2022北京西城高一（上）期末数学（教师版）

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2022北京西城高一（上）期末数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合，，那么　　A． B． C． D．2．（4分）方程组的解集是　　A．， B．， C．， D．3．（4分）函数的定义域是　　A．， B．， C．，， D．，，4．（4分）为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在，内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为　　A．0.38 B．0.61 C．0.122 D．0.755．（4分）若，，则一定有　　A． B． C． D．以上答案都不对6．（4分）已知向量，，那么　　A．5 B． C．8 D．7．（4分）若，则　　A． B． C． D．8．（4分）设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）设为上的奇函数，且在上单调递增，（1），则不等式的解集是　　A． B． C． D．，，10．（4分）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一点（含端点，，若，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）命题“，”的否定是 　　．12．（5分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲、乙的平均成绩分别为，，则，的大小关系是 　　．13．（5分）若不等式的解集为，则　　，　　．14．（5分）如图，在正六边形中，记向量，，则向量　　．（用，表示）15．（5分）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“单调增函数”．对于“单调增函数”，有以下四个结论：①“单调增函数” 一定在上单调递增；②“单调增函数” 一定是“单调增函数”（其中，且③函数是“单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）；④函数不是“单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是 　　．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的．（Ⅰ）求丙答题正确的概率；（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．17．（15分）设，其中．（Ⅰ）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；（Ⅱ）若函数有两个不相等的正数零点，求的取值范围；（Ⅲ）若函数在上不具有单调性，求的取值范围．18．（14分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲6699乙79（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求的最小值；（Ⅱ）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）19．（15分）已知函数．（Ⅰ）若（a），求的值；（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若对于，恒成立，求实数的范围．20．（13分）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用（单位：万元）与使用时间，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．（Ⅰ）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？（Ⅱ）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？21．（15分）设是实数集的非空子集，称集合，，且为集合的生成集．（Ⅰ）当，3，时，写出集合的生成集；（Ⅱ）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；（Ⅲ）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】先求出集合，再利用并集定义能求出．【解答】解：集合，，．故选：．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】利用代入法可求得方程组的解集．【解答】解：由，得，代入，得，解得，故时，，时，，故方程组的解集是，，故选：．【点评】本题主要考查了一元二次方程组的解法，集合的表示方法，属于基础题．3．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．函数的定义域是，．故选：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4．【分析】根据已知条件，直接读取频率分布直方图，即可求解．【解答】解：质量指标值在，内的产品为一等品，该企业生产的产品为一等品的概率约为．故选：．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．5．【分析】根据已知条件，结合特殊值法，即可求解．【解答】解：对于，令，，，，满足，，但，故错误，对于，令，，，，满足，，但，故错误，对于，令，，，，满足，，但，故错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．6．【分析】通过向量的坐标运算以及向量的模的求法，求解即可．【解答】解：向量，，那么，．故选：．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基础题．7．【分析】由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质可求．【解答】解：由题意得，，所以，故选：．【点评】本题主要考查了指数与对数的相互转化及对数的运算性质，属于基础题．8．【分析】直接利用向量的共线和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：设，为平面向量，则当时，向量，共线，当向量，，共线，则不存在实数使，故“存在实数，使得”是“向量，共线”的充分不必要条件；故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量共线，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：为上的奇函数，且在上单调递增，（1），在上单调递增且，则的图象如图：则的解为或，由或，得或，即的解集，，，故选：．【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系作出函数的图象是解决本题的关键，是中档题．10．【分析】设，，，由平面向量的线性运算法则可得，进而得，再结合配方法和二次函数的性质，得解．【解答】解：由题意知，为等腰直角三角形，其中，设，，，则，所以，在，上单调递减，故当时，取得最大值，为10，当时，取得最小值，为2，所以的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，．故答案为：，．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．12．【分析】根据已知条件，结合平均数公式，分别求出，，再通过比较大小，即可求解．【解答】解：由表格数据可得，，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，考查计算能力，属于基础题．13．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出和的值．【解答】解：因为不等式的解集为，所以和2是方程的实数解，由根与系数的关系，知，解得，．故答案为：；1．【点评】本题考查了一元二次不等式与方程的应用问题，是基础题．14．【分析】利用正六边形的性质以及三角形法则化简即可求解．【解答】解：在正六边形中，，且，则，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三角形法则以及正六边形的性质，属于基础题．15．【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明．【解答】解：①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；④当时，，若，则，显然不满足，故函数不是“单调增函数”，④正确．故答案为：②③④．【点评】本是属于新概念题，考查了推理能力，充分理解和运用定义是解答本题的关键，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）设丙答题正确的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式 列方程，能求出丙答题正确的概率；（Ⅱ）由相互独立事件概率乘法公式能求出甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，，，设丙答对题的概率为，乙答对题的概率为（B），每人回答问题正确与否相互独立，事件，，是相互独立事件，根据相互独立事件概率乘法公式得（B）（C），解得，丙答题正确的概率为；（Ⅱ）甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为：（B）．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【分析】当时，，联立方程，求解坐标，即可求解．由已知条件可得，，解出的取值范围，即可求解．根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：当时，，联立方程，解得或，故焦点坐标为和．函数有两个不相等的正数零点，设方程有两个不等的正实根，，即，解得，故的取值范围为，．函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上不具有单调性，，解得，故的取值范围为．【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）由题意得，，由此能求出的最小值；（Ⅱ）由，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，利用列举法能求出的概率；（Ⅲ）由题设条件能求出的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，整理得，根据题意得，，乙的平均得分高于甲的平均得分时，的最小值为5；（Ⅱ）设，，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，设事件表示“”，记甲的4局比赛为，，，，各局得分为6，6，9，9，乙的4局比赛为，，，，各局得分为7，9，6，10，从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有的可能的结果有16种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，事件包含的基本事件有8种，分别为：，，，，，，，，的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，的所有可能取值为6，7，8．【点评】本题考查平均数、概率的运算，考查平均数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程直接进行求解即可，（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明即可，（Ⅲ）利用参数分离法转化求最值问题进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）若（a），得，即，得，得；（Ⅱ）由，得或，定义域关于原点对称，则，即，则是奇函数．（Ⅲ），设，则为增函数，在，为增函数，在，为增函数，要使对于，恒成立，则使，（3），，则求实数的范围是，．【点评】本题主要考查函数奇偶性的的判断以及函数最值的求解，利用奇函数的定义以及参数分离法转化为求最值是解决本题的关键，是中档题．20．【分析】由题意可得，渔船捕捞的利润，即可求解．据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：由题意可得，渔船捕捞的利润，解得，，且，该渔船捕捞3年开始盈利．由题意可得，平均盈利额，当且仅当，即时，等号成立，故在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．21．【分析】（Ⅰ）利用集合的生成集定义直接求解．（Ⅱ）设，，，，，且，利用生成集的定义即可求解；（Ⅲ）不存在，理由用反证法说明．【解答】解：（Ⅰ），3，，，10，，（Ⅱ）设，，，，，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于7个，又，，，，，，，，，，，，此时中元素个数大于等于7个，所以生成集中元素个数的最小值为7．（Ⅲ）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，，不妨设，则集合的生成集，，，，，，则必有，，其4个正实数的乘积；也有，，其4个正实数的乘积，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题．