人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时达标测试

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时达标测试，共12页。
第2课时　直线和双曲线的位置关系  必备知识基础练进阶训练第一层1．直线y＝x＋2与双曲线－＝1的位置关系是(　　)A．相切    B．相交C．相离    D．无法确定2．直线x－y＝0与双曲线2x2－y2＝2有两个交点为A，B，则|AB|＝(　　)A．2    B．2C．4    D．43．[2023·河北石家庄高二测试]已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，M(1，3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线的斜率是(　　)A．±    B．±C．±    D．±4．设点A(－，0)，B(，0)，M为动点，已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值，则点M的轨迹是(　　)A．－y2＝1(y≠0)    B．－x2＝1(y≠0)C．－y2＝1(y≠0)    D．－x2＝1(y≠0)5．双曲线方程为－＝1，F1，F2为其左、右焦点，过右焦点F2的直线与双曲线右支交于点A和点B，满足|AF1|＝|AB|，cos ∠ABF1＝，则该双曲线的离心率为(　　)A．　　　B．    C．　　　D．6．[2023·山东烟台高二测试](多选)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则(　　)A．该双曲线的虚轴长为2B．该双曲线的焦距为2C．该双曲线的离心率为D．直线x－y＋2＝0与该双曲线有两个公共点7．[2023·江苏连云港高二测试]已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为2的弦AB.则AB的长是________．8．[2023·山西大同高二检测]已知双曲线－＝1被直线截得的弦AB，弦的中点为M(4，2)，则直线AB的斜率为________．  关键能力综合练进阶训练第二层1．如图所示为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是(　　)　A.4    B．4C．6    D．42．若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是(　　)A．[－1，1]B．[－1，0)∪(0，1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，1)3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4，2)，则该双曲线的离心率为(　　)A．    B．C．    D．24．[2023·福建厦门高二检测]过点P(1，2)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有(　　)A．1条    B．2条C．3条    D．4条5．[2023·重庆高二测试](多选)已知两点A(－2，0)，B(2，0)，若直线上存在点P，使得|PA|－|PB|＝2，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有(　　)A．y＝x＋1    B．y＝3x＋1C．y＝2x＋4    D．y＝x＋36．[2023·广东中山高二测试](多选)过双曲线C：－y2＝1的左焦点F作直线l交C于A，B两点，则(　　)A．若|AB|＝1，则直线l只有1条B．若|AB|＝2，则直线l有2条C．若|AB|＝3，则直线l有3条D．若|AB|＝4，则直线l有3条7．[2023·河南商丘高二检测]已知直线l：x＋y＝0与双曲线C：－＝1无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为________．8．已知双曲线C：x2－y2＝－1，过P(2，1)作直线l与双曲线C交于A，B两点，且P为弦AB的中点，则直线l的方程为____________________．9．[2023·江苏宿迁高二检测]双曲线C：－＝1的右焦点为F2，直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．     10．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早s(注：信号每秒传播V0 km).(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？            核心素养升级练进阶训练第三层1．[2023·山东德州高二检测](多选)双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C的方程为－＝1，则(　　)A．双曲线的焦点F2到渐近线的距离为B．若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42C．当n过点Q(3，6)时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8D．反射光线n所在直线的斜率为k，则|k|∈[0，)2．直线mx－y＋2m＝0与曲线x2－y|y|＝1恰有两个交点，则实数m的取值范围为________．3．已知双曲线：C：－＝1(a>0，b>0)与＋y2＝1有相同的焦点，且经过点M(，－).(1)求双曲线C的方程；(2)是否存在以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，如果存在，求弦AB所在直线的方程．     第2课时　直线和双曲线的位置关系必备知识基础练1．答案：B解析：由得－＝1，整理得6x＝－13，所以x＝－，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，y＝x＋2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点．所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选B.2．答案：C解析：由，得，，∴|AB|＝ ＝4.故选C.3．答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝3，＝1.由，可得－＝0，则－＝0，即a2＝3b2，则a＝b，则双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率为±＝±.故选A.4．答案：C解析：设动点M(x，y)，则x≠±，则kMA＝，kMB＝，(x≠±)，∵直线AM与直线BM的斜率之积为定值，∴·＝，化简可得，－y2＝1(y≠0)，故点M的轨迹方程为－y2＝1(y≠0).故选C.5．答案：C解析：由题意|AF1|－|AF2|＝|AB|－|AF2|＝|BF2|＝2a，又|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|＝4a，在△BF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1||BF2|cos ∠ABF1，4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×，c2＝a2，所以e＝＝.故选C.6．答案：BD解析：由题意设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，所以，解得a＝2，b＝1，双曲线方程为－y2＝1，所以c＝＝，对于A，该双曲线的虚轴长为2，所以A错误；对于B，该双曲线的焦距为2c＝2，所以B正确；对于C，该双曲线的离心率为e＝＝，所以C错误；对于D，由，得3x2＋16x＋20＝0，因为Δ＝162－4×3×20＝16>0，所以方程3x2＋16x＋20＝0有两个不相等的实根，所以直线x－y＋2＝0与该双曲线有两个公共点，所以D正确．故选BD.7．答案：25解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线的左焦点为F1(－3，0)，则直线AB的方程为y＝2(x＋3)，由得，x2＋9x＋14＝0，∴x1＋x2＝－9，x1x2＝14，则|AB|＝·＝·＝25.8．答案：1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1≠x2，则有－＝1，－＝1，两式作差可得，－－＋＝0，即＝，又弦的中点为M(4，2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，代入可得y1－y2＝x1－x2，即＝1，所以直线AB的斜率为1.此时直线方程为y－2＝x－4，即y＝x－2，联立直线与双曲线方程可得x2－8x＋12＝0，Δ＝(－8)2－4×1×12＝16>0，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件．关键能力综合练1．答案：C解析：因为金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍．所以M(，2m)，N(，－m)(m>0)，且M、N都在双曲线－＝1上，离心率e＝2，所以，解得，则杯高为3m＝6.故选C.2．答案：D解析：由双曲线x2－y2＝1，得渐近线方程为y＝±x，由题意得，直线y＝kx应该在两条渐近线之间，如图得，k∈(－1，1).故选D.3．答案：B解析：设弦的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则－＝1，－＝1，两式作差整理得－＝0.∵斜率为1，弦的中点为(4，2)，∴＝1，＝4，＝2，∴a2＝2b2，即b2＝a2，∴c2＝a2＋b2＝a2.故e＝ ＝.故选B.4．答案：D解析：如图所示，双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±x，点P(1，2)在双曲线外部，则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线l1，l4，还有两条和双曲线相切的直线l2，l3，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条．故选D.5．答案：AD解析：因为|PA|－|PB|＝2<|AB|，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中a＝1，c＝2，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线为x2－＝1(x>0)，渐近线方程为y＝±x，y＝x＋1的斜率为1<，故与x2－＝1(x>0)有交点，A正确；y＝3x＋1的斜率为3>，且与y轴交点为(0，1)，故与x2－＝1(x>0)无交点，B错误；y＝2x＋4的斜率为2>，且与y轴交点为(0，4)，故与x2－＝1(x>0)无交点，C错误；y＝x＋3的斜率为<，故与x2－＝1(x>0)有交点，D正确．故选AD.6．答案：ABD解析：因为双曲线C：－y2＝1的左焦点F的坐标为(－，0)，该双曲线的渐近线方程为y＝±x，若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝－，代入双曲线，得y＝±，此时|AB|＝1；若直线l的斜率存在，可设l的方程为y＝k(x＋)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由联立可得(1－4k2)x2－8k2x－20k2－4＝0，为使l与双曲线有两个不同的交点，则，可得k≠±，由韦达定理可得，所以|AB|＝＝.A选项，由＝1可得，k无解，因此若|AB|＝1，则l的方程只有x＝－，A正确；B选项，由＝2，可得4＋4k2＝±(2－8k2)，解得k＝±，因此若|AB|＝2，则l的方程为y＝±(x＋)，B正确；C选项，由＝3，可得4＋4k2＝±(3－12k2)，解得k＝±，因此若|AB|＝3，则l的方程为y＝±(x＋)，C错误；D选项，由＝4，可得4＋4k2＝±(4－16k2)，解得k＝0或k＝±，因此若|AB|＝4，则l的方程为y＝±(x＋)或x＝0，D正确．故选ABD.7．答案：(1，]解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝－x，因为直线y＝－x与双曲线无公共点，所以－≥－1，即≤1，所以e＝＝≤，又e>1，所以离心率的取值范围为(1，].8．答案：2x－y－3＝0解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵A，B在双曲线上，∴，①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，即4(x1－x2)＝2(y1－y2)，即kAB＝＝＝2，∴直线AB：y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，由⇒3x2－12x＋8＝0，∵Δ>0，故2x－y－3＝0与双曲线有两个交点满足题意，故l的方程为2x－y－3＝0.9．解析：(1)由题意，双曲线C：－＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝a2＋b2＝9，故右焦点F2(3，0)，直线l的倾斜角为30°，故斜率k＝tan 30°＝，直线l的方程为y＝(x－3)＝x－，联立直线与双曲线：，可得x2＋12x－36＝0，Δ>0，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，由弦长公式|AB|＝ ×＝8.(2)由题意，求解△AOB的面积，AB边的高即为原点O到AB的距离d，直线AB：y＝x－⇔x－y－＝0，故d＝＝，S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝6.10．解析：(1)设观察员可能出现的位置为点P(x，y)，由题意，得|PB|－|PA|＝×V0＝40<|AB|＝60，故点P的轨迹为双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，又2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500，故点P的轨迹方程为－＝1(x<0).(2)设轨迹上一点为M(x，y)，则|MC|＝＝，又－＝1，所以x2＝y2＋400，所以|MC|＝ ＝ ≥20，当且仅当y＝时，|MC|取得最小值20，故扫描半径r至少是20 km.核心素养升级练1．答案：ABD解析：对于A，由双曲线C的方程为－＝1知双曲线的渐近线方程为x－2y＝0，焦点F2(5，0)到直线x－2y＝0的距离为＝，故A正确；对于B，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°.因为P在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2，二者联立解得|PF1|·|PF2|＝＝＝42.故B正确；对于C，光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|－2a＋|PQ|＝|F1P|＋|PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝－4＝6，故C不正确；对于D，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.设左、右顶点分别为A，B.如图所示：当m与F2B同向共线时，n的方向为BF2，此时k＝0，最小．因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为|k|<.即|k|∈.故D正确．故选ABD.2．答案：(－，1)解析：直线y＝m(x＋2)，斜率为m，恒过点(－2，0)，y≥0时，曲线为x2－y2＝1，表示双曲线位于x轴上及x轴上方的部分，如图，一条渐近线方程为y＝x，直线与曲线有两个交点，则0≤m<1，y<0时，曲线为x2＋y2＝1，表示单位圆位于x轴下方的部分(半圆)，如图，直线与曲线有两个交点，则，解得－<m<0，综上所述，m∈(－，1).3．解析：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，所以双曲线的焦点坐标为(±，0)，又因为M(，－)在双曲线上，所以，所以a2＝1，b2＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1.(2)假设存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，两式相减可得2x－2x＝y－y，所以2＝，又因为x1＋x2＝2xP＝2，y1＋y2＝2yP＝4，所以＝kAB＝1，所以弦AB所在直线的方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，由得x2－2x－3＝0，所以Δ＝4＋12＝16>0，所求直线与双曲线有2个交点，故存在，且弦AB所在的直线方程为x－y＋1＝0.