143.安徽省江淮十校2020届高三上学期第一次联考试题 数学（理）

安徽省江淮十校2020届高三上学期第一次联考试题（8月） 数学（理）

1.已知集合，集合,若则集合的子集个数为(       )

A．2               B．4                C．8               D．16

2．复数满足，则的最大值是(       )

A．7 B．49 C．9 D．81

3.设为正数，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知向量均为非零向量，，则的夹角为（）

A．B．C．      D．

5.已知,则(    )

A．    B．    C．    D．

6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为(  )

A． B．

C． D．

7．如图，在正方体中，是棱上的动点．下列说法正确的是（  ）

A．对任意动点在平面内不存在与平面平行的直线

B．对任意动点在平面内存在与平面垂直的直线

C．当点从运动到的过程中，FC与平面ABCD所成的角变大

D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小

8..某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司总人数的百分比是（精确到）（   ）

A． B． C． D．

9..将余弦函数的图像向右平移个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半,得到函数的图像，下列关于的叙述正确的是（   ）

A.最大值为1，且关于对称；     B.周期为，关于直线对称；

C.在上单调递增，且为奇函数；D.在上单调递减，且为偶函数.

10..对任意实数，恒有成立，关于的方程有两根为，则下列结论正确的为（   ）

A．   B．   C． D．

11.已知双曲线C:的两条渐近线分别为A与B为上关于坐标原点对称的两点，M为上一点且，则双曲线离心率的值为（  ）

1.    B.      C. 2      D.   

12.在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD体积的最大时其外接球表面积为（）

A．   B．   C．    D．

二．填空题(每题5分，共20分)

13已知实数，满足，则目标函数的最小值为________

14．已 知 的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2, 则 其 展 开 式 中

含项 的 系 数 是 _______

15.关于的方程在内有解，则实数的取值范围是__________

16. 已知抛物线:的焦点为，过作直线交抛物线与两点且

，以为切点作抛物线C的切线交直线：与点，则的长度为__（结果用含式子表示）

17. 数列的前项和为,且

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：

18中，角所对的边分别是，若,，且，

（1）求；    （2）若，求的面积。

19如图，四面体中,是正三角形，是直角三角形，．

（1）证明：平面平面；

（2）若点E为DB中点，求二面角的正弦值.

20．如图，已知Q、G分别为的外心、重心，.

（1）求点C的轨迹E的方程.

（2）是否存在过的直线L交曲线E与M,N两点且满足，若存在求出L的方程，若不存在请说明理由。

21.已知函数

(1)  证明: ,

(2)  判断的零点个数，并给出证明过程。

理科数学参考答案

一．选择题

1.B

解析： ， 则 所以的子集个数为四个,选B.

2.B

解析：令  则有，所以其最大值为选B.

3.   B

.∵为正数，∴当时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，

即，即，成立，即必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

4.B

解析：∵ ∴,

∵, ∴，∴的夹角为

故选：B

5．C

解析：根据对数函数的单调性可以得到根据指数函数的性质可得，故选C.

6  A

解析：如图：设，以为圆心的扇形面积是，

的面积是，

所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，

即，

所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是

故选A

7.C

解析：因为在平面内，且平行平面，故A错误；

平面即平面，又平面与平面斜相交，

所以在平面内不存在与平面垂直的直线，故B错误；

F到平面ABCD的距离不变且FC变小，FC与平面ABCD所成的角变大

故C正确；

平面即平面，点到平面的距离为定值，故D错误.

故选C.

8.A

解析：,

,年龄在内，即内的人数有5人，

所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比是等于，故选A.

9  C

解析：由题意可知则只有C选项符合

答案：C

10.B

解析：对任意实数，恒有成立，则可得，关于的方程转化为，若满足 ，则有 结合原方程有两根

为，所以故选B

11.B

解析：，由于则解得，选B

12.A

解析：如图，取AB中点E，连接CE，DE，设，则，

当平面平面ABD时，四面体体积最大，

四面体的体积．，

当时，V为增函数，当时，V为减函数，

则当时，V有最大值

与外接圆的半径，则四面体ABCD的外接球半径

所以时其外接球表面积为 ，选A

二．填空题

13：

14. -30

15

16.

17.(1)                                        ①

                                                      ②............3分

①-②得

（2）

....................................................................10分

18.解析：（1）由可得，........2分

因为，

由正弦定理可得：即                                                         

又，所以                   

化简整理可得：；                                                .......6分

由正弦定理                                             ......7分

（2）由（1）可知，

且，

联立可解得                                                   .......10分

所以的面积                       .......12分

19（1）由题意可得，,从而，

又是直角三角形，所以

取AC的中点O，连接DO，BO，则，

又由是正三角形，所以，.......2分

所以是二面角的平面角,

在直角中，，

又，所以，故 ，所以平面平面。.........5分

（2）由题设及（1）可知,,两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

为的中点，得 .

故,

设是平面的法向量，则，即，

令，则，即平面的一个法向量，....7分

设是平面的法向量，则，

可得平面的一个法向量，...9分

则，即二面角的余弦值为........11分

所以二面角的正弦值为........12分

20：（1）设 .则，由于

则...........2分

由

          ①......4分

故轨迹E的方程为.....5分

（2）

联立则有

由于则有 

由于则有，......10分

则直线L过......11分

所以直线L 不存在......12分

22

（1）

分布列如下：

........3分

.........4分

（2）易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有

，...........6分

即，

也即............8分

（3）由（2）知数列是首项为 ，公比为的等比数列.因此有...........10分

由此得到

........11分

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有............12分

22.棋盘上标有第0，1，2，，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为.

（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；

（2）证明：

（3）求,,的值.