高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步达标检测题，共9页。试卷主要包含了点A关于y轴的对称点的坐标为等内容，欢迎下载使用。
A.(－2，0，22) B．(2，0，－22)
C.(－2，0，－22) D．(2，0，22)
2．已知空间向量a＝(1，2，－3)，则向量a在坐标平面Oyz上的投影向量是( )
A.(0，2，3) B．(0，2，－3)
C.(1，2，0) D．(1，2，－3)
3．[2023·山东潍坊高二检测]已知向量a＝(x，－2，6)与b＝(1，y，－3)平行，则x＋y＝( )
A.1 B．－1
C.3 D．－3
4．在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，已知AB＝1，AD＝2，AA1＝3，M为B1C1的中点，则AM的长等于( )
A. eq \r(11) B． eq \r(10)
C.3 D． eq \r(7)
5．(多选)已知向量a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )
A.a＋b＝(7，－5，0) B．a－b＝(5，－1，4)
C.a·b＝8 D．|a|＝ eq \r(5)
6．[2023·山东济南历城二中高二检测](多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(1，－2，－1)，C(－1，3，1)，O是坐标原点，下列说法正确的是( )
A.点C关于平面Oxy对称的点为(1，－3，1)
B.| eq \(OB,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)
C. eq \(AC,\s\up6(→))∥ eq \(OB,\s\up6(→))
D. eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(OB,\s\up6(→))
7．[2023·山东德州高二检测]在空间直角坐标系中，已知 eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，2，1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，0，5)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，点M为线段AB的中点，则| eq \(CM,\s\up6(→))|＝________．
8．正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1和B1C1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值为________．
1．[2023·福建三明高二检测]向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且b⊥c，b⊥a，则a，c的夹角大小为( )
A. eq \f(π,6) B． eq \f(π,3)
C. eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
2．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且2b∥(a－b)，则( )
A.x＝ eq \f(1,3)，y＝1 B．x＝ eq \f(1,2)，y＝－4
C.x＝2，y＝ eq \f(1,4) D．x＝1，y＝－1
3．已知正方体ABCD ­ A′B′C′D′的棱长为a，对角线AC′与BD′相交于点O，则有( )
A. eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(A′C′,\s\up6(→))＝a2 B． eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC′,\s\up6(→))＝ eq \r(2)a2
C. eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a D． eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(DA′,\s\up6(→))＝a2
4．[2023·安徽泗县一中高二检测](多选)已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A.(2a＋b)∥a
B.5|a|＝ eq \r(3)|b|
C.a⊥(5a＋4b)
D.a在b上的投影数量为－ eq \f(\r(2),2)
5．[2023·山东青岛二中高二检测](多选)已知空间中三点A(2，1，－1)，B(1，0，2)，C(0，3，－1)，则( )
A.| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(11) B．AB⊥AC
C.cs ∠ABC＝ eq \f(\r(209),19) D．A，B，C三点共线
6．设x，y∈R，向量a＝(3，2，1)，b＝(1，x，1)，c＝(y，4，2)，且a⊥b，a∥c，则|c－2b|＝________．
7．已知向量a＝(2，－1，1)，b＝(1，3，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
8．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，cs 〈a，b〉＝－ eq \f(\r(10),10)，若向量a＋kb与2a＋b所成角为钝角，则实数k的范围是________．
9．[2023·山东潍坊高二检测]已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，c)，且|a＋b|＝ eq \r(5).
(1)求c的值；
(2)若ka＋b与2a－b互相垂直，求实数k的值．
10．[2023·广东广州高二检测]如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1＝6，E，F分别是A1D1，A1B1的中点， eq \(CG,\s\up6(→))＝ eq \(GE,\s\up6(→))，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ­ xyz.
(1)写出C，D1，F，G四点的坐标；
(2)求cs 〈 eq \(CF,\s\up6(→))，D1G〉．
1.
[2023·河北沧州高二练习]如图，在四棱锥P ­ ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M为线段PC上一动点，PM＝tPC，若∠BMD为锐角，则实数t可能为( )
A. eq \f(2,3) B． eq \f(1,4)
C. eq \f(1,3) D． eq \f(1,2)
2．已知 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0，2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，2，0)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，1，2)，点M在直线OC上运动，当 eq \(MA,\s\up6(→))· eq \(MB,\s\up6(→))取得最小值时，点M的坐标为________．
3．如图所示，在四棱锥P ­ ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，且∠CPB＝90°，四边形ABCD为直角梯形，满足AD∥BC，CD⊥AD，BC＝CD＝2AD＝4，PD＝2 eq \r(6).
(1)若点F为DC的中点，求cs 〈 eq \(AP,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))〉；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当 eq \(EM,\s\up6(→))⊥ eq \(BF,\s\up6(→))时，求 eq \f(|\(AM,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|))的值．
1．3 空间向量及其运算的坐标表示
必备知识基础练
1．答案：C
解析：点A(2，0，22)关于y轴的对称点的坐标为(－2，0，－22).故选C.
2．答案：B
解析：根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点a＝(1，2，－3)在坐标平面Oyz上的投影坐标，横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．所以空间向量a＝(1，2，－3)在坐标平面Oyz上的投影向量是(0，2，－3).故选B.
3．答案：B
解析：由于向量a＝(x，－2，6)与b＝(1，y，－3)平行，注意到6＝(－3)×(－2)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1×（－2）,－2＝y×（－2）))，故x＝－2，y＝1，x＋y＝－1.故选B.
4．答案：A
解析：以A为坐标原点， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(1，0，3)，C1(1，2，3)，∴M(1，1，3)， eq \(AM,\s\up6(→))＝(1，1，3)，∴| eq \(AM,\s\up6(→))|＝ eq \r(12＋12＋32)＝ eq \r(11)，即AM的长为 eq \r(11).故选A.
5．答案：AC
解析：因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正确；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；|a|＝ eq \r(1＋4＋4)＝3，故D不正确．故选AC.
6．答案：BC
解析：因为点C关于平面Oxy对称的点为(－1，3，－1)，所以A错误；因为| eq \(OB,\s\up6(→))|＝ eq \r(1＋4＋1)＝ eq \r(6)，所以B正确；因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，2，1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－2，－1)，则 eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \(OB,\s\up6(→))，所以C正确；因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝(0，1，0)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－2，－1)，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－2≠0，所以D错误．故选BC.
7．答案： eq \r(26)
解析：因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，2，1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，0，5)，点M为线段AB的中点，所以 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))＝(2，1，3)，所以 eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，－1，4)，所以| eq \(CM,\s\up6(→))|＝ eq \r(32＋（－1）2＋42)＝ eq \r(26).
8．答案：0.4
解析：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设AD＝2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，M(2，2，1)，N(1，2，2)，∴ eq \(AM,\s\up6(→))＝(0，2，1)， eq \(CN,\s\up6(→))＝(1，0，2)，则cs 〈 eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(CN,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AM,\s\up6(→))·\(CN,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AM,\s\up6(→))|)\a\vs4\al(|\(CN,\s\up6(→))|))＝ eq \f(2,5)，故直线AM和CN所成角的余弦值为 eq \f(2,5).
关键能力综合练
1．答案：C
解析：由b⊥c，b⊥a得b·c＝2－4y＋2＝0⇒y＝1，b·a＝x＋y＋1＝x＋2＝0⇒x＝－2，故cs 〈a，c〉＝ eq \f(a·c,|a||c|)＝ eq \f(－4－4＋2,\r(6)·\r(24))＝－ eq \f(1,2)，∵〈a，c〉∈[0，π]，故a，c的夹角为 eq \f(2π,3).故选C.
2．答案：B
解析：a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且2b∥(a－b)，则2b＝(2x，2，4)，a－b＝(1－x，1，－y－2)，因为2b∥(a－b)，∴2b＝λ(a－b)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝λ（1－x）,2＝λ,4＝λ（－y－2）))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2,x＝\f(1,2),y＝－4)).故选B.
3．答案：A
解析：以点A为坐标原点，AB，AD，AA′所在直线分别为x、y、z建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，A′(0，0，a)，B′(a，0，a)，C′(a，a，a)，D′(0，a，a)，O( eq \f(a,2)， eq \f(a,2)， eq \f(a,2)).对于A选项， eq \(AB,\s\up6(→))＝(a，0，0)， eq \(A′C′,\s\up6(→))＝(a，a，0)， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(A′C′,\s\up6(→))＝a2，A对；对于B选项， eq \(AC′,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a，a))， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC′,\s\up6(→))＝a2，B错；对于C选项， eq \(AO,\s\up6(→))＝( eq \f(a,2)， eq \f(a,2)， eq \f(a,2))， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a2，C错；对于D选项， eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，a，0)， eq \(DA′,\s\up6(→))＝(0，－a，a)， eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(DA′,\s\up6(→))＝－a2，D错．故选A.
4．答案：BD
解析：由题得2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而 eq \f(－1,－2)≠ eq \f(2,－1)≠ eq \f(7,1)，故A不正确；因为|a|＝ eq \r(6)，|b|＝5 eq \r(2)，所以5|a|＝ eq \r(3)|b|，故B正确；因为a·(5a＋4b)＝(－2，－1，1)·(2，11，25)＝10≠0，故C不正确；因为a在b上的投影数量为|a|cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|b|)＝ eq \f(－5,5\r(2))＝－ eq \f(\r(2),2)，故D正确；故选BD.
5．答案：ABC
解析： eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，3)，则| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(1＋1＋9)＝ eq \r(11)，故A正确； eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝2－2＋0＝0，所以AB⊥AC，故B正确； eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，3，－3)， eq \(BA,\s\up6(→))＝(1，1，－3)，则cs ∠ABC＝ eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(－1＋3＋9,\r(19)×\r(11))＝ eq \f(\r(209),19)，故C正确；因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)， eq \f(－1,－2)≠ eq \f(－1,2)，所以向量 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))不共线，则A，B，C三点不共线，故D错误．故选ABC.
6．答案：4 eq \r(5)
解析：根据a⊥b可得a·b＝3＋2x＋1＝0，故x＝－2，此时b＝(1，－2，1)，由a∥c可得 eq \f(y,3)＝ eq \f(4,2)＝ eq \f(2,1)，故y＝6，此时c＝(6，4，2)，于是c－2b＝(4，8，0)，故|c－2b|＝|(4，8，0)|＝ eq \r(42＋82)＝4 eq \r(5).
7．答案： eq \r(66)
解析：cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|)＝ eq \f(（2，－1，1）·（1，3，1）,\r(4＋1＋1)×\r(1＋9＋1))＝ eq \f(2－3＋1,\r(6)×\r(11))＝0，故a⊥b，故以a，b为邻边的平行四边形为矩形，面积为|a|·|b|＝ eq \r(6)· eq \r(11)＝ eq \r(66).
8．答案：k