高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程第2课时课后测评

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第2课时　直线与圆的位置关系(2)  必备知识基础练进阶训练第一层1．[2023·辽宁阜新高二检测]已知点P是直线3x＋4y＋5＝0上的动点，点Q为圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的动点，则|PQ|的最小值为(　　)A．　　　B．    C．　　　D．2．[2023·山东青岛十九中高二检测]一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是(　　)A．13米    B．14米C．15米    D．16米3．已知圆(x－1)2＋y2＝4内一点P(0，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是(　　)A．x＋y－1＝0    B．x－y＋1＝0C．x－y－1＝0    D．x＝04．[2023·广东惠州高二测试]设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为(　　)A.7－2    B．－2C．＋2    D．7＋25．[2023·辽宁抚顺高二检测]已知圆C：(x－3)2＋(y＋2)2＝9，过直线l：3x＋4y＋19＝0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　)A．5    B．2C．    D．26．[2023·江西赣州高二检测](多选)已知动直线l：kx－y－k＋1＝0与圆C：x2＋y2－4y＝0，则下列说法正确的是(　　)A．直线l过定点(1，1)B．圆C的圆心坐标为(0，－2)C．直线l与圆C的相交弦的最小值为2D．直线l与圆C的相交弦的最大值为47．[2023·河北沧州高二检测]点P在圆x2＋y2＝1上运动，点Q在直线3x＋4y－m＝0上运动，若|PQ|的最小值是1，则m＝________．8．[2023·福建泉州高二检测]在圆M：x2＋y2－2x－3＝0中，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．   关键能力综合练进阶训练第二层1．[2023·山东济南高二测试]若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上至少有三个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是(　　)A．(6，＋∞)    B．[6，＋∞)C．(4，6]    D．[4，6]2．[2023·辽宁抚顺高二检测]台风中心从M地以每小时30 km的速度向西北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60 km处，则城市N处于危险区内的时长为(　　)A．1 h    B． hC．2 h    D．3 h3．[2023·江苏徐州高二检测]已知A(0，1)，B(1，0)，点C在圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝18上，若△ABC的面积为1，则点C的个数为(　　)A．1　　　B．2    C．3　　　D．44．已知过定点(2，－2)的直线l与圆C：x2＋y2＋6x－6y－36＝0相交于A，B两点，当线段AB的长为整数时，所有满足条件的直线l的条数为(　　)A．11 　 　 B．20    C．21 　 　 D．225．(多选)为了实现信息技术与数学课堂的深度融合，体现利用信息技术研究几何动态问题的优越性，唐老师让学生使用几何画板研究圆的动态弦长问题，以培养学生直观想象的核心素养，课堂上唐老师先让A同学给出一个圆C：(x－2)2＋(y＋4)2＝10，再让B同学给出圆内的一个定点P(3，－2)，最后要求同学们利用几何画板过点P作一条直线l与圆C交于M，N两点，并通过几何画板的度量功能得到M，N两点间的距离后提交答案，现选取4位同学提交的答案，则度量结果可能正确的是(　　)A．4　　　B．5    C．6　　　D．76．[2023·山西大同高二检测](多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则(　　)A．的最大值为B．的最小值为－C．的最大值为D．的最小值为－7．已知直线l：mx－y－3m＋1＝0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．8．[2023·山东潍坊高二检测]点P在圆(x－2)2＋y2＝2上运动，直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，△ABP面积的最大值为________．9．[2023·福建福州高二检测]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a>0，r>0)的圆心在直线x＋y＝0上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为2.(1)求圆C的方程；(2)若一光线从点M(－，1)出发，经直线x＋y－4＝0反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程．    10．[2023·浙江长兴高二检测]如图，某海面有O，A，B三个小岛(小岛可视为质点，不计大小)，A岛在O岛正西方向距O岛30千米处，B岛在O岛北偏西45°方向距O岛60 千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛60千米处，正沿着北偏西45°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．       核心素养升级练进阶训练第三层1．[2021·新高考Ⅰ卷](多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝32．[2023·河北沧州高二检测]若方程 ＝x＋b有实数解，则b的取值范围是________．3．[2023·辽宁抚顺高二检测]已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过点P(0，2)的直线l与圆C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)当直线l的斜率为－4时，求△AOB的面积；(2)若直线l的斜率为k，直线OA，OB的斜率为k1，k2.①求k的取值范围；②试判断k1＋k2的值是否与k有关？若有关，求出k1＋k2与k的关系式；若无关，请说明理由．      第2课时　直线与圆的位置关系(2)必备知识基础练1．答案：B解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心为(2，2)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离为＝，所以|PQ|的最小值为－2＝.故选B.2．答案：D 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－6，－2)，B(6，－2)，设圆的方程为x2＋(y＋m)2＝m2(m>0)，代入A，则有m＝10，故圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，令y＝－4，则x＝±8，故|EF|＝16.故选D.3．答案：B解析：(x－1)2＋y2＝4的圆心为A(1，0)，半径为2，由几何性质可知：过P点的最短弦所在的直线与直线AP垂直，直线AP的斜率为＝－1，故过P点的最短弦所在的直线的斜率为1，故过P点的最短弦所在的直线方程为y－1＝x－0，整理为x－y＋1＝0.故选B.4．答案：B解析：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2.故选B.5．答案：C解析：如图所示：记圆心C(3，－2)到直线l：3x＋4y＋19＝0的距离为d，则d＝＝4.因为|PQ|＝＝，所以当直线l与CP垂直，即|CP|＝d时，|PQ|最小，故|PQ|min＝＝.故选C.6．答案：ACD解析：对于A，直线l：kx－y－k＋1＝0，即k(x－1)－y＋1＝0，令，得，即直线l过定点(1，1)，故A正确；对于B，圆C：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(0，2)，故B错误；对于C，因为12＋(1－2)2＝2＜4，所以直线l所过定点(1，1)在圆的内部，不妨设直线l过定点为A(1，1)，当直线l与圆C的相交弦的值最小时，AC与相交弦垂直，又因为|AC|＝＝，所以相交弦的最值小为2＝2＝2，故C正确；对于D，直线l与圆C的相交弦的最大值为圆C的直径4，故D正确．故选ACD.7．答案：10或－10解析：由题，设x2＋y2＝1圆心为O，要使|PQ|最短，则O，P，Q三点共线且OQ与直线垂直．则|PQ|＝|OQ|－|OP|＝1，其中|OP|为圆半径为1，|OQ|为圆心到直线距离．则|OQ|＝＝2，解得m＝10或m＝－10.8．答案：4解析：圆M：x2＋y2－2x－3＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心为M(1，0)，半径r＝2，如图所示：易知：当弦AC经过圆心M(1，0)时，弦AC最长，当弦BD与线段ME垂直时，弦BD最短，|ME|＝＝，|AC|＝2r＝4，所以|BD|＝2＝2，所以S四边形ABCD＝|AC|×|BD|＝4.关键能力综合练1．答案：B解析：由已知条件得(x－3)2＋(y＋5)2＝r2的圆心坐标为(3，－5)，圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为d＝＝5，∵圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上至少有三个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，∴圆的半径的取值范围是r≥5＋1，即r≥6，即半径r的取值范围是[6，＋∞).故选B.2．答案：C解析：如图所示，以点M为坐标原点建立直角坐标系，则N(－60，0)，以N为圆心，30为半径作圆，则圆的方程为(x＋60)2＋y2＝2 700，当台风进入圆内，则城市N处于危险区，又台风的运动轨迹为y＝－x，设直线与圆的交点为A，B，圆心N到直线的距离为d＝＝30，则|AB|＝2＝2＝60 km，所以时间t＝＝2 h，故选C.3．答案：C解析：由题意，设在△ABC中AB上的高为h，则S△ABC＝h·|AB|＝1，由A(0，1)，B(1，0)，则直线AB的方程为x＋y－1＝0，且＝＝，即h＝，由方程(x＋1)2＋(y＋2)2＝18，可得圆心为D(－1，－2)，半径为r＝3，圆心到直线的距离为d＝＝2<3，则直线与圆相交，如图：在劣弧上的点到直线AB的最大距离为d1＝r－d＝，在优弧上的点到直线AB的最大距离为d2＝r＋d＝5，由d1＝h<d2，则点C的个数为3.故选C.4．答案：C解析：由已知圆x2＋y2＋6x－6y－36＝0，得(x＋3)2＋(y－3)2＝54，所以圆心为C(－3，3)，半径r＝3，且7<r<8.设定点为M(2，－2)，易知M(2，－2)在圆内，当MC与AB垂直时，|MC|＝，|AB|最小为2＝4，当AB经过点C(－3，3)时，此时|AB|最大为2r＝2，故|AB|∈[4，2]，即|AB|∈[4，].又因为，14<<15，AB的长为整数，所以当|AB|＝5，6，7，8，9，10，11，12，13，14时，直线l的条数各为两条，当|AB|＝4时，直线l的条数为一条，共21条．故选C.5．答案：BC解析：依题意，圆心C(2，－4)，半径，则当直线l过点C(2，－4)，P(3，－2)时，|MN|有最大值为2，当直线PC⊥l时，|MN|有最小值，此时|PC|＝，故|MN|有最小值为2＝2，则|MN|∈[2，2].故选BC.6．答案：CD解析：由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C(－1，0)，半径为1的圆，则为圆上的点与定点P(1，0)连线的斜率，由于直线x＝1和x2＋y2＋2x＝0没有交点，故设过点P(1，0)的斜率存在的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，当直线kx－y－k＝0与圆x2＋y2＋2x＝0相切时，圆心C(－1，0)到该直线的距离d＝r，即＝1，可得3k2＝1，解得k＝±，所以∈[－，]，即最大值为，最小值为－.故选CD.7．答案：4解析：因为l：mx－y－3m＋1＝0，即y－1＝m(x－3)，令，得，故直线恒过定点P(3，1)，由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25可知圆心C(1，2)，半径为5，又因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，故点P(3，1)在圆内，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，因为|PC|＝＝，所以|AB|min＝2＝4.8．答案：6解析：由题意可知A(－2，0)，B(0，－2)，因此|AB|＝＝2，由于|AB|长度为定值，故△ABP面积最大时即为点P到直线x＋y＋2＝0的距离最大，而圆(x－2)2＋y2＝2上点到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离加半径，又因为圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，又因为半径为，所以点P到直线x＋y＋2＝0的距离最大值为2＋＝3，因此△ABP面积的最大值为×2×3＝6.9．解析：(1)依题意得，由a>0，r>0，解得，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋)2＝4.(2)设M关于直线x＋y－4＝0的对称点为M′(x0，y0)，由⇒，∴M′(3，4＋).设过M′与圆C相切的直线为l，当斜率不存在时，l：x＝3，圆心到直线的距离为d＝3－1＝r符合条件；当斜率存在时，设l：y－4－＝k(x－3)即kx－y－3k＋4＋＝0，圆心到直线的距离为d＝＝2，解得k＝，则直线l的方程为y－4－＝(x－3)，即x－y＋4－2＝0.所以反射光线所在直线方程为x＝3或x－y＋4－2＝0.10．解析：(1)由已知O(0，0)，A(－30，0)，B(－60，60).设圆C方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，将O，A，B三点代入得，解得，∴圆C的方程为(x＋15)2＋(y－45)2＝2 250.(2)由已知该船初始位置为点D(30，－30)，且该船航线所在直线l的斜率为－1.∴海船行驶路线l：y＋30＝－(x－30)即x＋y＋30－30＝0，圆心C到l的距离为d＝＝15.∵d＝15<r＝＝15，∴有触礁危险． 核心素养升级练1．答案：ACD解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；如图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，CD选项正确．故选ACD.2．答案：[－2，4]解析：方程＝x＋b有实数解可以转化为y＝与y＝x＋b有交点，如图所示，y＝表示以原点为圆心、2为半径的圆的上半圆，l：y＝x＋b表示斜率为，过(0，b)的直线．当直线l平移到l1的位置时，将A的坐标(2，0)代入直线l的方程，得b＝－2；当直线l平移到l2的位置时，设C为切点，由点O(0，0)到直线l的距离等于半径，即＝2，得b＝4，综上，b的取值范围是[－2，4].3．解析：(1)当直线l的斜率为－4时，直线l的方程为y＝－4x＋2.O(0，0)到直线l的距离为d＝，因为圆心(1，0)到直线l的距离为d′＝，所以|AB|＝2＝＝，所以S△AOB＝·|AB|·d＝.(2)直线l的方程为y＝kx＋2.①因为l与圆C相交，所以圆心(1，0)到直线l的距离为d＝<1，得k<－，即k的取值范围是(－∞，－)；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得(1＋k2)x2＋(4k－2)x＋4＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.因为k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋2(＋)＝2k＋2×，所以k1＋k2＝2k＋2×＝2k－(2k－1)＝1，即k1＋k2为定值，与直线l的斜率k无关．