2023北京怀柔高一（上）期末数学（教师版）

2023北京怀柔高一（上）期末

数    学

2023.1

注意事项：

1．本试卷分第一部分选择题和第二部分非选择题两部分，共四页，满分150分，考试时间120分钟．

2．试题所有答案必须书写在答题卡的对应位置．在试卷上作答无效．

3．考试结束后，考生应及时上传答案．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若命题P：“，”，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 下列函数既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，则的值是（    ）

A. 2 B.  C.  D.

7. 某直播间从参与购物的人群中随机选出 200 人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在的人数及直方图中值是（    ）

A. , B. , C. , D. ,

8. 已知，：方程有实数解，：，则是的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件

9. 溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算这种苏打水的值．（精确到 0.001）（参考数据：）（    ）

A. 8.699 B. 8.301 C. 7.699 D. 6.602

10. 已知是偶函数，函数对任意，且，都有成立，且，则的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分．

11. 函数的定义域为_________.

12. 某学校高一有280名学生，高二有200名学生，高三有120名学生，用分层抽样的方法从中抽取60名学生对课后辅导的满意度进行调查，则从高一学生中应抽取______人．

13. 已知，则的最小值为___________.

14. 已知函数，则下列命题正确的有______．（写出所有正确命题的编号）

①对于任意，，都有成立；

②对于任意，，且，都有成立

③对于任意，，且，都有成立；

④存在实数，使得对于任意实数，都有成立．

15. 已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．

三、解答题：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知集合，．

（1）当时，求，，；

（2）若，求实数的取值范围．

17. 为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．

（1）求甲乙两队都答对此题的概率；

（2）求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．

18. 已知函数

（1）若不等式的解集为，求的最小值；

（2）若且，求方程两实根之差绝对值．

19. 已知函数，，若

（1）求值；

（2）判断函数的奇偶性，并用定义给出证明；

（3）用定义证明在区间上单调递增．

20. 为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．

（1）若，分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，，分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则______，______．（填“>”或“<”）

（2）若成绩在85分（含85分）以上优秀，

（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；

（ⅱ）从甲、乙两班所抽取成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．

21. 已知函数是定义域为的奇函数，且

（1）求实数和的值；并判断在上单调性；（不用写出单调性证明过程）

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）对于任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．

参考答案

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 【答案】C

【解析】

【分析】题中阴影部分表示的集合为，求解即可.

【详解】因为集合，集合，

而题中阴影部分表示的集合为，

则.

故选：C.

2. 【答案】D

【解析】

【分析】利用存在量词命题的否定，直接写出作答.

【详解】命题P：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以为：，.

故选：D

3. 【答案】C

【解析】

【分析】利用奇函数的定义、由解析式直接判断单调性，逐项分析判断作答.

【详解】对于A，函数定义域为R，且在R上单调递减，A不是；

对于B，函数定义域为，定义域关于数0不对称，即不是奇函数，B不是；

对于C，函数定义域为R，且，即函数是奇函数，

而函数在R上单调递增，因此C是；

对于D，函数定义域为R，而，即函数不是奇函数，D不是.

故选：C

4. 【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用不等式的性质判断B作答.

【详解】，，，且，

取，则有，，选项A，C都不正确；

由不等式性质知，不等式一定成立，B正确；

取，则，D不正确.

故选：B

5. 【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质，再结合“媒介”数比较大小作答.

【详解】，，即，，

因此，即D正确.

故选：D

6. 【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质结合对数运算作答.

【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且当时，，

所以.

故选：A

7. 【答案】C

【解析】

【分析】求出频率直方图中年龄在的频率,根据频率即可求出人数,根据频率分布直方图中,小矩形面积和为1,列出等式解出即可.

【详解】解:由图知,年龄在的小矩形的面积为:

,

即年龄在的频率为,

所以年龄在的人数,

由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得:

,

解得:.

故选:C

8. 【答案】B

【解析】

【分析】求出命题p为真的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为方程有实数解，则有，解得或，因此p：或，

显然，即有命题q成立，命题p必成立，而命题p成立，命题q未必成立，

所以是的必要而不充分条件.

故选：B

9. 【答案】B

【解析】

【分析】直接利用所给公式计算求解即可．

【详解】由题意得苏打水的为

．

故选：B

10. 【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，

在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.

【详解】因为是偶函数，即的图象关于对称.

所以的图象关于对称.

因为函数对任意，且，都有成立，

所以在上为增函数.

又因为的图象关于对称，，

所以在为减函数，且.

用折线图表示函数的单调性，如图所示：

由图知：.

故选：D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分．

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．

详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，

x﹣1＞0，

解得x＞1；

∴f（x）的定义域为（1，+∞）．

故答案（1，+∞）．

【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．

12. 【答案】28

【解析】

【分析】由分层抽样的定义计算即可.

【详解】由分层抽样的定义，高一学生中应抽取人数为.

故答案为：28

13. 【答案】

【解析】

【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14. 【答案】②③

【解析】

【分析】利用指数的运算性质，容易判断①不正确，结合指数函数的图像和性质，可判断②正确，④错误，利用基本不等式易证③成立.

【详解】，①不正确.

单调递增，②正确.

，，所以③正确.

若对于任意实数，都有成立，则关于对称，显然④不正确.

故答案为：②③

15. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据得此时，根据解析式先求得值，再求解的值即可；函数有三个零点，即有三个根，结合函数解析式初步判断可得，画出函数图象，结合图象分析列不等式即可得实数的取值范围.

【详解】解：当时，，所以，则；

若函数有三个零点，即有三个根，又，

则在上有两个根，所以，在上有一个根，如下图得此时的大致图象：

则根据有三个根可得：，解得，则实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】关键点睛：本题考查分段函数求值与分段函数零点问题，属于压轴题.解决本题中零点问题的关键是分析分段函数两段函数性质，由于，是一次函数与二次函数分段问题，要求有三个根，结合二次函数在上的性质可初步判断，避免对进行符号讨论，即可得出分段函数的大致图象，结合图象列不等式可求得参数范围.

三、解答题：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 【答案】（1），，；   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简集合A，把代入，再利用补集、交集、并集的定义求解作答.

（2）利用（1）中信息，结合给定的交集结果，列式求解作答.

【小问1详解】

解一元二次不等式得：，即，

当时，，

所以，，.

【小问2详解】

由得：，由得：，而，于是得，

所以实数的取值范围.

17. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设甲、乙队答对此题分别为事件，则，结合相互独立事件同时发生概率公式，即可求甲乙两队都答对此题的概率；

（2）依据题意，结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率．

【小问1详解】

解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，

记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，

所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；

【小问2详解】

解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，

故.

故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.

18. 【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定一元二次不等式解集，求出函数的解析式，再求出二次函数最小值作答.

（2）根据给定条件，求出函数的解析式，再求出方程的二根即可作答.

【小问1详解】

不等式，即的解集为，

于是得是方程的二根，即有，且，解得，

因此，当且仅当时，，

所以函数的最小值是.

【小问2详解】

因且，则有，

解得，

因此，方程，即的二根为，

所以程两实根之差的绝对值为.

19. 【答案】（1）；   

（2）奇函数，理由见解析；   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）将给定自变量及对应函数值代入计算即可.

（2）利用奇偶函数的定义直接判断作答.

（3）利用函数单调性定义，按步骤推理作答.

【小问1详解】

函数中，因为，则有，解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，函数是奇函数，

函数定义域为，，

所以函数是奇函数.

【小问3详解】

，且，，

因为，则，即有，因此，

所以在区间上单调递增.

20. 【答案】（1）<，>；   

（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

【分析】（1）利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.

（2）（ⅰ）（ⅱ）利用列举法，结合古典概率求解作答.

【小问1详解】

由茎叶图知，，，

所以<；

，

，

所以>.

【小问2详解】

（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为，把他们记为，

从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：

，共10个，

恰有1人成绩优秀的事件有：，共6个，

所以恰有1人成绩优秀的概率.

（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为，

从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：

，共8个，

甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件有：

，共5个，

所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率.

21. 【答案】（1），在上单调递增   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数和即可求出和的值，有定义法即可得出在上单调性.

（2）根据奇函数和单调递增求出，分类讨论前的系数是否为0，即可求出实数的取值范围

（3）根据函数的单调递增，得出等价条件，分类讨论的单调性即可求出实数的取值范围.

【小问1详解】

由题意

在中，函数是定义域为的奇函数，

∴解得，此时满足题意，

∴

设,

在中，函数单调递增，

∴

∴

∴在上单调递增

【小问2详解】

由题意及（1）得

在中，函数是奇函数，

恒成立

∴恒成立

∵函数单调递增

∴即恒成立

当即时，

，解得：，

不恒成立，舍去.

当即时，恒成立

在中，若则需开口向上，

∴

解得

综上，实数的取值范围为

【小问3详解】

由题意及（1）（2）得

在中，函数单调递增

对于任意的，存在，使成立，

∴函数在单调递增

∴

则存在，使成立，

当时，在定义域内单调递减，

∴

满足题意

当时，在定义域内单调递增

且

解得：

综上，实数的取值范围为.

【点睛】本题考查待定系数法求参数，定义法证单调性，考查分类讨论的思想，具有很强的综合性.