2023北京朝阳高一（上）期末数学（教师版）

2023北京朝阳高一（上）期末

数    学

2023.1

（考试时间120分钟   满分150分）

本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题  共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 若，则下列各式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若角满足，则角是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

3. 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设集合，集合，则A与B的关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 声强级（单位：）出公式给出，其中I为声强（单位：）．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数，有如下四个结论：

①函数在其定义域内单调递减；

②函数值域为；

③函数的图象是中心对称图形；

④方程有且只有一个实根．

其中所有正确结论序号是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④

8. 已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（    ）

A. 2千克/小时 B. 3千克/小时

C. 4千克/小时 D. 6千克/小时

10. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

第二部分（非选择题  共100分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11. 已知集合，集合，则____________．

12. 已知角，若，则__________；__________．

13. 设且，，则的最小值为__________.

14. 设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________．

15. 已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则______________．

16. 已知函数，给出以下四个结论：

①存在实数a，函数无最小值；

②对任意实数a，函数都有零点；

③当时，函数上单调递增；

④对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．

其中所有正确结论的序号是________________．

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．

（1）求和的值；

（2）求的值．

18. 已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若命题“，不等式恒成立”是假命题，求实数的取值范围．

19. 已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

（1）求a的值；

（2）求最小值，以及取得最小值时x的值．

条件①：的最大值为6；

条件②：的零点为．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

20. 已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若函数是偶函数，求m的值；

（3）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数b的取值范围．

21. 设全集，集合A是U真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：

①；

②，若，则；

③，若，则．

（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；

（2）当时，若A为U的子集，求证：；

（3）当时，若A为U的子集，求集合A．

参考答案

第一部分（选择题  共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 【答案】C

【解析】

【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.

【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.

B选项，若，则，所以B选项错误.

C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.

故选：C

2. 【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数四个象限符号确定.

【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角；

又为第二，四象限角

所以为第二象限角.

故选：B

3. 【答案】B

【解析】

【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.

【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；

对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；

对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；

对于D，的值域为，故D不正确.

故选：B.

4. 【答案】A

【解析】

【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.

【详解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；

由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；

所以

故选：A

5. 【答案】C

【解析】

【分析】根据对数运算求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：C

6. 【答案】A

【解析】

【分析】

通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.

【详解】当，时，，

则当时，有，解得，充分性成立；

当，时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.

【详解】的定义域为，，

所以在上递增，①错误.

由于， ，

所以的值域为.

由于，

所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.

由得

构造函数，在上单调递增，

，

所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确.

所以正确结论的序号是③④.

故选：D

8. 【答案】A

【解析】

【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.

【详解】由于角为第一象限角，

所以，

所以，

由于，所以，

所以.

故选：A

9. 【答案】C

【解析】

【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可.

【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，，

令，，则，故当时，最大，此时.

故选：C

10. 【答案】A

【解析】

【分析】由得，则的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.

【详解】由得，∴的周期为2，

又为偶函数，则，，

∵，在上单调递增，∴.

故选：A

第二部分（非选择题  共100分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据并集的定义运算即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：

12. 【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】由条件结合诱导公式求，根据特殊角三角函数值求出， 即可.

【详解】因为，所以，故，又，所以，

所以，

故答案为：，.

13. 【答案】2

【解析】

【分析】对利用对数运算公式，得到，再由基本不等式以及条件中的，得到答案.

【详解】因为且，

所以且

而，且

所以由基本不等式可得

，

当且仅当，即时，等号成立.

【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.

14. 【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.

【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为，

所以符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

15. 【答案】

【解析】

【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式.

【详解】由已知， ，

观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，

若，则与函数图象矛盾，

所以，

故答案为：.

16. 【答案】①②④

【解析】

【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①，当时，，

的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.

②，由于，

当时，；当时，，

所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.

③当时，，

，即函数在上不是单调递增函数，③错误.

④，当时，，

当时，，

画出的图象如下图所示，

由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确.

综上所述，正确结论的序号是①②④.

故答案为：①②④

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正弦公式即可求得；

（2）先根据二倍角的余弦公式求出，再根据商数关系求出，再根据两角和的正切公式即可得解.

【小问1详解】

解：由题意得，

所以；

【小问2详解】

解：，

所以，

所以.

18. 【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围.

【小问1详解】

当时，，即，

，解得

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

当恒成立，

当不为0时，且，

即，

当时,成立，所以

命题“，不等式恒成立”是假命题

所以a的取值范围为：或．

19. 【答案】（1）若选条件①，则；若选条件②，则   

（2）若选条件①，则当时，取得最小值；若选条件②，则当时，取得最小值

【解析】

【分析】（1）化简的解析式，根据条件①或②求得的值.

（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.

【小问1详解】

.

若选条件①，

则.

若选条件②，

则.

小问2详解】

若选条件①，由（1）得，

则当时，取得最小值为.

若选条件②，由（1）得，

则当时，取得最小值为.

20. 【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）即，结合对数、指数函数单调性求解即可；

（2）是偶函数，则，结合对数运算法则化简求值即可

（3）由对数运算得在上单调递增，且值域为，即可由数形结合判断b的取值范围.

【小问1详解】

当时，即，即，解得；

【小问2详解】

函数是偶函数，则，即，即，即，

∵，故；

【小问3详解】

当时，，.

∵为减函数，故在上单调递增，且值域为

∵函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为.

21. 【答案】（1）不是U的子集；   

（2）证明见解析；    （3）集合

【解析】

【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；

（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；

（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.

【小问1详解】

当时，，，，

取，则，但，不满足性质②，

所以不是U的子集.

【小问2详解】

当时，A为U的子集，

则；

假设，设，即

取，则，但，不满足性质②，

所以，；

假设，

取，，且，则，

再取，，则，

再取，，且，

但与性质①矛盾，

所以.

【小问3详解】

由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，

所以当时，，

若A为U的子集，，，；

若，取，，则，，

再取，，则，与矛盾，

则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

取，，则，；

取，，则；

取，，则，；

取，，则；

取，，则，；

综上所述，集合.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.