2023年广东省深圳市宝安区福民学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市宝安区福民学校中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间单位：，分别为：，，，，这组数据的平均数、方差是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是(    )

A. 祝
B. 你
C. 顺
D. 利

4.  用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点，连接，，并分别找出它们的中点，，连接现测得，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知菱形的边长为，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、以下四个结论正确的是(    )
是等边三角形；
的最小值是；
当最小时；
当时，．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如图，已知，，则 ______ ．

 

12.  全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外如图，张三同学在东门城墙上处测得塑像底部处的俯角为，测得塑像顶部处的仰角为，点在观测点正下方城墙底的地面上，若米，则此塑像的高约为______ 米参考数据：．

13.  如图，已知在和中，，，点、、、在同一条直线上，若使≌，则还需添加的一个条件是          只填一个即可．

 

14.  如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点，若，则的长为________．

 

15.  设，是实数，定义@的一种运算如下：@，则下列结论：
若@，则或；@@@；
不存在实数，，满足@；
设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大．
其中正确的是______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

16.  计算：；
已知是小于的常数，解关于的不等式组：．

四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点，均在格点上．
在图中画出以为边且周长为无理数的▱，且点和点均在格点上画出一个即可．
在图中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上．

 

18.  本小题分
某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如下不完整统计图．

请结合图中信息，解决下列问题：
此次调查中接受调查的人数为______人，其中“非常满意”的人数为______人；
兴趣小组准备从“不满意”的位群众中随机选择位进行回访，已知这位群众中有位来自甲片区，另位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众来自甲片区的概率．

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为：．
求一次函数的表达式；
求点的坐标及外接圆半径的长．

20.  本小题分
如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点、，连接交于点．
求证：是的切线．
若，，求的长．

21.  本小题分
年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个为正整数经过连续天的销售统计，得到第天，且为正整数的供应量单位：个和需求量单位：个的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数

直接写出与和与的函数关系式；不要求写出的取值范围
已知从第天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到即前天的总需求量超过总供应量，前天的总需求量不超过总供应量，求的值；参考数据：前天的总需求量为个
在第问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为元，求第天与第天的销售额．

22.  本小题分
抛物线过，，三点．

求抛物线的表达式；
如图，抛物线上一点在线段的上方，交于点，若满足，求点的坐标；
如图，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求、的坐标，并求此时的面积；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：比小的数，是与的差，即故选A．
比小的数，是用减，列式计算．
考查有理数的运算方法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算可得．
本题主要考查平均数、方差，解题的关键是掌握平均数、方差的计算公式．
 

3.【答案】 

【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，面“你”与面“考”相对，面“中”与面“顺”相对．
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
．
故选B．
本题主要考查配方法解一元二次方程．
把方程的常数项移到右边，然后左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的选项即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的角平分线，
．
，
，．
，


．
．
，
．
故选：．
利用角平分线、平行线的性质、三角形的外角性质，先求出、的度数，再利用三角形的内角和定理求出．
本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线等知识点．利用平行线的性质，把分散的条件集中起来，是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
；
将绳子对折再量木条，木条剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据中位线定理可得：．
本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：作关于的对称点，延长、交于点，
，，
，
当、、共线且与垂直时，长度最小，
即作于，
在中，，

故选：．
作关于的对称点，延长、交于点，当、、共线且与垂直时，即求的长即可．
本题主要考查轴对称的知识，将转化为求线段是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
第三项系数为，
故选 D．
根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数；
此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，
在和中，

≌，
，
是等边三角形，
故正确；
当时，的值最小，此时的值也最小，
，，，
，
的最小值是，
故正确；
时，的值最小，此时，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故正确；
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故正确，
故选：．
由四边形是菱形得，，，，而，则和都是等边三角形，再证明≌，得，而，则是等边三角形，可判断正确；
当时，的值最小，此时的值也最小，由，，可求得，可判断正确；
当的值最小，则，可证明，根据三角形的中位线定理得，则∽，可求得，可判断正确；
由，得，再证明∽，得，所以，即，可判断正确．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．

如图，根据邻补角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求得答案．
本题考查了邻补角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

由题意可得：，
，
，
，
解得：，
，
，
此塑像的高约为：米．
故答案为：．
直接利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，进而得出答案．
本题考查解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的意义是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定，关键是注意：全等三角形的判定定理有，，，，答案不唯一．
添加，由推出，由可证≌．
【解答】
解：添加；
，
，
在和中，，
≌；
故答案为：答案不唯一  

14.【答案】 

【解析】解：设，，则，
由∽可得：，
，
，
，，
设交于．

在中，，
，
．
故答案为．
设，，则，构建方程组求出、即可解决问题；
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：@
，
整理得：，即，
解得：或，正确；
@
@@，
@@@，正确；
@，@，
令，
解得，，故错误；
@，
，则，即，
，
的最大值是，此时，
解得，
@最大时，，故正确．
故答案为：．
根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

16.【答案】解：原式
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
是小于的常数，
，
不等式组的解集为：． 

【解析】先分别化简各项，再作加减法；
分别解两个不等式得到，，再根据的范围得出，最后得到到解集．
本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握运算法则和解法．
 

17.【答案】解：如图中，四边形即为所求答案不唯一．
如图中，四边形即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可．
根据正方形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，无理数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】，；
画树状图得：

共有种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有种情况，
选择的市民均来自甲区的概率为：． 

【解析】

解：满意的有人，占，
此次调查中接受调查的人数：人；
此次调查中结果为非常满意的人数为：人；
故答案为：，；
见答案．
【分析】
满意的有人，占，即可得到调查中接受调查的人数，进而得到“非常满意”的人数；
画树状图可得共有种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有种情况，即可得到结果．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．  

19.【答案】解：过点作于点，
，
，
，
又，，
≌，
，，
对直线，当时，，
，，
设，则，，
的面积与的面积之比为：．
，
，化简得：，
又，即：，
，
解得：，，
，
，，
把点，代入，得：
，解得：，
一次函数的表达式为：．
由，得：，
，
正方形的顶点，，，
，
，
为直角三角形，且，
线段是的外接圆直径，
外接圆半径为：． 

【解析】作于点，得到≌，结合面积比，求出，，得到一次函数表达式；
联立一次函数和反比例函数，求出点坐标，由直角三角形和“的圆周角所对的弦是直径”得到外接圆的半径．
本题考查了正方形的性质、一次函数解析式和的圆周角所对的弦是直径，其中通过作辅助线构造全等三角形求出点、是这个题目的突破点．
 

20.【答案】证明：连接，

方法一：平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
方法二：平分交于点，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
解：连接，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
解得舍去负数，
的长为． 

【解析】连接，方法一：根据角平分线的定义及平行线的性质得出即可；
方法二：根据角平分线的定义和平行线的性质得出即可；
连接，根据三角函数求出和半径的长度，再利用三角函数求出的长即可．
本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：，
设，将，，代入得：

解得
；
前天的总供应量为个，
前天的供应量为个，
在中，令，得，
前天的总需求量为个，
前天的总需求量为个，
前天的总需求量超过总供应量，前天的总需求量不超过总供应量，

解得，
为正整数，
的值为或；
由知，的最小值为，
第天的销售量即供应量为，
第天的销售额为元，
而第天的销售量即需求量为，
第天的销售额为元．
答：第天的销售额为元，第天的销售额为元． 

【解析】

【分析】
由已知直接可得，设，由待定系数法可得；
求出前天的总供应量为个，前天的供应量为个，根据前天的总需求量为个，前天的总需求量为个，可得，而为正整数，即可解得的值为或；
的最小值为，从而第天的销售量即供应量为，销售额为元，第天的销售量即需求量为，销售额为元．
【解答】
解：根据题意得：，
设，将，，代入得：

解得
；
前天的总供应量为个，
前天的供应量为个，
在中，令，得，
前天的总需求量为个，
前天的总需求量为个，
前天的总需求量超过总供应量，前天的总需求量不超过总供应量，

解得，
为正整数，
的值为或；
由知，的最小值为，
第天的销售量即供应量为，
第天的销售额为元，
而第天的销售量即需求量为，
第天的销售额为元．
答：第天的销售额为元，第天的销售额为元．
【点评】
本题考查二次函数，一次函数及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．  

22.【答案】解：根据题意，设抛物线表达式为．
把，代入得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
设直线的表达式为，
则：，
解得：，，
直线的表达式为，
设点，，则点，
，
设直线与直线交于点，
，
，，
，
在中，
，
由，得，
化简得，，
解得：，舍去，
则
根据题意得：为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点、，则为等腰直角三角形，
分三种情况：
若，，
如图，过作轴，过作于，过作于，
易证得：≌，
，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
；
如图，易证得：≌，
，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
；
若，，
如图，易得：≌，
，，
，
，
，
；
如图，易得≌，
，
，，
，
，
若，，如图，
过作，交的延长线于，
易得：≌，
，，
此时不存在符合条件的、．
 

【解析】由对称性和，，可知抛物线的对称轴是：，利用顶点式列方程组解出可得抛物线的表达式；
如图，先利用待定系数法求直线的解析式，设点，则点，
根据解析式表示和的长，由已知的比例式列式得结论；
根据题意得：为等腰直角三角形，分三种情况：
若，，如图，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，可得结论；如图，同理可得结论；
若，，如图，证得：≌，则，，，从而得出结论；如图，同理易得≌，可得结论；
若，，如图，由于，此时不存在符合条件的、．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的对称性、利用待定系数法求解析式、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，采用了分类讨论的思想，并利用数形结合；第二问熟练掌握利用解析式表示点的坐标和线段的长是关键，第三问有难度，准确画也图形是关键，注意不要丢解．