2022-2023学年河南省南阳市淅川县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市淅川县九年级（上）期末数学试卷

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列关于x的一元二次方程没有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，点P在的边AC上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，A、D是上的两个点，BC是直径，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，x的取值范围是(    )

A.
B.
C. 或
D.

7.  如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，中线AD，BE相交于点，交AD于点，则BC的长为(    )

A. 5
B. 6
C. 10
D. 12

9.  如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是(    )
 

A. 当小球抛出高度达到时，小球距O点水平距离为3m
B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C. 小球落地点距O点水平距离为7米
D. 斜坡的坡度为1：2

10.  函数的自变量x的取值范围为______.

11.  已知实数，是方程的两根，则的值为______ .

12.  如图，AB为的直径，C为圆上除A、B外一动点，的角平分线交于D，若，，则BD的长为______.

13.  如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则的值为______.

14.  如图，四边形ABCD是菱形，，，扇形EBF的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是______.

15.  计算或解方程.
计算：；
计算：；
解方程：

16.  共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
小沈从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示

17.  如图，内接于，，点D为上一点，连接CD交AB于点M，过点B作的切线交射线DC于点N，当时：
求证：；
若，，求AB的长．

18.  中原福塔，又名“河南广播电视塔”.某数学兴趣小组要测量中原福塔塔体部分的高度，如图，已知上部桅杆天线部分高度CD为120m，测角仪支架高他们在E处测得塔体顶端点D的仰角为，在F处测得桅杆天线顶部点C的仰角为，，根据以上测量数据，请你帮助他们计算出中原福塔塔体部分DH的高度结果精确到参考数据：，，

19.  某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量千克与销售单价元/千克之间的函数关系如图所示．
求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

20.  如图，抛物线过，，三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上.
求抛物线解析式，并直接写出当时，y的最大值与最小值的差.
将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，
①当点C首次落在抛物线上，求h的值.
②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围.

21.  如图1，在矩形ABCD中，，，，，将绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，的旋转随即停止．

如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：∽；
如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
设，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，与相似．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：A、无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：
分别利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

2.【答案】D 

【解析】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即
故选：
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，，原方程有两个不等实数根，不合题意；
B.，即，，原方程有两个不等实数根，不合题意；
C.，即，，原方程有两个不等实数根，不合题意；
D.，，原方程没有实数根，符合题意．
故选：
根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

4.【答案】D 

【解析】解：A、当时，又，∽，故此选项错误；
B、当时，又，∽，故此选项错误；
C、当时，又，∽，故此选项错误；
D、无法得到∽，故此选项正确．
故选：
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据圆周角定理求出即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
，
故选：  

6.【答案】A 

【解析】解：根据图象可知：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：
根据函数图象，分别讨论当，，，，时，和的大小关系，即可得到答案．
本题考查了二次函数与不等式组，正确掌握观察函数图象是解题的关键．
 

7.【答案】A 

【解析】解：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
，
点坐标为：，
故选：
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出∽，进而得出AO的长，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
 

8.【答案】D 

【解析】解：在中，中线AD，BE相交于点F，
点F为的重心，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
在中，，AD是中线，
，

故选：
首先根据三角形重心的定义得出点F为的重心，由重心的性质得出，再证明∽，求出，那么，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出
本题考查了三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
 

9.【答案】A 

【解析】

【分析】
求出当时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断
本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的应用、一次函数的应用，掌握坡度的概念、二次函数
的性质是解题的关键．
【解答】解：当时，，
整理得，
解得，，，
当小球抛出高度达到时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，A错误，符合题意；

，
则抛物线的对称轴为，
当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
坡度可以根据一次函数图象上点的坐标来判定，
斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意.
故选：  

10.【答案】且 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
故答案为：且
根据以及分母不能为0，进行计算即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握以及分母不能为0是解题的关键．
 

11.【答案】3 

【解析】解：实数，是方程的两根，
，，
，
故答案为：
根据根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，正确得到，是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：为的直径，，，
在中，，
连接AD，
的角平分线交于D，
，
，
在中，，
故答案为：
根据勾股定理得出AB的长，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查圆周角问题，关键是根据勾股定理得出AB的长．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：连接DE，

由题意得：
，
，
在中，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
故答案为：
连接DE，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接
四边形ABCD是菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
的高为，
扇形BEF的半径为2，圆心角为，
，，
，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在和中，
，
≌，
四边形GBHD的面积等于的面积，
图中阴影部分的面积是：
故答案是
本题主要考查了扇形的面积计算，全等三角形的判定与性质等知识，以及菱形的性质．
根据菱形的性质得出是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出≌，得出四边形GBHD的面积等于的面积，进而即可求解．
 

15.【答案】解：


；
原式

；
，
，
或，
解得， 

【解析】根据二次根式的混合计算法则求解即可；
根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；
利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：；
画树状图如图：

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为 

【解析】本题考查了用树状图法求概率.
根据概率公式直接得出答案；
根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，共享服务只有一张，
小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为；
见答案；
 

17.【答案】证明：，
是的直径，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
∽，
，即，
 

【解析】由圆周角定理得出AB是的直径，由直角三角形的性质得出，由切线的性质得出，进而得出，由圆周角定理及已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，即可证明；
由，得出，，由，得出，进而得出，得出，得出，得出，，再利用∽，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：如图，延长EF交CH于点N，则，

，
，
设，则，
，
，
在中，
，
则，
即，
解得，
则，
答：中原福塔塔体部分DH的高度约为 

【解析】延长EF交CH于点N，构造，在中，利用锐角三角函数可求出DN的长，由于，即可求出DH的高度．
本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，其中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题并且熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：设y与x的函数关系式为，
将、代入，得：，
解得：，
与x的函数关系式为；

设每天销售获得的利润为w，
则

，
，
当时，w取得最大值，最大值为1210；

由知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，
则每天的销售量为千克，
保质期为40天，
总销售量为，
又，
不能销售完这批蜜柚． 

【解析】利用待定系数法求解可得；
根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；
求出在中情况下，即时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
 

20.【答案】解：由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为，
由抛物线的表达式知，其顶点坐标为，
当时，，
故当时，时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值，
的最大值与最小值的差为；

①当点C首次落在抛物线上，则，解得舍去负值，
则；
②当点C首次落在抛物线上，，当时，抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当时，即正方形运动到点处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故；
故 

【解析】当时，，故当时，时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值，即可求解；
①当点C首次落在抛物线上，则，解得舍去负值，则；
②当点C首次落在抛物线上，，当时，抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，当时，即正方形运动到点处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，当时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、图形的平移等，确定正方形和抛物线的位置关系是本题解题的关键．
 

21.【答案】解：证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
∽；      

的值为定值．
如图，过点F作于G，
，
，，
易知四边形ABGF是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
的值是定值，该定值为；

，
，
①当时，，
∽，
，
，
；
②当时，，
∽，
，
，
，
综上，当或时，与相似． 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判定∽；
过点F作于G，则，易知四边形ABGF是矩形，先判定∽，即可得到，进而得出的值是定值，该定值为；
分两种情况进行讨论：①当时，∽；②当时，∽，分别依据相似三角形对应边成比例，即可得到当或时，与相似．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例进行推导计算．