2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷

这是一份2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. −(+3)=( )
A. −3B. 3C. −2D. 1
2. 如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是( )
A. A′B′>A′C′
B. A′B′=A′C′
C. A′B′0,x>0)把△AOB分成两部分．
(1)双曲线与边OA，AB分别交于C，D两点，若OC=2，点D的横坐标为______ ；
(2)连接CD，则△ACD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
老师在黑板上写下了下面的等式，让同学自己出题，并作出答案．
7+▢−5×〇=38
请你解答下列两个同学所提出的问题．
(1)甲同学提出的问题：当〇代表−2时，求▢所代表的有理数；
(2)乙同学提出的问题：若▢和〇所代表的有理数互为相反数，求〇所代表的有理数．
21. (本小题9.0分)
每年的3月5日，某中学毕业班的每位学生都会收到一封任课老师写给自己的信.九(10)班有48名同学，数学、语文、英语三位任课老师分别给其中的16名学生写信，三位老师用抽签的方式选择写信的同学(每位学生被抽到的可能性相同)．
(1)亦航特别希望自己能收到数学老师的信，当他看到同桌小越收到了数学老师的信后，心里很着急，认为自己收到数学老师的信的概率变小了，你同意他的想法吗？直接写出他收到数学老师的信的概率；
(2)若嘉嘉和淇淇都收到了老师的来信，求她们收到的信来自同一位老师的概率．
22. (本小题9.0分)
如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M、P；
(2)将整式P因式分解；
(3)P的最小值为______．
23. (本小题9.0分)
如图，将半径为5的扇形OAB，绕点O逆时针旋转α°得到扇形OCD.OC交AB于点G，OB交CD于点E，AB与CD交于点F．
(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A ______ ∠D；
(2)在(1)的条件下，求证：△AOG≌△DOE；
(3)当AD为直径时，以OE为半径的⊙O切CD于点E，求α的值及优弧AB的
长.
24. (本小题9.0分)
如图，甲容器已装满水，高为20cm的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定．设注水时间为t(分)，甲容器水面高度为h1(cm)，乙容器水面高度为h2(cm)，其中h1−8与t成正比例，且当t=4时，h1=4；h2与t成一次函数关系，部分对应值如下表，当两个容器的水面高度相同时，这个高度称为平衡高度．
(1)分别写出h1，h2与t的函数关系式，并求未注水时乙容器原有水的高度；
(2)求甲、乙两个容器的平衡高度；
(3)为使甲容器无水可注时，乙容器恰好注满，需要调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4.动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)BC=______；
(2)求MN的长．(用含t的代数式表示)
(3)取PC的中点Q．
①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ//PN时，求MN的长．
②连结NQ，当∠CNQ=∠A时，直接写出t的值．
26. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=ax2−4ax+1(a>0)．
(1)若抛物线过点A(−1,6)，求出抛物线的解析式；
(2)当1≤x≤5时，y的最小值是−1，求1≤x≤5时，y的最大值；
(3)已知直线y=−x+1与抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；
(4)如图2，作与抛物线G关于x轴对称且对称轴相同的抛物线G′，当抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−(+3)=−3，
故选：A．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查了相反数的定义，知道“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图用圆规比较两条线段的大小，A′B′0,x>0)与边OA，AB分别交于C，D两点，
∴k=1× 3= 3，
∴y= 3x，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
∴32a+b=3 323a+b=0，解得a=− 3b=3 3，
∴直线AB的解析式为y=− 3x+3 3，
解y=− 3x+3 3y= 3x得x=3+ 52，
故D的横坐标为3+ 52，
故答案为：3+ 52；
(2)作DG⊥AF于G，则DG//OB，
∴DGBF=ADAB，
∵A(32,3 32)，D的横坐标为3+ 52，B(3,0)，
∴DG= 52，BF=32，
∴ADAB= 5232= 53，
∴S△ACD= 53S△ABC，
连接BC，
∵ACOA=13，
∴S△ABC=13S△AOB，
∴S△ACD= 53×13S△AOB= 59S△AOB= 59×12×3×3× 32= 154．
故答案为： 154．
(1)作CE⊥OB于E，AF⊥OB于F，根据等边三角形的性质得到A(32,3 32)，进而求得C的坐标，根据待定系数法即可求得函数的解析式，解析式联立构成方程组，解方程组即可求得D的横坐标；
(2)根据AC：OA=1：3求得△ABC的面积，根据ADAB= 53即可求得△ACD的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确表示线段长度的比是解题的关键．
20.【答案】解：(1)当〇代表−2时，□所代表的有理数为x，
根据题意得：7x+10=38，
解得：x=4，
则甲提出的问题：□所代表的有理数为4；
(2)当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，−a，
根据题意得：7a+5a=38，
解得：a=196，
则乙提出的问题：〇所代表的有理数为−196．
【解析】(1)当〇代表−2时，□所代表的有理数设为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可；
(2)当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，−a，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)不同意他的想法，
他收到数学老师的信的概率为1648=13；
(2)将数学、语文、英语三位任课老师的信分别记作A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪收到的信来自同一位老师的有3种结果，
所以收到的信来自同一位老师的概率为39=13．
【解析】(1)根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)根据题意得：M=(3x2−4x−20)−3x(x−3)
=3x2−4x−20−3x2+9x
=5x−20；
P=3x2−4x−20+(x+2)2
=3x2−4x−20+x2+4x+4
=4x2−16；
(2)P=4x2−16
=4(x2−4)
=4(x+2)(x−2)；
(3)−16．
【解析】解：(1)(2)见答案；
(3)∵P=4x2−16，x2≥0，
∴当x=0时，P的最小值为−16．
故答案为：−16．
(1)根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
(2)把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(3)利用非负数的性质求出P的最小值即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
23.【答案】=
【解析】解：(1)∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
由旋转得，∠B=∠D，
∴∠A=∠D，
故答案为：=；
(2)证明：由旋转得，∠AOC=∠BOD，
∵OA=OD，∠A=∠D，
∴△AOG≌△DOE(ASA)．
(3)如图，

∵以OE为半径的⊙O相切，
∴OE⊥CD，
∵OC=OD，
∴∠COE=∠DOE，
∵△AOG≌△DOE，
∴∠AOC=∠DOE，
∵AD为直径，
∴∠AOC=∠DOE=COE=60°，
∴α的值为60°，
∴∠AOB=120°，
∵⊙O半径为5，
∴优弧AB=(360−120)π×5180=20π3．
(1)由旋转及等腰三角形可得答案；
(2)由旋转得∠AOC=∠BOD，再由(1)得出的∠A=∠D，即可证明；
(3)由三线合一证明出∠COE=∠DOE，再由全等得出∠AOC=∠DOE，即∠AOC=∠DOE=COE=60°，再按弧长公式计算即可．
本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵h1−8与t成正比例，令h1−8=kt，
∴当t=4时，h1=4，代入得4−8=4k，
解得：k=−1，
∴h1与t的函数关系式为：h1=−t+8．
∵h2与t成一次函数对应关系，设h2=mt+n，
当t=1时，h2=4，
当t=3时，h2=8，
∴4=m+n8=3m+n，
解得：m=2n=2，
∴h2与t的函数关系式：h2=2t+2．
当t=0时，h2=2，未注水时乙容器原有水的高度为2cm．
(2)甲、乙两个容器的平衡高度，
即h1=h2，故有：−t+8=2t+2．
求得：t=2．
∴此时的平衡高度为h1=h2=6．
答：两个容器的平衡高度为6cm．
(3)设乙容器原有水的高度为acm，h2=2t+a．
当甲容器无水可注时，h1=0，
求得：t=8，
将t=8，代入20=8×2+a中，
求得：a=4．
符合条件的乙容器原有水的高度为4cm．
【解析】(1)由题意得h1−8=kt，从而可求得k=−1，再由h2与t成一次函数对应关系，设h2=mt+n，从而得4=m+n8=3m+n，可解得m=2n=2，则可求解；
(2)平衡高度即有h1=h2时，得−t+8=2t+2，从而可求解；
(3)设乙容器原有水的高度为acm，h2=2t+a，从而可求解．
本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．
25.【答案】3
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4，
∴BC= AC2−AB2= 52−42=3．
故答案为：3．
(2)当0