2021北京西城高一（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京西城高一（上）期末数学（教师版），共11页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2021北京西城高一（上）期末数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，0，2，，，，那么　　A．， B．， C．， D．，2．方程组的解集是　　A．， B．， C．， D．，3．函数的定义域是　　A． B． C．，， D．，，4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间，，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．则图中的值为　　A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.3005．若，则一定有　　A． B． C． D．6．在平行四边形中，设对角线与相交于点，则　　A． B． C． D．7．设，则，的大小关系一定是　　A． B． C． D．以上答案都不对8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了．如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是　　A． B． C． D．9．设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．设为定义在上的函数，函数是奇函数．对于下列四个结论：①（1）；②；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于点对称．其中，正确结论的个数为　　A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知向量，，那么　　．12．（5分）若方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是　　．13．（5分）设为上的奇函数，且在上单调递增，（2），则不等式的解集是　　．14．（5分）已知函数，那么（2）　　；当函数有且仅有三个零点时，实数的取值范围是　　．15．（5分）某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐．对于此促销活动，有以下三个说法：①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐；②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐；③如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数．（其中表示不大于的最大整数）则所有正确说法的序号是　　．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，，，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图．（Ⅰ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；（Ⅱ）现从体育成绩在，和，的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在，的概率．17．（15分）设函数．（Ⅰ）求函数的图象与直线交点的坐标；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）用单调性定义证明：函数在上单调递增．18．（14分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．（Ⅰ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小．（结论不要求证明）19．（15分）设函数．（Ⅰ）若（a），求实数的值；（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若对于，恒成立，求实数的最小值．20．（13分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以（单位：吨，表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润．（Ⅰ）将表示为的函数；（Ⅱ）求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围．21．（15分）设函数的定义域为．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质．记为满足性质厂的所有函数的集合．（Ⅰ）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）（Ⅱ）若函数，证明：；（Ⅲ）记二次函数的全体为集合，证明：．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：，0，2，，，，，．故选：．【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】解原方程组得出，的值，然后写出原方程组的解集即可．【解答】解：解得，或，原方程组的解集为：，．故选：．【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，，，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．4．【分析】由频率分布直方图的性质列出方程，能求出．【解答】解：由频率分布直方图得：，解得．故选：．【点评】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于，若，则，故错误；对于，若，则，故错误；对于，若，则，则，故错误；对于，若，则显然成立，故正确．故选：．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．6．【分析】利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在平行四边形中，设对角线与相交于点，则．故选：．【点评】本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】根据已知可分三种情况讨论，即，，，然后根据每种情况分析求出对应关系即可．【解答】解：当时，因为函数在上单调递增，所以，所以，所以，当时，，所以，当时，因为函数在上单调递增，所以，所以，所以，则，故选：．【点评】本题考查了指数函数的单调性以及指数不等式的求解，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8．【分析】根据题意，逐年列出生产总值能耗，即可得到答案．【解答】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗为，2017年该企业单位生产总值能耗为，该企业单位生产总值能耗为，该企业单位生产总值能耗为，该企业单位生产总值能耗为，由题设可得，故．故选：．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，涉及了根据实际问题选择函数类型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型，属于基础题．9．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“”，则平方得，即，即，，则，，即，，即，同向共线，则存在实数，使得，反之当，时，存在，满足，但“”不成立，即“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．10．【分析】由奇函数的定义分别判断①②③，用奇函数定义及图象平移即可断定④．【解答】解：对于①，函数是奇函数（1），所以①对；对于②，函数是奇函数，所以②对；对于③，函数的图象未必关于原点对称，如，满足条件，但不关于原点对称，所以③错；对于④，函数是奇函数，的图象关于点对称，将的图象向右平移1个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，所以④对；故选：．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称性，属基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】可求出向量的坐标，然后即可求出的值．【解答】解：，．故答案为：5．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．12．【分析】利用根的分布以及韦达定理列出关于的不等式组，求解即可得到答案．【解答】解：设方程有两个不相等的正实数根为，，则，，所以，解得，故实数的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题．13．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：为上的奇函数，且在上单调递增，（2），在上单调递增，，则对应图象如图：则的解集，，，故答案为：，，．【点评】本题主要考查不等式求解，结合函数奇偶性和单调性的关系，作出函数的简图，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．14．【分析】利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解的范围即可．【解答】解：函数，（2）；函数的图象如图：函数有且仅有三个零点时，，．故答案为：；，．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．15．【分析】①，计算购买10罐可乐时实际最多可以饮用的可乐罐数即可；②，由题意求出欲饮用100罐可乐时至少需要购买的可乐罐数即可；③，利用①②的结论验证购买罐可乐时，实际最多可饮用可乐的罐数即可．【解答】解：对于①，购买10罐可乐，实际最多可以饮用可乐罐数为，所以①错误；对于②，因为余1，余2，，；所以，即欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐，②正确；对于③，由①②，验证购买罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数，（其中表示不大于的最大整数）正确．总结规律可知：剩余的空罐数为1或2；购买奇数罐可乐剩余1个空罐，购买偶数罐可乐剩余2个空罐；每多购买2罐可乐，实际可多饮用1罐可乐；实际饮用可乐罐数比购买可乐罐数的1.5倍少0.5或1；所以购买罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数，（其中表示不大于的最大整数）．综上知，以上正确说法的序号是②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了逻辑推理应用问题，是中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）由折线图能求出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数．（Ⅱ）求出体育成绩在，和，的学生人数分别为2人和3人，从而求出基本事件总数和恰有1人体育成绩在，中包含的基本事件个数．由此能求出其中恰有1人体育成绩在，的概率．【解答】解：（Ⅰ）由折线图得：样本中该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为：（人．估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为人．（Ⅱ）体育成绩在，和，的学生人数分别为2人和3人，现从体育成绩在，和，的样本学生中随机抽取2人，基本事件总数，其中恰有1人体育成绩在，中包含的基本事件个数．其中恰有1人体育成绩在，的概率．【点评】本题考查频率、概率的求法，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（Ⅲ）根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】（Ⅰ）解：令，则由题意得：，解得：或，故函数的图象与直线交点的坐标是，；（Ⅱ）解：，当且仅当即时“”成立，故在上的最小值是7；（Ⅲ）证明：不妨设，则，，，，故，即，故函数在上单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．18．【分析】（Ⅰ）直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的结果可得，当，，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；（Ⅲ）直接计算方差，然后比较大小．【解答】解：（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得，解得；（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，的取值有：0，1，2，，9共有10种可能．由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，当，，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率（A）；（Ⅲ）当时，，，所以，，因为，所以甲组同学数学成绩的方差比乙组同学数学成绩的方差大．【点评】本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题．19．【分析】（Ⅰ）将代入解析式，解指数方程即可求出得值；（Ⅱ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算、得数量关系，结合定义可得结论；（Ⅲ）先求出在，上得最大值，再根据要使对于，恒成立，即，求出得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为（a），所以，所以且，所以，所以；（Ⅱ）为奇函数，证明如下：因为，所以定义域为关于原点对称，又因为，所以为奇函数；（Ⅲ）因为，又因为在，上单调递增，所以在，上单调递减，所以（1），又因为对于，恒成立，所以，即．所以得最小值为3．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）直接由题意分段写出，和，时的利润函数即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，利润为65000元，不少于57000元，当，时，求解不等式，即可得到的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当，时，，当，时，．；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，利润为65000元，不少于57000元，当，时，由，解得．故下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围为，．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查一次不等式的解法，正确理解题意是关键，是基础题．21．【分析】（Ⅰ）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合；（Ⅱ）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明；（Ⅲ）将问转化为证明二次函数不具备性质，利用反证法进行证明即可；【解答】（Ⅰ）解：函数不属于集合，属于集合；（Ⅱ）证明：因为，不妨令，所以，所以，关于的方程有解，，所以函数具有性质，则；（Ⅲ）证明：根据题意可知，等价于二次函数不具备性质，假设存在二次函数具备性质，所以存在常数对于任意都有成立，即成立，即成立，所以，解得，，，这与假设中的矛盾，所以假设不成立，故二次函数不具备性质，所以．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．