高中人教A版 (2019)2.2 直线的方程习题

2．2.3　直线的一般式方程

1．[2023·广东潮州高二测试]直线2x＋3y＋1＝0在y轴上的截距为(　　)

A．    B．－

C．    D．－

2．[2023·河北唐山高二测试]已知直线ax＋y－1＝0的倾斜角为30°，则a＝(　　)

A．－    B．

C．－    D．

3．直线2x＋3y＋6＝0不经过(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

4．[2023·辽宁鞍山高二检测]过点(2，0)且与直线2x－4y－1＝0垂直的直线方程是(　　)

A．x－2y－1＝0    B．2x＋y－4＝0

C．x－2y－2＝0    D．x＋2y－2＝0

5．过点(－2，0)且与直线x＋y＝0平行的直线方程为(　　)

A．x＋y－2＝0    B．x－y－2＝0

C．x－y＋2＝0    D．x＋y＋2＝0

6．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)

B．若直线y＝kx＋b经过一、三象限，则k>0

C．若直线l的横纵截距相等，则直线l的斜率为1或过原点

D．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则直线l的斜率为－

7．[2023·山东菏泽高二检测]过点(－1，2)与(3，5)的直线的一般式方程为________________．

8．直线l垂直于直线y＝x＋m，且l在x轴上的截距为2，则直线l的一般式方程为________________________________________________________________________．

1．[2023·河北沧州高二检测]直线x cos 10°＋y sin 80°－2＝0的倾斜角为(　　)

A．10°    B．45°

C．80°    D．135°

2．已知△ABC的顶点A(5，5)，AC边上的高所在直线方程为3x＋2y－7＝0，则AC所在直线的方程为(　　)

A．x－2y＋5＝0    B．2x－3y＋3＝0

C．x＋2y－15＝0    D．2x－3y＋5＝0

3．如果AC>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

4．[2023·山东潍坊高二检测]已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋m＝0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a＝(2，1)，则直线l′的方程为(　　)

A．x－2y－3＝0    B．x－2y＋3＝0

C．2x－y＋3＝0    D．2x－y－3＝0

5．(多选)直线l的方程为x＝my＋1，则(　　)

A．直线l恒过定点(1，0)

B．直线l斜率必定存在

C．m＝时直线l的倾斜角为60°

D．m＝2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为

6．[2023·江苏泰州高二检测](多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则(　　)

A．直线l过定点(0，1)

B．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直

C．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0

D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数

7．将一张坐标纸折叠一次，使点(1，0)与(－5，6)重合，求折痕所在的直线方程是________________．

8．一条光线沿直线3x－4y＋5＝0入射到x轴后反射，则反射光线所在的直线方程为________________________________________________________________________．

9．在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A(0，2)和C(4，6)，AB所在直线方程为3x－y＋2＝0.

(1)求对角线BD所在直线的一般式方程；

(2)求AD所在直线的一般式方程．

10．[2023·广东肇庆一中高二检测]已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

1．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为(　　)

A．2　　　B．4    C．8　　　D．6

2．[2023·江苏淮安高二测试]莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知△ABC的三个顶点坐标分别是(－1，0)，(3，0)，(0，2)，则△ABC的垂心坐标为________，△ABC的欧拉线方程为________________．

3．已知直线l的方程为(3＋m)x－(1－2m)y＋(1＋5m)＝0.

(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；

(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．

2．2.3　直线的一般式方程

必备知识基础练

1．答案：D

解析：令x＝0，则2×0＋3y＋1＝0，得y＝－.所以直线在y轴上的截距为－.故选D.

2．答案：A

解析：由已知得直线的斜率k＝tan 30°＝＝－a，∴a＝－.故选A.

3．答案：A

解析：由2x＋3y＋6＝0可得y＝－x－2，所以直线的斜率k＝－，y轴上的截距为－2，所以直线不经过第一象限．故选A.

4．答案：B

解析：直线2x－4y－1＝0的斜率为，故所求直线的斜率为－2，所以所求的直线方程为y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.故选B.

5．答案：D

解析：设与直线x＋y＝0平行的直线方程为x＋y＋C＝0，将(－2，0)代入，得－2＋0＋C＝0，解得C＝2，故直线方程为x＋y＋2＝0.故选D.

6．答案：ABD

解析：对A：直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)，故A正确；

对B：若直线y＝kx＋b经过一、三象限，则k>0，故B正确；

对C：若直线l的横纵截距相等，则直线l的斜率为－1或过原点，故C错误；

对D：若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，即y＝－x－，则其斜率为－，故D正确．故选ABD.

7．答案：3x－4y＋11＝0

解析：可得直线的斜率为＝，

所以直线方程为y－2＝(x＋1)，整理得3x－4y＋11＝0.

8．答案：x＋y－2＝0

解析：由题意，∵直线l垂直于直线y＝x＋m，∴直线l的斜率为－1.∵l在x轴上的截距为2，∴l：y＝－x＋2，故直线l的一般式方程为x＋y－2＝0.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：因为cos 10°＝sin 80°，故该直线的斜率k＝－1，设直线倾斜角为θ，则tan θ＝－1，又θ∈[0，π)，故θ＝＝135°.故选D.

2．答案：D

解析：设AC边上的高所在直线的斜率为k1，则k1＝－.设AC边所在直线的斜率为k2，因为AC边上的高与AC垂直，所以k1k2＝－1，所以k2＝.又A(5，5)，所以AC所在直线方程为y＝(x－5)＋5，整理为一般式得2x－3y＋5＝0.故选D.

3．答案：D

解析：Ax＋By＋C＝0，y＝－x－，(B≠0)，AC>0，BC<0，故－>0，－>0.故直线不经过第四象限．故选D.

4．答案：B

解析：对l化简得，l：m(2x＋y＋1)＋x＋y＝0，得，解得，点P(－1，1)，又直线l′经过点P，且l′的方向向量a＝(2，1)，可设l′上一点为A(m，n)，其中A与P不重合，则＝a，

则，解得，故利用两点式，可得l′的直线方程为x－2y＋3＝0.故选B.

5．答案：AD

解析：对于A，由直线方程知：恒过定点(1，0)，故A正确；

对于B，当m＝0时x＝1，直线斜率不存在，故B错误；

对于C，m＝时有y＝(x－1)，设倾斜角为θ，即tan θ＝，则倾斜角为θ＝，故C错误；

对于D，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则x、y轴交点分别为(1，0)，(0，－)，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，故D正确．故选AD.

6．答案：ABD

解析：对于A，当x＝0时，y＝1，与a的取值无关，故直线l过定点(0，1)，所以A正确；

对于B，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，其斜率为1，而直线x＋y＝0的斜率为－1，所以当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直，所以B正确；

对于C，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，所以C错误；

对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，横截距和纵截距分别是－1，1，互为相反数，所以D正确．故选ABD.

7．答案：x－y＋5＝0

解析：∵点(1，0)与点(－5，6)连线的斜率为k＝＝－1，∴折痕所在直线斜率k′＝1，又点(1，0)与点(－5，6)的中点为(－2，3)，∴折痕所在直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.

8．答案：3x＋4y＋5＝0

解析：由题可知，直线3x－4y＋5＝0与x轴有交点，令y＝0得x＝－，所以直线3x－4y＋5＝0与x轴的交点为(－，0)，又直线3x－4y＋5＝0的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为－，所以反射光线所在的直线方程为y＝－(x＋)，即3x＋4y＋5＝0.

9．解析：(1)由A(0，2)和C(4，6)得AC中点为M(2，4)，

∵四边形ABCD为菱形kAC＝＝1，

∴BD⊥AC，∴kBD＝－1，且M(2，4)为BD的中点，

∴对角线BD所在直线方程为y－4＝－(x－2)，

即x＋y－6＝0.

(2)由，解得，

即B(1，5)，

∴kBC＝＝，

∵AD∥BC，∴kAD＝，

∴直线AD的方程为y－2＝x，

即x－3y＋6＝0.

10．解析：(1)证明：∵直线l为5ax－5y－a＋3＝0，

即a(5x－1)＋(－5y＋3)＝0，

∴，解得，

∴不论a为何值，直线l总过第一象限的点(，)，

即直线l过第一象限．

(2)因为直线5ax－5y－a＋3＝0的斜率显然存在，

又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，

所以斜率只能为正，且直线与y轴不能交于正半轴；

因此，解得a≥3，

∴a的取值范围是a≥3.

核心素养升级练

1．答案：B

解析：已知直线kx－y＋2k－1＝0整理得y＋1＝k(x＋2)，直线恒过定点A，即A(－2，－1).点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋＝1，由于m，n均为正数，则＋＝(m＋)(＋)＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，取等号时，即.故选B.

2．答案：(0，)　5x＋4y－6＝0

解析：由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)，可知AB边上的高所在的直线为x＝0，又kBC＝＝－，因此BC边上的高所在的直线的斜率为，所以BC边上的高所在的直线为y－0＝(x＋1)，即3x－2y＋3＝0，所以⇒，所以△ABC的垂心坐标为(0，)，由重心坐标公式可得△ABC的重心坐标为(，)＝(，)，所以△ABC的欧拉线方程为＝，化简得5x＋4y－6＝0.

3．解析：(1)证明：原方程整理得(x＋2y＋5)m＋3x－y＋1＝0.

由，可得，

∴不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2).

(2)设直线l1的方程为y＝k(x＋1)－2(k<0).

令y＝0，x＝，令x＝0，y＝k－2.

∴S△＝|k－2|＝[(－k)＋＋4]≥[2 ＋4]＝4.

当且仅当－k＝，即k＝－2时，三角形面积最小．

则l1的方程为2x＋y＋4＝0.