2023年上海重点大学附属学校高考数学模拟预测试卷

这是一份2023年上海重点大学附属学校高考数学模拟预测试卷，共15页。
2023年上海重点大学附属学校高考数学模拟预测试卷1.  设全集，若集合，则 ______ ．2.  复数为虚数单位，则          ．3.  已知球的体积为，球的表面积是______．4.  已知函数，的最小正周期为，则        ．5.  已知等差数列，，，则 ______ ．6.  在的展开式中，常数项为______ 结果用数字作答7.  投掷一颗骰子，记事件，，则 ______ ．8.  已知向量，，则在方向上的投影向量等于______ ．9.  如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图图中仅列出，的数据和频率分布直方图，则 ______ ．
10.  已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，且，则此双曲线的离心率为______ ．11.  若函数的值域为，则实数的取值范围是          ．12.  已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为______ ．13.  以下能够成为某个随机变量分布的是(    )A.  B.
C.  D. 14.  已知，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件15.  下列说法正确的是(    )A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，且，则
C. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
D. 若，，，则事件与事件相互独立16.  在中，，，为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
的最小值为；
的最小值为；
的最大值为；
的最大值为．
其中，正确结论的个数是(    )A.  B.  C.  D. 17.  如图，在直三棱柱中，，，．
求证：；
设与底面所成角的大小为，求三棱锥的体积．
18.  已知向量，其中，若函数的最小正周期为．
求的单调增区间；
在中，若，，求的值．19.  某超市每天以元千克购进某种有机蔬菜，然后以元千克出售若每天下午点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以元千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货该超市整理了过去两个月按天计算每天下午点前这种有机蔬菜的日销售量单位：千克，得到如下统计数据注：视频率为概率，， 每天下午点前的销售量千克天数求天下午点前的销售量不少于千克的概率；
在接下来的天中，设为下午点前的销售量不少于千克的天数，求的分布列和数学期望．20.  椭圆：
若，求椭圆的离心率；
设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为，且，求的值；
过椭圆上一点作斜率为的直线，与双曲线有一个公共点，求的取值范围．21.  已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求的单调区间；
若方程有解，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：全集，集合或，，
．
故答案为：．
求解绝对值的不等式化简，再由补集运算的定义得答案．
本题考查补集及其运算，是基础题．
 2.【答案】 【解析】【分析】
由已知直接利用及商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：，
．
故答案为：．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．
通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】
解：因为球的体积为，
所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：．
故答案为：．  4.【答案】 【解析】解：，依题意，
；
故答案为：．
根据三角函数周期与角频率的关系求解．
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：设公差为，
由，，
得，解得，
所以．
故答案为：．
求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解．
本题主要考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：二项式的展开式的通项为，
令，得，
故常数项是．
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的的指数为，列出方程求出的值，将的值代入通项，求出展开式中常数项即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意向量，，
则，
则在方向上的投影向量为．
故答案为：．
求出，根据投影向量的概念即可求得答案．
本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：分数在的频率为，
由茎叶图得分数在之间的频数为，
所以全班人数为人，
分数在之间的频数为，所以，
由，解得．
所以．
故答案为：．
根据茎叶图，结合频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，求出全班人数以及频率分布直方图中的、．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为，，圆的半径为，
圆心到渐近线的距离为，
即负舍，，
双曲线的离心率为．
故答案为：．
根据所截弦长与半径求出圆心到渐近线距离，从而解出，的值，最后得到离心率．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】【分析】根据指数函数的单调性可得出，时，；根据二次函数的单调性可得出，时，，再根据即可得出，解出的范围即可．
本题考查了指数函数、二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，函数值域的定义及求法，考查了推理和计算能力，属于基础题．【解答】解：时，；时，，
且的值域为，
，
，
实数的取值范围是：．
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：因为是定义在上的偶函数，
所以，即，
所以，
因为若正实数、满足，
所以，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：．
首先根据偶函数的定义，得出的值，再由得出，用不等式“”的妙用，即可得出最小值．
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，不满足，不符合题意；
对于，，每个变量的概率都大于小于，符合题意；
对于，，不符合题意；
对于，，不符合题意．
故选：．
根据题意，由随机变量分布列的性质依次分析选项是否符合题意，即可得答案．
本题考查随机变量的分布列，注意分布列的特点，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为时，，所以不成立，即充分性不成立；
时，，成立，即必要性成立；
所以是必要不充分条件．
故选：．
分别判断充分性与必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：若随机变量，则，故A正确；
若随机变量，且，则，故，故B错误；
一组数据，，，，，，，，，的第百分位数即第个数和第个数的平均数，为，故C正确；
，，
，，，
事件与事件相互独立，故D正确．
故选：．
对，根据二项分布的方差公式求解即可；对，根据正态分布的对称性求解即可；对，根据百分位数的定义判断即可；对，根据对立事件的概率公式，结合事件与事件相互独立事件满足判断即可．
本题考查二项分布，正态分布，百分位数，事件的独立性，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：如图，以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，

则，，，
因为，所以设，
则，，
所以，
所以，即为任意角，
所以

其中，
所以的最大值为，最小值为，
所以错误，
因为，
所以

其中，
因为，
所以，
所以，
所以的最小值为，最大值为，
所以正确，错误．
故选：．
以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 17.【答案】解：证明：由，，，得，
，，
在直三棱柱中，可得，，
平面，平面，
；
由平面，可得为在底面内的射影，
知即为与平面所成的角，，
又为直角三角形，且，，
为三棱锥的高，，
，
三棱锥的体积． 【解析】由已知可得，，进而可证平面，可证结论；
由已知可得即为与平面所成的角，可得，进而可求三棱锥的体积．
本题考查线线垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
 18.【答案】解：，
的最小正周期为，
，
．
故，
令，解得，
故函数的单调增区间为；
设中角，，所对的边分别是，，．
，，即，解得．
，，，
，
，
，，
，
． 【解析】根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
根据题意，由中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由表格中的数据，可得天下午点前的销售量不小于千克的概率为．
依题意，天下午点前的销售量不少于千克的概率，
随机变量的可能值为，，，
可得：，
，
，
所以随机变量的分布为： 所以的数学期望． 【解析】由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
根据题意，得到随机变量的可能值为，，，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 20.【答案】解：若，则，，，，
由已知得，，设，
，即，
，，，
，代入求得；
设直线，联立椭圆可得，
整理得，
由，，
联立双曲线可得，整理得，
由，，
，
，
又，，又，
． 【解析】由题意可得，，，可求离心率；
由已知得，，设，由已知可得，，求解即可；
设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围．
本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题．
 21.【答案】解：的定义域为，，
，又，
，即，
曲线在处的切线方程为；
令，可得，令，可得，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
方程有解，即方程有解，
令，则方程有解，，有解，
记，则函数与直线有公共点，
，令，，
令得，令得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
函数在上单调递增，
记，，令得，
令得，函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
作出图象，如图：

由图可知，函数与直线有公共点时，
即实数的取值范围为． 【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；
分离参数，转化为函数与直线有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，方程有解求参数范围问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题．