2023年广东省珠海市香洲区紫荆中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省珠海市香洲区紫荆中学中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省珠海市香洲区紫荆中学中考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  据不完全统计，仅中国大陆地区就有大约亿观众收看了北京冬奥会的开幕式，将亿用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算中，结果正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如图，是空心圆柱的两种视图，正确的是(    )A.
B.
C.
D. 4.  在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，、、均在上，若，则的大小是(    )A.
B.
C.
D. 6.  下列尺规作图，能得到的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  学习组织“超强大脑”答题赛，参赛的名选手得分情况如表所示，那么这名选手得分的中位数和众数分别是(    ) 分数分人数人 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和8.  一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C.   D.  且9.  设的整数部分为，小数部分为，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒设、同时出发秒时，的面积为已知与的函数关系图象如图曲线为抛物线的一部分，则下列结论：；；当时，；当秒时，∽；其中正确的结论是(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  若二次根式有意义，则的取值范围是______．12.  点与点关于原点对称，则 ______ ．13.  若，则 ______ ．14.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为          结果保留．
  
 15.  如图，正方形内接于，且，点在上运动，连接，作，垂足为，连接，则长的最小值为______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16.  解不等式组：．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，满足．18.  本小题分
年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的同学共有多少人？
扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？
现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19.  本小题分
如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
求证：≌；
若，，求的长．
20.  本小题分
某服装店销售、两种服装，它们的进价和售价如表，若老板进种服装套和种服装套，则需资金元；若老板进种服装套和种服装套，则需要资金元． 种类进价元套售价元套求、两种衣服每套的进价；
根据市场情况，老板在月份按售价可卖种服装套假设老板按售价每套种服装每降价元，就可多卖出一套种服装，请问当售价定为多少时，老板在月份卖种服装获得的利润最大．21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接．
求直线的表达式；
连接，求的面积；
如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数于点在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 22.  本小题分
如图，已知的半径为，、、在上，经过点且与垂直垂足为点，点是线段上的一个动点不与，重合，连接并延长与交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
如图，连接，，，，，已知时，求的值；
在的条件下，若，求证：．
 23.  本小题分
如图，经过原点的抛物线、为常数，与轴相交于另一点在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点．
求抛物线的解析式；
抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，此选项错误，不符合题意；
B.，此选项错误，不符合题意；
C.，此选项正确，符合题意；
D.，此选项错误，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方法则，平方差公式，单项式乘法法则及单项式除以单项式法则逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方法则，平方差公式，单项式乘法法则及单项式除以单项式法则．
 3.【答案】 【解析】解：如图所示，空心圆柱体的主视图是圆环；
俯视图是矩形，且有两条竖着的虚线．
故选B．
分别找到从正面，从上面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图和俯视图中．
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
 4.【答案】 【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：．
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
故选：．
利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：根据作图方法可得选项中，
，
．
故选：．
要确定，需知，首先确定的垂直平分线即可．
此题主要考查了作图基本作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 7.【答案】 【解析】解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，
所以中位数为，
众数为，
故选：．
直接利用中位数和众数的定义求解可得．
本题考查中位数和众数的概念．在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．
 8.【答案】 【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的范围是：且．
故选D．
由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得同时考查了一元二次方程的定义．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，，
原式，
故选：．
先估算出介于和之间，即可先出和的值，代入原式即可进行运算．
本题考查的主要是估算无理数的大小，解题关键是先估算出介于和之间．
 10.【答案】 【解析】解：由图象可知，，
四边形为矩形，
，
，
故正确，符合题意；
当到达点，到达点时，
，
，
，
故错误，不符合题意；
由图象知，，，
当时，点在边上，
过点作于点，如图所示：

，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
，，，，
与相似，
点只有在上，且满足，
，
，
，
当秒时，∽，
故正确，符合题意；
故选：．
先根据图象信息求出、、、、，直接判断；根据直角三角形的锐角三角函数可知求出可以判断；当时，点在边上，过点作于点，先求出，的长，由三角形的面积公式求出与的函数解析式，可以判断；先假设∽，求出的值，可以判断．
本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识、解直角三角形．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．
 11.【答案】 【解析】解：当二次根式有意义时，，
解得，
的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数必须是非负数．
 12.【答案】 【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，即可求出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
解得，
．
故答案为：．
根据，可得，据此求出的值，再把求出的的值代入，求出算式的值即可．
此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
 14.【答案】 【解析】【分析】
      连接，由扇形面积三角形面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接，

，
，
，
为等边三角形，
，，

，
阴影部分的面积为．
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：如图，取的中点，以为直径作，

，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
的最小值为．
故答案为．
如图，取的中点，以为直径作，想办法求出，，根据即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 16.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
则不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 17.【答案】解：原式

．
，，，
，，
，，
原式． 【解析】利用分式的混合运算的法则将原式化简，利用非负数的意义求得，的值，再将，的值代入运算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，非负数的应用，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 18.【答案】解：根据题意得：人，
即这次被调查的学生共有人；
根据题意得：，
即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为；
画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有种，
恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【解析】根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
用乘以篮球的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，过点作于，
，，
在中，，
根据折叠得，
，
，
，
设，
由知：，
，
，
由折叠得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
． 【解析】根据证明两个三角形全等即可；
如图，过点作于，由勾股定理计算，设，在中，由勾股定理得：，列方程可解答．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键．
 20.【答案】解：依题意可得，
解得．
答：种衣服每套进价元，种衣服每套进价元；
设份服装每套降价元，老板在月份卖种服装获得利润元，
则，
，
当时，有最大值，
此时．
答：当售价定为每套元时，老板在月份卖种服装获得的利润最大． 【解析】根据“若老板进种服装套和种服装套，则需资金元；若老板进种服装套和种服装套，则需要资金元”列出方程组，求解即可；
设月份种服装每套降价元，老板在月份卖种服装获得利润元，根据销售种服装的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出的值，从而得出结论．
本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，关键是找到关系式列出二次函数或方程．
 21.【答案】解：反比例函数经过点，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，，
由点、的坐标得，；

，
，
，
联立，解得：不合题意的值已舍去，
，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，

设交轴于点，则，
则的面积；

存在，理由如下，
当四边形是平行四边形时，如图，

，
，
，
把代入得，，
；
当四边形是平行四边形时，如图，

，
，
，
把代入得，，
，
综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
利用数形结合的方法分类求解即可．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
 22.【答案】证明：连接，如图所示：

的切线是，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，如图所示：

，，
，
且过圆心，
，
，
为等边三角形，
在中，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
证明：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】连接，根据切线的性质得到，，根据垂直及同圆的半径相等得到，进而证明；
连接，根据同弧所对的圆周角相等，先证明为等边三角形，然后证明∽，推比例线段，求的值；
证明，推比例线段，等量代换后得出，再根据，等量代换后得出．
此题属于圆的综合题，考查了三角形相似的判定和性质、切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质，解题关键是找到三角形相似的条件．
 23.【答案】解：直线经过点，
，
，
把，分别代入，
得：，
解得：，
该抛物线的解析式为；
存在点，使得．
，
抛物线的顶点为，

如图，当点在直线的上方时，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立，得：，
解得：舍去，，
当时，，
；
当点在直线的下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，交于点，连接交抛物线于点，
则，，
点是的中点，即，
是线段的垂直平分线，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与联立，得，
解得：舍去，，
当时，，
；
综上所述，存在点，使得，点的坐标为或；
如图，过点作轴交直线于点，

设，则的纵坐标为，
直线的解析式为，
，
，
，点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，
轴，，
，
∽，
，
，
当时，的最大值为． 【解析】先求出点的坐标，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为；
存在点，使得分两种情况：当点在直线的上方时，当点在直线的下方时，分别运用待定系数法求出直线的解析式，再联立方程组求解即可；
如图，过点作轴交直线于点，设，则，，再由点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，可得：轴，，根据相似三角形性质和等高三角形面积比可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．