2019北京海淀高一（上）期末数学含答案

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2019北京海淀高一（上）期末数    学2019.01学校          班级           姓名          成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，，则                        (     )（A）       （B）       （C）       （D）（2）已知向量，，且，则                     (     )（A）          （B）          （C）             （D）（3）下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是                  （     ）
（A）  （B）  （C）  （D） （4）命题，则是          （    ）（A）                 （B）（C）                 （D）（5）已知，，则                                 （     ）（A）        （B）         （C）         （D）（6）若角的终边经过点，则下列三角函数值恒为正的是（     ）
（A）       （B）     （C）     （D）（7）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点      （     ）（A） 向左平移个单位长度        （B） 向左平移个单位长度             （C） 向右平移个单位长度         （D） 向右平移个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆相交于点.过点的圆的切线交轴于点，点的横坐标关于角的函数记为. 则下列关于函数的说法正确的是                                    （     ）（A）的定义域是（B）的图象的对称中心是（C）的单调递增区间是（D）对定义域内的均满足二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知，则              . （10）已知 ，，则______；______. （11）已知集合，，集合满足，.则一个满足条件的集合是                  . （12）已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集是             . （13）如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为        弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，           . （14）已知函数（Ⅰ）若函数没有零点，则实数的取值范围是________；（Ⅱ）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得.在①； ②；③；④；⑤中，函数的包容数是_____    ___．（填出所有正确答案的序号） 三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共11分）已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围.          (16)（本小题共10分）已知函数，存在不等于1的实数使得.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出与的大小关系.   (17)（本小题共11分）如图，在四边形中，，，，且.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）点在线段上，且，求的值.        (18)（本小题共12分）设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间;（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.      附加题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：秒）.     ①           ② 声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点位于图④中波形曲线上.     ②          ④  （Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②） （Ⅱ）请你选择适当的函数模型来模仿图④中的波形曲线： ___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.
2019北京海淀高一（上）期末数学参考答案一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADBCDBAB二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）             （10）；           （11）（或或）（12）或        （13）；0     （14）或；②③注：两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出，或 ），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）.                                        ……………………2分（Ⅱ）由，得               ……………………4分， . 所以 函数的单调递增区间是：， .                   ……………………6分（Ⅲ）函数的简图如图所示.                      ……………………8分函数在区间上的取值范围是.                ……………………11分注：中每一个端点正确给1分，括号正确1分。 （16）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为 实数使得，所以 ，                  ……………………1分即.因为 ，所以 ，即.                                  ……………………3分       经检验，满足题意，所以 .（Ⅱ）函数在上单调递增，证明如下：              ……………………4分任取，，当时，.  所以 .                                ……………………6分所以                      ……………………7分，即.所以 函数在上单调递增.                          ……………………8分（Ⅲ）当时，；      当时，.                            ……………………10分注：直接答，给2分；若只有，给1分。                   （17）（本小题满分11分）（Ⅰ）因为 ，所以  .                                         ……………………1分因为 ，所以                                      ……………………3分 .                                         ……………………5分                           （Ⅱ）因为 ，所以 .                                             ……………………6分因为 ，所以 点共线.因为 ，所以 .以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为 ，，，所以 .所以 ，.                              ……………………7分因为 点在线段上，且，所以 .                                 ……………………8分所以 .                             ……………………9分因为 ，所以 .            ……………………11分     （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：    ……………………1分因为 对，，所以 .                                         ……………………2分所以 均有，       即不存在，，使得.所以 不是函数的ℱ区间.             ………………………3分（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知 存在，，使得.所以 .                                      ……………………4分因为 所以 ，即.                         ……………………5分又因为 且，所以 .                                  ……………………6分 （Ⅲ）因为 是函数的ℱ区间，所以 存在，，使得.所以                                       ……………………7分所以 存在，使得不妨设. 又因为 ，所以 .所以 .即在区间内存在两个不同的偶数.                    ……………………8分①当时，区间的长度，所以 区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.                                                       ……………………9分②当时，有，所以 .（i）当时，有即.所以 也符合题意.                              ……………………10分（ii）当时，有即.所以 符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.                  ……………………12分附加题（Ⅰ）②                                                ……………………2分（Ⅱ） （答案不唯一）                          ……………………5分注：对于其它正确解法，相应给分.