2023年广东省茂名市茂南区部分学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省茂名市茂南区部分学校中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从年末开始，一场新型冠状病毒疫情席卷了全世界，面对疫情我国人民在党的领导下团结一心取得了决定性胜利．新冠病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  小光准备从地去往地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，如图能解释这一现象的数学知识是(    )

A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线

5.  如图，已知，，尺规作图痕迹可求出(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8.  一次足球联赛实行单循环比赛每两支球队之间都比赛一场，计划安排场比赛，设应邀请了支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  任意下列两个图形不一定相似的是(    )

A. 正方形 B. 等腰直角三角形 C. 矩形 D. 等边三角形

10.  如图，函数经过点，对称轴为直线，下列结论：
；；；；若点、在抛物线上，则其中结论的正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  把多项式分解因式得：______．

12.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

13.  若与是同类项，则 ______ ．

14.  观察下列各式：





猜想 ______ ．

15.  在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点的“倒数点”如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，．
作出的平分线交于点尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
求证：．

18.  本小题分
已知．
化简．
若点在直线与反比例的图象的交点，求值．

19.  本小题分
覃老师把微信运动里“好友步数排行榜”排名前的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：

根据信息解答下列问题：
填空：______，______，并补全条形统计图；
这名朋友一天行走步数中位数落在______组；填组别
覃老师准备随机给排名前名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．

20.  本小题分
某玩具商店用元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元．
求第一批玩具每套的进价是多少元？
如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于元利润，那么每套售价至少是多少元？

21.  本小题分
如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
 

22.  本小题分
如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连结，，．
求证：四边形是平行四边形．
当，时，求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，，顶点，对称轴交轴于点．

求抛物线的解析式；
已知直线与对称轴形成的夹角为，动点在对称轴上运动且位于点下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
直接根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．
【解答】
解：．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．
【解答】
解：，因此选项A不正确；
B.，因此选项B正确；
C.，因此选项C不正确；
D.，因此选项D不正确．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
【解答】
解：从地去往地，打开导航、显示两地距离为，理由是两点之间线段最短，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
平分，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质即可得到答案．
本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线经过第一、二、四象限，
，，
直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据直线经过第一、二、四象限，可以得到，，然后即可得到直线经过哪个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断、的正负，利用一次函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得：．
故选：．
根据一次足球联赛实行单循环比赛，计划安排场比赛，”即可列出相应的方程．
本题由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以不符合题意；
故选：．
相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，
，
正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
与异号，即，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，
正确；
抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
当时，，
，
错误；
抛物线与轴的一个交点为，
，
抛物线对称轴为，
，
，
，
正确；
，
，
抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
，
，
正确；
综上所述，正确；
故选：．
根据图象与轴有两个交点，即可判断；
根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；
根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断；
根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断；
根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断．
本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：与是同类项，
，，
．
故答案为：．
根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出，的值，进而得出答案．
本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，

第个等式为：，



．
故答案为：．
由所给的等式不难得出第个等式为：，据此可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
设点的坐标为，由“倒数点”的定义，得点坐标为，分析出点在某个反比例函数上，分两种情况：点在上，由轴，得，解出，舍去，得点纵坐标为，此时，；点在上，得点横坐标为，即，求出点纵坐标为：，此时，．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
【解答】
解：设点的坐标为，
点是点的“倒数点”，
点坐标为，
点的横纵坐标满足，
点在某个反比例函数上，
点不可能在，上，
分两种情况：
点在上，
由轴，
点、点的纵坐标相等，即，
，舍去，
点纵坐标为：，
此时，；
点在上，
由轴，
点、点的横坐标相等，即，
，
点纵坐标为：，
此时，；
故答案为：或．  

16.【答案】解：


 

【解析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

17.【答案】解：如图所示：即为 的平分线；

证明：平分，
．
四边形是平行四边形，
，
，
．
． 

【解析】以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点和两弧的交点并延长，交 于点 ，即为 的平分线；
根据角平分线的定义可得，根据，得到，则，最后根据等角对等边即可求证．
本题主要考查了尺规作图作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及等角对等边．
 

18.【答案】解：


．
点在直线与反比例的图象的交点，
将点分别代入得，，
，
． 

【解析】直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：组人数为人，
则，
，
补全统计图如下：

故答案为：；；

，组共有人，
这名朋友一天行走步数的中位数落在组；
故答案为：；

画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为，
甲、乙被同时点赞．
分别用组、组的频数除以总人数得到、的值，再补全统计图即可；
利用中位数的定义进行判断；
画树状图展示种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设第一批玩具每套的进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是元；
设每套售价是元，套，套，
由题意得：，
解得：，
答：每套售价至少是元． 

【解析】设第一批玩具每套的进价是元，由题意：某玩具商店用元购进一批儿童玩具，接着又用元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元．列出分式方程，解方程即可；
设每套售价是元，由题意：这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于元利润，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：与相切．
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
  即：，
，
又是半径，
与相切；
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积． 

【解析】根据等边对等角得，根据直角三角形两锐角互余，再进行角的等量代换，得出，即，则与相切；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
解：，
，
是的中点，
，
，
，
即，
，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
． 

【解析】由三角形中位线定理得，则，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由锐角三角函数定义得，然后由勾股定理得，则，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由顶点 设，
，
，代入得：，
解得：，
抛物线对应二次函数的表达式为：．
存在点，使得和相似，如图：

连接，设 ，
，
，
由题知，，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
当∽时，
，
解得 ，
，
当∽时，
，
解得 ，
，
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】由顶点 设，再将点的坐标代入即可；
首先确定、是对应顶点，设点，表示和的边长，再根据对应边成比例分别列方程即可．
本题考查了二次函数，相似三角形的综合知识，设所求点的坐标，表达出相关的线段长，列方程求解是解题的关键．