2023北京顺义高一（上）期末数学（教师版）

2023北京顺义高一（上）期末

数    学

考生须知

1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟.

2.在答题卡上准确填写学校､姓名､班级和教育ID号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束后，请将答题卡上交.

第一部分（选择题共分）

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数，那么的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 命题：“”否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 下列函数中，在区间上是减函数的是（    ）

A.  B.

C  D.

5. 已知函数.在下列区间中，包含零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知，且存在使得，则的值是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D.

10. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设制作扇子的扇形面积为，圆面中剩下部分的面积为，当时，扇面看上去形状较为美观.那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为（    ）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题共110分）

二､填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.

11. 计算：（1）__________；（2）__________.

12. 不等式解集是__________.

13. 函数的最小正周期是_________.

14. A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是__________.

①当时，A总走最前面；

②当时，C总走在最前面；

③当时，一定走前面.

15. 下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：

在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.

①当时，；

②当时，；

③恰有1名学生两科均不是“A等”；

④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.

三､解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 已知函数定义域为集合A，集合.

（1）求集合A；

（2）求.

17. 已知函数其中，.

（1）求与的值；

（2）求的最大值.

18. 已知函数，满足.

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间.

19. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点.

（1）求的值；

（2）将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转角后与单位圆交于点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值.

①；②；③.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20. 悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数.

（1）当时，判断的奇偶性并说明理由；

（2）如果为上的单调函数，请写出一组符合条件的值；

（3）如果的最小值为2，求的最小值.

21. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.

（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；

（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；

命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；

命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；

（3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.

参考答案

第一部分（选择题共分）

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】C

【解析】

【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，，所以.

故选：C.

2. 【答案】D

【解析】

【分析】根据真数大于0求解可得.

【详解】由解得,

所以函数的定义域为.

故选：D

3. 【答案】A

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得.

【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题，

所以的否定为.

故选：A

4. 【答案】D

【解析】

【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案.

【详解】在上单调递增，A错误；

在上单调递增，B错误；

在上单调递增，C错误；

在上单调递增，在上单调递减，D正确.

故选：D

5. 【答案】A

【解析】

【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可.

【详解】，由零点存在定理可知，包含零点的是.

故选：A

6. 【答案】B

【解析】

【分析】由对数运算直接求出，由为增函数可得，即可判断.

【详解】，由为增函数可知，即.

故选：B

7. 【答案】A

【解析】

【分析】由不等式的可加性可以直接推出；反之，可以赋值验证不成立.

【详解】已知，若，由不等式的可加性，则成立；

已知，若成立，则不一定成立，例如，令，，，，满足，，但.

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

8. 【答案】C

【解析】

【分析】令,，然后对赋值可得.

【详解】由，，得

取可得.

故选：C

9. 【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式得到，代入函数解析式即可得到，从而求出的值.

【详解】解：因为存在使得，

即存在使得，

即，

即，

因为，所以，

所以，所以.

故选：B

10. 【答案】C

【解析】

【分析】设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为，根据扇形的面积公式得到，再由，求出，即可得解.

【详解】解：设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为

则，即，

又，

，

故，

所以，；

故选：C．

第二部分（非选择题共110分）

二､填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.

11. 【答案】    ①. ##0.25    ②. ##-0.5

【解析】

【分析】（1）由对数运算性质即可求.

（2）由诱导公式即可求.

【详解】（1）；

（2）.

故答案为：；.

12. 【答案】或

【解析】

【分析】将不等式变形为，即可求出不等式的解集.

【详解】解：不等式，即，即，

解得或，

所以不等式的解集为或.

故答案为：或

13. 【答案】

【解析】

【分析】直接由周期公式得解．

【详解】函数的最小正周期是：

故填：

【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题．

14. 【答案】①②

【解析】

【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论.

【详解】在同一坐标系内画出的函数图象，

当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，

当时，，故当时，A总走在最前面，①正确；

当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确；

当时，，

当时，，

由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，

故时，B走在C前面，

当时，走在后面，③错误.

故答案为：①②

15. 【答案】①③④

【解析】

【分析】根据各科成绩排名及“A等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩为“A等”的情况，、、时语文成绩为“A等”的情况，

最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.

【详解】当，数学成绩为“A等”的8人从高到低为号；

当，数学成绩为“A等”不为8人，不合题意；

当，数学成绩为“A等”的8人为号.

当，语文成绩为“A等”的7人为号；

当，语文成绩为“A等”不为7人，不合题意；

当，语文成绩为“A等”的7人为号.

故当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共7人，不合题意；

当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；

当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；

当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意.

综上可知：

对①，当时，，①对；

对②，当时，，②错；

对③，当，、，、，时，两科均不是“A等”学生依次为8、9、10号，均恰有1名，③对；

对④，学号1~6的学生两科成绩全“A等”，④对.

故答案为：①③④

三､解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 【答案】（1）；   

（2），.

【解析】

【分析】（1）定义域满足即可；

（2）按定义直接进行并集、补集运算即可

【小问1详解】

由已知得，，∴；

【小问2详解】

，∴.

17. 【答案】（1）,.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果；

（2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果.

【小问1详解】

,

.

【小问2详解】

当时，增函数，，

当时，为增函数，，

因为，所以的最大值为.

18. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据代入计算可得；

（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.

【小问1详解】

解：因为且，

所以，即，又，所以

【小问2详解】

解：由（1）可得，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

19. 【答案】（1）   

（2）若选①，则；若选②，则；若选③，则.

【解析】

【分析】（1）根据点为单位圆上位于第一象限的点，直接求解即可；

（2）根据三角函数的定义，先得到，，，；再结合所选条件，利用诱导公式，即可求解.

【小问1详解】

（1）因为角的终边与单位圆交于第一象限的点，

所以，解得；

【小问2详解】

（2）由（1）根据三角函数的定义可得，，，，；

若选条件①，

则；

若选条件②，

则；

若选条件③，

则.

20. 【答案】（1）奇函数，理由见解析；   

（2）（均可）   

（3）2

【解析】

【分析】（1）由奇偶函数的定义判断即可；

（2）为上的单调函数，则或单调性相同即可，结合指数函数单调性判断即可；

（3）当时，单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论、时是否有最小值，即可得a、b的关系式，从而进一步求的最小值.

【小问1详解】

为奇函数. 理由如下：

当时，，，∵，∴为奇函数.

【小问2详解】

∵为上的单调函数，则或单调性相同即可，故.

一组符合条件的值为（均可）.

【小问3详解】

的最小值为2，由（2）得当时，单调无最小值，故.

当时，，当且仅当时取等号，且当时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号；

当时，，无最小值，不合题意.

综上，的最小值为2.

21. 【答案】（1）集合都是封闭集，理由见解析；   

（2）命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；   

（3）见解析.

【解析】

【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；

(2) 对命题举反例说明即可；

对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；

(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.

【小问1详解】

解：对于集合 因为，

所以是封闭集；

对于集合，因为，，，

所以集合是封闭集；

【小问2详解】

解：对命题：令，

则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；

对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，

所以，

同理可得，

所以，

所以是封闭集，故正确；

【小问3详解】

证明：因为非空集合是封闭集合，且

所以，

假设是封闭集，

由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，

又因为，

所以不是封闭集.

得证.