高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用综合训练题

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

1．已知平面α外的直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)

A.l⊥α    B．l∥α

C.l与α相交但不垂直    D．l∥α或l⊂α

2．已知直线l的方向向量为a＝(1，1，2)，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，则(　　)

A.l∥α    B．l⊥α

C.l⊂α    D．l与α相交

3．[2023·山西大同高二检测]已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，则(　　)

A.α⊥β

B.α∥β

C.α与β相交但不垂直   

D.以上都不对

4．[2023·安徽宿州高二检测]若向量a＝(1，1，－1)是直线l的一个方向向量，n＝(－1，2，2)是平面α的一个法向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A.平行    B．垂直

C.直线l在平面α内    D．相交但不垂直

5．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)

A.(－1，1，1)    B．(1，1，1)

C.(－，，－)    D．(，，－)

6．(多选)若v为直线l的方向向量，m，n分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法正确的有(　　)

A.v∥m⇔l∥α    B．v⊥m⇔l⊥α

C.m∥n⇔α∥β    D．m⊥n⇔α⊥β

7．法向量分别是n＝(1，－1，2)，m＝(－2，0，3)的两个平面的位置关系是________________．

8．[2023·北京北师大附中高二检测]已知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC的一个法向量的坐标为________．

1．已知u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则“l⊂α”是“u⊥n”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)，若AB∥α，则(　　)

A.x＝6，y＝2   

B.x＝2，y＝6

C.3x＋4y＋2＝0   

D.4x＋3y＋2＝0

3．已知平面α的法向量为(2，－4，－2)，平面β的法向量为(－1，2，k)，若α∥β，则k＝(　　)

A.－2    B．－1

C.1    D．2

4．[2023·福建泉州高二检测]已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　)

A.(1，－1，1)    B．(1，3，)

C.(1，－3，)    D．(－1，3，－)

5．[2023·山东青岛高二检测]已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为n＝(1，－2，－5)，向量＝(1，0，－1)，＝(2，1，0)，则下列结论一定正确的为(　　)

A.l⊥平面ABC

B.l与平面ABC相交，但不垂直

C.l∥直线BC

D.l∥平面ABC或l⊂平面ABC

6．[2023·福建厦门高二测试](多选)如图，直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1，D，E，M分别为B1C1，CC1，AB1的中点，点N是棱AC上一动点，则(　　)

A.MN⊥BC1

B.存在点N，使MN⊥平面BC1N

C.MN∥平面A1DE

D.存在点N，使MN∥DE

7．已知向量a＝(1－m，1，m)是直线l的一个方向向量，向量n＝(－2，m，1)是平面α的一个法向量，若直线l⊥平面α，则实数m的值为________．

8．在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，若在CD上存在点E，使得A1E⊥平面AB1D1，则DE＝________．

9．[2023·广东江门高二测试]如图，在棱长为3的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面ABB1A1的一个法向量；

(2)求平面MD1B的一个法向量．

10.

在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

(1)证明：B1D⊥平面ABD；

(2)证明：平面EGF∥平面ABD.

1.

如图，在棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为(　　)

A.    B．

C.    D．

2．已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中，AB＝AD＝DE＝CD＝1，CD⊥AE.现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设＝2，＝μ，若AP∥平面DBN，则实数μ的值为________．

3．如图所示，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.

(1)求证：AC⊥BC1；

(2)在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定点D的位置并说明理由，若不存在，说明理由．

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

必备知识基础练

1．答案：B

解析：由于a·u＝(3，2，1)·(－1，2，－1)＝－3＋4－1＝0，即a⊥u，由于l⊄α，所以l∥α.故选B.

2．答案：B

解析：因为n＝(2，2，4)，a＝(1，1，2)，故可得n＝2a，即n∥a，则直线l⊥α.故选B.

3．答案：B

解析：∵m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，∴n＝－2m，

∴m∥n，∴α∥β.故选B.

4．答案：D

解析：a＝(1，1，－1)，n＝(－1，2，2)，a·n＝－1＋2－2＝－1≠0，故a与n不垂直，即直线l与平面α不平行；若n＝λa，则(－1，2，2)＝λ(1，1，－1)，无解，故a与n不平行，即直线l与平面α不垂直．故选D.

5．答案：B

解析：由题意，得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则，化简得，∴x＝y＝z.令x＝1，有n＝(1，1，1).故选B.

6．答案：CD

解析：对于A，v∥m⇔l⊥α，错误；对于B，v⊥m⇔l∥α或l⊂α，错误；对于C，α，β不重合，m∥n⇔α∥β，正确；对于D，m⊥n⇔α⊥β，正确．故选CD.

7．答案：相交且不垂直

解析：假设存在λ∈R，使得n＝λm，则，显然方程组无解，所以n，m不平行，即两个平面不平行；因为n·m＝－2＋6＝4≠0，所以n与m不垂直，所以两个平面的位置关系是相交且不垂直．

8．答案：(6，3，2)(答案不唯一)

解析：因为A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令x＝6，则y＝3，z＝2，所以n＝(6，3，2).

关键能力综合练

1．答案：A

解析：已知u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则u⊥n等价于l∥α或l⊂α，所以“l⊂α”是“u⊥n”的充分不必要条件．故选A.

2．答案：C

解析：因为AB∥α，则⊥n，则·n＝2＋4y＋3x＝0，故选C.

3．答案：C

解析：设平面α，平面β的法向量分别用m，n表示，由题意得m＝(2，－4，－2)与n＝(－1，2，k)平行，故m＝tn，即，解得.故选C.

4．答案：B

解析：设平面α内的一点为P(x，y，z)(不与点A重合)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，因为n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，所以⊥n，所以·n＝3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，即3x＋y＋2z＝9，对于A：3×1＋(－1)＋2×1＝4≠9，故选项A不正确；对于B：3×1＋3＋2×＝9，故选项B正确；对于C：3×1＋(－3)＋2×＝3≠9，故选项C不正确；对于D：3×(－1)＋3＋2×＝－3≠9，故选项D不正确．故选B.

5．答案：D

解析：n·＝1＋0＋5＝6≠0，n与不垂直，也即l与AB不垂直，所以直线l与平面α不垂直，A错；＝－＝(1，1，1)，因此不存在实数k，使得n＝k，所以n与不平行，即直线l与直线BC不平行，C错；设m＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则，取x＝1，则m＝(1，－2，1)，m·n＝1＋4－5＝0，所以m⊥n，所以直线l与平面ABC平行或在平面ABC内，B错，D正确．故选D.

6．答案：AD

解析：A选项：连接BC1，B1C，由题可知四边形BCC1B1是正方形，则BC1⊥B1C，由题知平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，又B1C∩AC＝C，B1C，AC⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C，∵MN⊂平面AB1C，∴BC1⊥MN.故A正确；

B选项：如图建立空间直角坐标系，设AC＝BC＝CC1＝2，则C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，B1(2，0，2)，M(1，1，1)，设N(0，t，0)，0<t<2，则＝(－2，t，0)，＝(1，1－t，1)，若BN⊥MN，则·＝0⇒－2＋t(1－t)＝0，即t2－t＋2＝0，方程无实数根，即BN与MN不垂直，则不存在点N，使得MN⊥平面BC1N，B错误；

C选项：当N是AC中点时，MN∥B1C，B1C∥DE，∴MN∥平面A1DE；当N不是AC中点时，MN和B1C相交，若MN∥平面A1DE，结合B1C∥平面A1DE可知平面AB1C∥平面A1DE，这显然与图形不符(A1E与AC相交)，故此时MN与平面A1DE不平行，故C错误；

D选项：由C项可知，N为AC中点满足题意，故D正确．

故选AD.

7．答案：－1

解析：因为直线l⊥平面α，则a＝(1－m，1，m)与n＝(－2，m，1)平行，故a＝λn，即，解得m＝－1，故实数m的值为－1.

8．答案：

解析：因为ABCD ­ A1B1C1D1，所以DA，DC，DD1两两垂直，建立如图所示坐标系：

设DE＝t，所以A1(1，0，1)，E(0，t，0)，A(1，0，0)，B1(1，2，1)，D1(0，0，1)，则＝(－1，t，－1)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，1)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则，解得n＝(2，－1，2)，当A1E⊥平面AB1D1时A1E∥n，解得t＝.

9．解析：(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1，

所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量．

(2)因为正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1，

所以M，B，D1的坐标分别为(0，3，2)，(3，3，0)，(0，0，3)，

因此＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)，

设n2＝(x，y，z)是平面MBD1的法向量，

则n2⊥，n2⊥MD1，

所以，

取z＝3，则x＝2，y＝1.于是n2＝(2，1，3)是平面MBD1的一个法向量．

10．证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，

所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，＝0，·＝0＋4－4＝0，

即B1D⊥BA，B1D⊥BD.

又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.

(2)由(1)知，E(0，0，3)，G(，1，4)，F(0，1，4)，则＝(，1，1)，＝(0，1，1)，

·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.

又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.

结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.

核心素养升级练

1．答案：B

解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

A(2，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(－1，2，0)，＝(－2，2，1)，设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，则，取y＝1，得n＝(2，1，2)，设P(a，2，c)，0≤a≤2，0≤c≤2，则＝(a－2，2，c－2)，∵A1P平行于平面AEF，∴A1P·n＝2(a－2)＋2＋2(c－2)＝0，整理得a＋c＝3，∴线段A1P的长度||＝＝＝，当且仅当a＝c＝时，线段A1P长度取最小值.故选B.

2．答案：3

解析：易得CD⊥DE，CD⊥DA，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，又AD⊂平面ABCD，则AD⊥平面CDEF，

又DE⊂平面CDEF，则AD⊥DE，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，C(0，2，0)，

又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(0，，)，

同理可得＝＋＝＋＝＋＝(，，)，设平面DBN的法向量为n＝(x，y，z)，

则，令y＝1，则n＝(－1，1，－4)，又＝＋＝(－，，)，

又AP∥平面DBN，则·n＝＋－＝0，解得μ＝3.

3．解析：(1)证明：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以∠ACB＝90°，

如图所示，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，

因为＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，

所以·＝0，⊥，即AC⊥BC1.

(2)若存在点D使AC1∥平面CDB1，

则＝λ＝(－3λ，4λ，0)，0≤λ≤1，

D(3－3λ，4λ，0)，＝(3－3λ，4λ－4，－4)，＝(0，－4，－4)，AC1＝(－3，0，4)，

因为AC1∥平面CDB1，所以存在实数m、n，使AC1＝m＋n成立，

则，解得λ＝，

故在AB上存在点D使AC1∥平面CDB1，此时点D为AB的中点．