]＝ eq \f(2,9) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,9) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,9) eq \(OC,\s\up6(→)).因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使 eq \(DM,\s\up6(→))＝λ eq \(DE,\s\up6(→))＋μ eq \(DF,\s\up6(→))，所以 eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→))＝λ( eq \(OE,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→)))＋μ( eq \(OF,\s\up6(→))－ eq \(OD,\s\up6(→)))，所以 eq \(OM,\s\up6(→))＝(1－λ－μ) eq \(OD,\s\up6(→))＋λ eq \(OE,\s\up6(→))＋μ eq \(OF,\s\up6(→))＝(1－λ－μ)k eq \(OA,\s\up6(→))＋λm eq \(OB,\s\up6(→))＋μn eq \(OC,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－λ－μ）k＝\f(2,9),λm＝\f(2,9),μn＝\f(2,9)))，所以 eq \f(1,k)＋ eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝ eq \f(9,2)(1－λ－μ)＋ eq \f(9,2)λ＋ eq \f(9,2)μ＝ eq \f(9,2).故选D.
2．答案： eq \f(1,3) eq \r(7)或 eq \r(5)
解析：由已知得，对于三棱锥B ­ ACD，当AB⊥平面ACD时，三棱锥B ­ ACD的体积最大，由2AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，ABCD是平行四边形，可得，S△ACD＝S△ABC＝ eq \f(1,2)×AB×AC＝1，故VB ­ ACD＝ eq \f(1,3)×S△ACD×AB＝ eq \f(1,3)×1×1＝ eq \f(1,3)； eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))，又因为AB与CD成60°角，故〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°或〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°，且〈 eq \(BA,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝90°，〈 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))〉＝90°，| eq \(BD,\s\up6(→))|2＝ eq \(BA,\s\up6(→))2＋ eq \(AC,\s\up6(→))2＋ eq \(CD,\s\up6(→))2＋2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＋2 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＋2 eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))，故| eq \(BD,\s\up6(→))|2＝1＋4＋1＋2cs 60°或| eq \(BD,\s\up6(→))|2＝1＋4＋1＋2cs 120°，则| eq \(BD,\s\up6(→))|＝ eq \r(7)或| eq \(BD,\s\up6(→))|＝ eq \r(5).
3．解析：(1)因为N是AB中点，所以 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，
所以＝＋ eq \(AN,\s\up6(→))＝＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))
＝－＋ eq \f(1,2)( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ，(λ∈[0，1])，
显然λC1B1＝λb， eq \(AM,\s\up6(→))＝＋＋＝c－a＋λb，
因为AM⊥A1N，所以 eq \(AM,\s\up6(→))·＝0，
即(c－a＋λb)·(－ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－c)＝0，
∴－ eq \f(1,2)c·a＋ eq \f(1,2)c·b－c2＋ eq \f(1,2)a2－ eq \f(1,2)a·b＋c·a－ eq \f(1,2)λa·b＋ eq \f(1,2)λb2－λb·c＝0.
∵CA＝CB＝CC1＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝ eq \f(2π,3)，〈b，c〉＝ eq \f(π,2)，
∴ eq \f(1,2)c·a－c2＋ eq \f(1,2)a2－( eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)λ)a·b＋ eq \f(1,2)λb2＝0，
即 eq \f(1,2)×1×1×(－ eq \f(1,2))－12＋ eq \f(1,2)×12－( eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)λ)×1×1×(－ eq \f(1,2))＋ eq \f(1,2)λ·12＝0，解得λ＝ eq \f(2,3)，
所以当C1M＝ eq \f(2,3)C1B1时，AM⊥A1N.
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