2022北京朝阳高一（上）期末数学（教师版）

2022北京朝阳高一（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合，3，5，，，3，5，7，，则　　

A．，3，5， B．，5， C．，2， D．，2，3，5，7，

2．（5分）下列函数在其定义域内是增函数的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，则的最小值为　　

A． B．2 C． D．4

4．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，，则下列不等式中恒成立的是　　

A． B． C． D．

7．（5分）“”是“关于的方程有实数根”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（5分）为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：

如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为　　

A．170立方米 B．200立方米 C．220立方米 D．236立方米

9．（5分）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若（1），则函数在区间内的零点个数至少为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（5分）数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则　　

A．2 B． C． D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11．（5分）函数的定义域为　　．

12．（5分）　　．

13．（5分）如图，若角的终边与单位圆交于点，则　　，　　．

14．（5分）已知定义在上的函数满足：①；②在区间，上单调递减；③的图象关于直线对称，则可以是 　　．

15．（5分）已知函数满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是 　　．

16．（5分）给出下列四个结论：

①函数是奇函数；

②将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象；

③若，是第一象限角且，则；

④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，则的最小值是4．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．（13分）已知全集，集合，集合．

（Ⅰ）求集合及；

（Ⅱ）若集合，，且，求实数的取值范围．

18．（14分）已知，为锐角，，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求和的值．

19．（14分）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求的单调递增区间．

条件①：；

条件②：的最小正周期为；

条件③：的图象经过点．

20．（15分）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若对任意，，存在，，使得，求的取值范围．

21．（14分）已知非空数集A＝{a1，a2，⋯，an}（n∈N*），设s（A）为集合A中所有元素之和，集合P（A）是由集合A的所有子集组成的集合．

（Ⅰ）若集合A＝{0，1}，写出s（A）和集合P（A）；

（Ⅱ）若集合A中的元素都是正整数，且对任意的正整数k＝1，2，3，⋯，s（A），都存在集合B∈P（A），使得s（B）＝k，则称集合A具有性质M．

（ⅰ）若集合A＝{1，2，4，8}，判断集合A是否具有性质M，并说明理由；

（ⅱ）若集合A具有性质M，且s（A）＝100，求n的最小值及此时A中元素的最大值的所有可能取值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：集合，3，5，，，3，5，7，，

，5，．

故选：．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是指数函数，在其定义域内是增函数，符合题意，

对于，，是对数函数，在其定义域内是减函数，不符合题意，

对于，，是反比例函数，在其定义域中不具有单调性，不符合题意，

对于，，是正切函数，在其定义域中不具有单调性，不符合题意，

故选：．

【点评】本题考查函数的单调性，注意常见函数的定义域，属于基础题．

3．【分析】利用基本不等式的性质即可求得答案．

【解答】解：由，，

当且仅当，即时，取得等号，

故的最小值为，

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题．

4．【分析】直接利用二倍角的余弦函数，转化求解即可．

【解答】解：，

则．

故选：．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，是基础题．

5．【分析】由已知结合指数函数与对数函数的单调性确定，，，的范围即可比较大小．

【解答】解：因为，，，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．

6．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．

【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误，

对于，令，，满足，但，故错误，

对于，令，，故错误，

对于，，，

由不等式的可加性可得，，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．

7．【分析】求出方程有实根的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：当时，方程等价为，得，满足方程有实数根，

当时，要使方程有实数根，则判别式△，得且，综上，

则是关于的方程有实数根的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次方程有根的条件求出的取值范围是解决本题的关键，是基础题．

8．【分析】先求出该户家庭用水量为260立方米应缴纳的水费，则即可判断所求的用水量在什么范围，进而可以建立方程求解．

【解答】解：若该户家庭全年用水量为，

则应缴纳元元，

所以该户家庭的全年用水量少于260立方米，

设用水量为立方米，

则应缴纳，解得立方米，

故选：．

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的理解能力与运算求解能力，属于基础题．

9．【分析】利用函数的奇偶性，结合函数的零点，判断函数零点个数即可．

【解答】解：奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若（1），可知，

（2）（1），所以（1）（2），所以函数在之间至少一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少一个零点，

所以函数在区间内的零点个数至少为3个．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的零点个数的判断，是基础题．

10．【分析】根据诱导公式，正弦的倍角公式以及正余弦的同角关系化简即可求解．

【解答】解：由已知可得，

则，

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11．【分析】函数的定义域为：，由此能求出结果．

【解答】解：函数的定义域为：

，

解得，

故答案为：．

【点评】本题考查对数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

12．【分析】由已知结合对数的运算性质可求．

【解答】解：．

故答案为：7．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．

13．【分析】根据正切函数的定义即可得解．

【解答】解：由角的终边与单位圆交于点知，

当点在第一象限时，，；

当点在第四象限时，，；

故答案为：；或；．

【点评】本题考查三角函数的定义，理解正切函数的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．

14．【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，要求函数的图象关于直线对称，且在区间，上单调递减，

可以考虑为开口向下二次函数，

又由，即函数图象经过原点，故可以是（答案不唯一）；

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查函数的单调性和对称性，注意二次函数的性质，属于基础题．

15．【分析】利用求解分段函数单调性的方法举例不等式关系，由此即可求解．

【解答】解：由已知可得函数在上为单调递增函数，

则需满足，解得，

所以实数的取值范围为，，

故答案为：，．

【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

16．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，象限角，正弦型函数的性质的应用判断①②③④的结论．

【解答】解：对于①函数，故函数是奇函数，故①正确；

②将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，故②正确；

③若，是第一象限角且满足，则错误，故③错误；

④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，

所以，解得，，当时，所以，即，则的最小值是4，故④正确．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，象限角，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．【分析】（Ⅰ）求出集合，进而求出，再求出集合，由此能求出，．

（Ⅱ）由，且，得，由此能求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由得，

所以，，，

由，，所以，．

所以，．

（Ⅱ）因为，且，

所以，解得．

所以的取值范围是，．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．【分析】由同角正余弦的平方和为1可得，再利用两角和的正弦公式可求；

由同角正余弦的平方和为1可得，再利用可求得结果．

【解答】解：（Ⅰ）因为为锐角，且，

所以．

所以

（Ⅱ）因为，为锐角，所以．

所以．

所以．

【点评】本题考查了三角函数的定义以及求解三角函数值，考查了学生的运算能力，属于基础题．

19．【分析】，分别就选择①②：选择②③：选择①③：三种情况进行计算即可．

【解答】解：，

选择①②：

（Ⅰ）因为，所以，

又因为的最小正周期为，所以，

所以．

（Ⅱ）依题意，令，，

解得，

所以的单调递增区间为，

选择②③：

（Ⅰ）因为的最小正周期为，所以，

所以，

又因为，所以，

所以．

（Ⅱ）同上．

选择①③：

（Ⅰ）因为，所以，

所以，

又因为，所以，

所以，．又因为，所以，

所以．

（Ⅱ）同上．

【点评】本题考查三角函数的恒等变换及图象性质，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）当时，化简不等式，然后求解即可．

（Ⅱ）由，得到不等式的解集是．利用判别式转化求解即可．

（Ⅲ）．通过的取值，转化求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）当时，由得，

即，解得或．

所以不等式的解集为或．（5分）

（Ⅱ）由得，

即不等式的解集是．

所以，解得．

所以的取值范围是．（10分）

（Ⅲ）当，时，，．

又．

①当，即时，

对任意，，，，．

所以此时不等式组无解．

②当，即时，

对任意，，．

所以解得．

③当，即时，

对任意，，．

所以此时不等式组无解．

④当，即时，

对任意，，，，．

所以此时不等式组无解．

综上，实数的取值范围是．（15分）

【点评】本题考查函数恒成立条件的转化，考查分类讨论思想的应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据已知对应即可求解；（Ⅱ）（i）分析出k＝1到k＝15的所有值即可；（ii）设集合A＝{a1，a2，⋯，an}，不妨设a1＜a2＜⋯＜an，然后根据已知新定义逐个分析即可．

【解答】解：（Ⅰ）s（A）＝0+1＝1，P（A）＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，

（Ⅱ）（ⅰ）集合A具有性质M，理由如下：

因为A＝{1，2，4，8}，所以s（A）＝1+2+4+8＝15，

当k＝1时，取集合B＝{1}，则s（B）＝k；

当k＝2时，取集合B＝{2}，则s（B）＝k；

当k＝3时，取集合B＝{1，2}，则s（B）＝k；

当k＝4时，取集合B＝{4}，则s（B）＝k；

当k＝5时，取集合B＝{1，4}，则s（B）＝k；

当k＝6时，取集合B＝{2，4}，则s（B）＝k；

当k＝7时，取集合B＝{1，2，4}，则s（B）＝k；

当k＝8时，取集合B＝{8}，则s（B）＝k；

当k＝9时，取集合B＝{1，8}，则s（B）＝k；

当k＝10时，取集合B＝{2，8}，则s（B）＝k；

当k＝11时，取集合B＝{1，2，8}，则s（B）＝k；

当k＝12时，取集合B＝{4，8}，则s（B）＝k；

当k＝13时，取集合B＝{1，4，8}，则s（B）＝k；

当k＝14时，取集合B＝{2，4，8}，则s（B）＝k；

当k＝15时，取集合B＝{1，2，4，8}，则s（B）＝k，

综上可得，集合A具有性质M；

（ⅱ）设集合A＝{a1，a2，⋯，an}，不妨设a1＜a2＜⋯＜an，

因为ai（i＝1，2，3，⋯，n）为正整数，所以a1≥1，a2≥2，

因为存在B使得s（B）＝1，

所以此时B中不能包含元素a2，a3，⋯，an且B≠∅，

所以B＝{a1}．所以a1＝1，

因为存在B使得s（B）＝2，

所以此时B中不能包含元素a1及a3，a4，⋯，an且B≠∅，

所以B＝{a2}．所以a2＝2，

若a3≥5，则a4≥5，⋯，an≥5，而a1+a2＝3，

所以不存在B∈P（A），使得s（B）＝4，

所以a3≤4，

若a4≥9，则a5≥9，⋯，an≥9，而a1+a2+a3≤7，

所以不存在B∈P（A），使得s（B）＝8，

所以a4≤8，

同理可知a5≤16，a6≤32，a7≤64，

若n≤6，则s（A）≤1+2+4+8+16+32＝63，

所以n≥7，

当n＝7时，若a7≥a1+a2+⋯+a6+2，

则取k＝a1+a2+⋯+a6+1，可知不存在B∈P（A），使得s（B）＝k，

所以a7≤a1+a2+⋯+a6+1＝100﹣a7+1，

解得a7≤50，

又因为100﹣a7＝a1+a2+⋯+a6≤63，所以a7≥37，

经检验，当k＝0，1，2，⋯，13时，集合{1，2，4，8，16，19+k，50﹣k}符合题意，

所以n的最小值为7，

且集合A中元素的最大值的所有可能取值是37，38，⋯，50．

【点评】本题考查了元素与集合的关系，涉及到新定义的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．