2023北京十二中高一（上）期末数学（教师版）

2023北京十二中高一（上）期末

数    学

第一部分  选择题（共60分）

一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

3. 已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数的零点所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. “”是“”成立的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 若对任意的都有，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 函数在区间上的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 设是定义域为偶函数，且在上单调递增，设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 下列结论中错误的是（    ）

A. 终边经过点的角的集合是

B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；

C. ，，则；

D. 若是第三象限角，则是第二象限角．

11. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：，）（    ）

A 3 B. 4 C. 5 D. 7

12. 定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意，有，，则方程实数根的个数为（    ）

A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027

第二部分  非选择题（共90分）

二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．

13. ______．

14. 函数的定义域是__________．

15. 已知函数可用列表法表示如下，则的值是______．

16. 已知，，，为锐角，则的值是______．

17. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数，，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的可能取值是______．（写出一个满足条件的值即可）

18. 已知函数（其中，），，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：

①是偶函数；②；③是奇数；④的最大值为3．

其中正确的命题有______．

三、解答题．本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

19 已知角终边上一点．

（1）求和的值；

（2）求的值．

20. 已知函数，且.

（Ⅰ）若，求a的值.

（Ⅱ）若在上的最大值与最小值的差为1，求a的值.

21. 已知函数

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）求在区间上的最值．

22. 已知函数为奇函数．

（1）求的值；

（2）判断单调性，并用函数单调性的定义证明；

（3）对于任意，恒成立，求的取值范围．

23. 已知函数的定义域为，且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质．

（1）已知函数，判断否具有性质，并说明理由；

（2）求证：任取，函数，具有性质；

（3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围．

参考答案

第一部分  选择题（共60分）

一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合，再根据集合间的运算关系即可求解.

【详解】，，，.

故选：B

2. 【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B，利用作差法判断D.

【详解】对于A：当时，，故A错误；

对于B：若，，则，故B正确；

对于C：当时满足，但，故C错误；

对于D：若，，则，．所以，所以，故D错误．

故选：B．

3. 【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.

【详解】解：设扇形的半径为，

因为弧长为的扇形圆心角为，

所以，所以，

所以此扇形面积为.

故选：C.

4. 【答案】C

【解析】

【分析】由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可求解.

【详解】函数，可得函数在上单调递增，

因为，，，，，所以，

所以函数的零点所在区间为.

故选：C.

5. 【答案】B

【解析】

【分析】

由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.

【详解】当时，一定有，即必要性满足；

当时，其正切值不存在，所以不满足充分性；

所以“”是“”成立的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.

6. 【答案】A

【解析】

分析】

利用基本不等式，可求得最小值，即可求得答案.

【详解】因为，则，

当且仅当，即x=1时等号成立，

所以，

故选：A

7. 【答案】A

【解析】

【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.

【详解】∵，即，

∴为偶函数；

又∵当时，则，故，

∴；

综上所述：A正确，B、C、D错误.

故选：A.

8. 【答案】C

【解析】

【分析】对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.

【详解】函数的定义域为等价于恒成立，

当时，显然不恒成立；

当时，由，得，

综上，实数的取值范围为．

故选：C．

9. 【答案】C

【解析】

【分析】先根据指对数判断的大小关系，在根据单调性结合偶函数的性质分析判断.

【详解】∵，，∴.

又函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，

∴，且在上单调递减.

又，∴.

故选：C.

10. 【答案】D

【解析】

【分析】根据终边相同的角的集合的概念以及特征可判断AC；定义根据角的概念可判断B；由象限角的概念可判断D.

【详解】终边经过点，则该终边为第一象限角平分线，

即角的集合是，故A正确；

将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故B正确；

表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，

表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，故C正确；

由于为第三象限角，所以，

故，所以是第二或第四象限角，故D错误；

故选：D.

11. 【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知经过小时后，体内的酒精含量为，令求出t的取值范围，即可求出结果．

【详解】解：经过t小时后，体内的酒精含量为：，

只需，

∴t＞＝＝≈＝3.8，

∴他至少要经过4个小时后才能驾车.

故选：B．

12. 【答案】B

【解析】

【分析】由于题意可得函数以4为周期，分，，三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．

【详解】对任意有，得，则函数以4为周期，

由于函数的图象关于直线对称，则，又，

所以，则函数的图象关于对称．

当时，，由得，则，

作出与的大致图象如图，

令，则，而，

由图可知，与在上有个交点；

当时，，由得：，

令，，得，

由上述可知，与在上有个交点，

故与在上有个交点，

又时，成立，

所以方程实数根的个数为．

故选：B．

第二部分  非选择题（共90分）

二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．

13. 【答案】3

【解析】

【分析】利用指数幂和对数的运算性质求解即可．

【详解】．

故答案为：3．

14. 【答案】

【解析】

【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.

【详解】因为函数,

所以解得且，即函数的定义域为.

故答案为：.

15. 【答案】3

【解析】

【分析】根据表格由内向外求解即可．

【详解】根据表格可知，

∴．

故答案为：3．

16. 【答案】

【解析】

【分析】利用平方关系求出及，又，利用两角差的正弦公式即可求解.

【详解】因为均为锐角，所以，

又，，

所以，，

所以.

故答案为：.

17. 【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围，即可写出答案．

【详解】当时，单调递增，

由题意，不妨设，则，

由，得，

因为，所以，所以，

所以，所以常数的取值可以是：1．

故答案为：1（答案不唯一）．

18. 【答案】②③④

【解析】

【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故③④正确，求得的解析式即可判断①，由函数的对称性可判断②.

【详解】设的周期为，

∵，，∴，， 故，则，，

由，则，故，，，

当时，，，

∵在区间上单调，∴，故，即，

则，故，即，又，，所以或，故③④正确；

当时，，，又，则，此时不是偶函数；当时，，，又，则，此时不是偶函数，故①错误；

由题可知是函数的一条对称轴，故成立，故②正确.

故答案为：②③④.

三、解答题．本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

19. 【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义即可求出的值；

（2）由诱导公式化简后求解.

小问1详解】

由题意可得，

.

【小问2详解】

.

20. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）或

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据题意，代入数据，化简计算，即可得答案.

（Ⅱ）若，则为单调递增函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值；若，则为单调递减函数，根据x的范围，可得的最大值和最小值，结合题意，列出方程，化简计算，即可求得a值，综合即可得答案.

【详解】（Ⅰ）因为，所以

所以，即，

解得或（舍）；

（Ⅱ）若，则上 为单调递增函数，

所以的最大值为，最小值为，

根据题意可得，

所以，所以，即，

解得或（舍）；

若，则上 为单调递减函数，

所以的最大值为，最小值为，

根据题意可得，

所以，所以，即，

解得或（舍）

综上，a的值为或.

21. 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为，   

（2）最大值3；最小值2

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得最小正周期，由三角函数的性质求出函数的单调递减区间；

（2）求出的范围，然后结合三角函数的性质即可求得最值．

【小问1详解】

．

的最小正周期，

令，，解得，，

的单调递减区间为，；

【小问2详解】

因为，所以，

当，即时，取最大值3；

当，即时，取最小值2．

22. 【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）或．

【解析】

【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结果；

（2）利用单调性的定义判断并证明即可；

（3）由的奇偶性和单调性，可得恒成立，令，，由二次函数的性质分类讨论求得的最小值，即可得的取值范围．

【小问1详解】

为奇函数，且定义域为，

则对于任意恒成立，

∴

∴．

【小问2详解】

，

在定义域上任取，且，

则，

，又，

故，即，

因此，函数在定义域上为增函数．

【小问3详解】

函数在定义域上为增函数．

对于任意，恒成立，

则，

因为在上为增函数，可得，即恒成立，

令，

当，即时，在上单调递增，，

则，解得或，又，则；

当，即时，在上单调递减，

恒成立，则符合题意；

当，即时，

，

则，解得或，又，则．

综上所述，或．

23. 【答案】（1）具有性质，理由见解析   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；

（2）根据条件验证时的取值范围即可；

（3）考虑和两种情况，再用反证法即可求出取值范围．

【小问1详解】

解：具有性质，

设，令，则，

解得，又，所以具有性质；

【小问2详解】

证明：任取，令，则，

因为，解得，又，所以，

当，时，，

即，即任取实数，都具有性质；

【小问3详解】

解：若，取，则且，故，

又，，所以具有性质；

假设存在使得具有性质，即存在，使得，

若，则，，，，

若，则，进而，，，，

，所以假设不成立，所以．