高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程一课一练

2．2.2　直线的两点式方程

1．[2023·山东枣庄高二检测]经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程可以表示为(　　)

A．＝

B．＝

C．(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)

D．y－y1＝(x－x1)

2．在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线方程为(　　)

A．＋＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

3．已知直线l经过(－2，－2)，(2，4)两点，点(1 348，m)在直线l上，则m的值为(　　)

A．2 021    B．2 022

C．2 023    D．2 024

4．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为(　　)

A．－1    B．1

C．－    D．

5．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)

A．|b|    B．－b2

C．b2    D．±b

6．(多选)过点A(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　)

A．3x－2y＝0    B．2x－3y＝0

C．x＋y＝5    D．x－y＝－1

7．已知一直线经过点M(－3，4)和点N(2，6)，则这条直线的方程为________________．

8．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________________．

1．若直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)

A．a>0，b>0    B．a>0，b<0

C．a<0，b>0    D．a<0，b<0

2．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个(　　)

3．在平面直角坐标系中，方程＋＝1所表示的曲线是(　　)

A．两条平行线    B．一个矩形

C．一个菱形    D．一个圆

4．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．(－1，)

B．(－∞，)∪(1，＋∞)

C．(－∞，1)∪(，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(，＋∞)

5．(多选)过点P(1，4)在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为(　　)

A．y＝4xB．x＋y＝5

C．x－y－3＝0    D．x－y＋3＝0

6．过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________________．

7．过点(1，2)且截距互为相反数的直线的方程是________________________．

8．经过点P(2，3)，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为________________．

9．[2023·江西九江一中高二检测]已知直线l过定点(2，3).

(1)当直线l的倾斜角是直线3x－y＋3＝0的倾斜角的二倍时，求直线l的方程；

(2)当直线l与x轴正半轴交于A点，y轴正半轴交于B点，且△AOB的面积为12时，求直线l的方程．

10．已知△ABC的顶点A(－2，4)，B(4，－6)，C(5，1).

(1)求AB边上的中线所在直线的方程；

(2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线方程．

1．过点P(1，1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有(　　)

A．1条    B．2条

C．3条    D．4条

2．在平面直角坐标系xOy内，经过点P(2，3)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则△OAB面积最小值为________．

3．已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：

(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；

(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．

2．2.2　直线的两点式方程

必备知识基础练

1．答案：C

解析：当经过(x1，y1)，(x2，y2)的直线不与x，y轴平行时，所有直线均可以用＝，

由于x1，x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x，y轴平行的直线．故选C.

2．答案：A

解析：由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1.故选A.

3．答案：C

解析：由题意知l不与x，y轴平行，故由斜率公式可得＝，解得m＝2 023，故选C.

4．答案：C

解析：由直线的两点式可得直线的方程为＝，即6x－y＋1＝0，将y＝0代入可得在x轴上的截距为x＝－.故选C.

5．答案：B

解析：令x＝0得，y＝－b2.故选B.

6．答案：AC

解析：当截距为0时，过点A(2，3)和原点，直线方程为y＝x，即3x－2y＝0，当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，可得＋＝1，∴a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.故选AC.

7．答案：2x－5y＋26＝0

解析：由于直线经过M(－3，4)和点N(2，6)，所以直线方程为＝，整理得2x－5y＋26＝0.

8．答案：＋＝1

解析：设A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，

即A、B的坐标分别为(2，0)，(0，6).

则l的方程为＋＝1.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：∵直线过第一、三、四象限，∴它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，即a>0，b<0.故选B.

2．答案：B

解析：直线－＝1的斜率为k1＝－＝，直线－＝1的斜率为k2＝－＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项合乎题意．故选B.

3．答案：C

解析：当x≥0，y≥0时，方程为＋＝1；当x≥0，y≤0时，方程为－＝1；当x≤0，y≤0时，方程为＋＝－1；当x≤0，y≥0时，方程为－＋＝1，因此原方程所表示的曲线是一个以(3，0)，(0，2)，(－3，0)，(0，－2)为顶点的菱形．故选C.

4．答案：D

解析：设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪(，＋∞).故选D.

5．答案：ABD

解析：当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1，4)代入y＝kx，求得k＝4，故直线方程为y＝4x；

当截距不为0时，

①截距相等时，设方程为＋＝1，将P(1，4)代入，即＋＝1，解得a＝5，故直线方程为x＋y＝5；

②截距互为相反数时，设直线方程为－＝1，将P(1，4)代入，即－＝1，解得a＝－3，故直线方程为x－y＋3＝0.

故选ABD.

6．答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0

解析：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线方程为＋＝1，则有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.所以直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.

7．答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0

解析：①当截距为0，即直线过原点时，直线的方程为2x－y＝0；

②当截距不为0，设直线的方程为－＝1，代入(1，2)得－＝1，解得a＝－1，

所以直线方程为－x＋y＝1，即x－y＋1＝0；

综上，所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.

8．答案：3x－2y＝0或2x＋y－7＝0

解析：①当横纵截距为零时，直线的斜率为k＝＝，所以直线方程为y＝x，即3x－2y＝0；

②当横纵截距不为零时，设直线方程为＋＝1，将点P代入得＋＝1，解得a＝，所以直线方程为＋＝1，即2x＋y－7＝0.

9．解析：(1)直线3x－y＋3＝0的斜率为k＝＝，

则该直线的倾斜角为，

又所求的直线倾斜角为时，它的斜率为k1＝－，

所以所求直线方程为l：y－3＝－(x－2)，

即：x＋y－2－3＝0.

(2)设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1；　①

∴△AOB的面积为S△AOB＝ab＝12，　②

由①②解得a＝4，b＝6；

所以所求的直线方程为＋＝1

即3x＋2y－12＝0.

10．解析：(1)线段AB的中点为D(1，－1)，

则中线CD所在直线方程为＝，即x－2y－3＝0.

(2)设两坐标轴上的截距分别为a，b，

若a＝b＝0，则直线经过原点，斜率k＝＝－2，

直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；

若a＝b≠0，则设直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0，

把点A(－2，4)代入得－2＋4－a＝0，即a＝2，直线方程为x＋y－2＝0；

综上，所求直线方程为2x＋y＝0或x＋y－2＝0.

核心素养升级练

1．答案：D

解析：由题意设直线l的方程为＋＝1，直线过点P(1，1)，则＋＝1，

直线与坐标轴的交点为(a，0)，(0，b)，

又S＝|ab|＝4，ab＝±8，

＋＝＝1，a＋b＝ab，

ab＝8时，a＋b＝8，由，

得或，

ab＝－8时，a＋b＝－8，由，

得或，

所以直线l共有4条．故选D.

2．答案：12

解析：设直线的方程为＋＝1，由直线过点P(2，3)可得＋＝1，则有1＝＋≥2 ，a>0，b>0，解得ab≥24，当且仅当＝时，a＝4，b＝6时取等号；所以S△OAB＝ab≥×24＝12.

3．解析：(1)设点A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0，

直线l的方程为＋＝1，

且直线l过点M(1，1)，∴＋＝1；　①

∴a＋b＝(a＋b)·(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即a＝b时取“＝”，

将a＝b代入①式得a＝2，b＝2；

∴直线l的方程为x＋y－2＝0，

即|OA|＋|OB|取最小值4时，l的方程为x＋y－2＝0.

(2)设直线方程为y－1＝k(x－1)(k<0)，

则A(－＋1，0)，B(0，1－k)，

∴|MA|2＋|MB|2＝[(－)2＋1]＋[1＋(－k)2]＝2＋k2＋≥2＋2 ＝4，

当且仅当k＝－1时取“＝”；

∴当|MA|2＋|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.