2023年上海市奉贤区致远重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

这是一份2023年上海市奉贤区致远重点中学高考数学模拟试卷（5月份），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市奉贤区致远重点中学高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，则“”是“”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2.  以下能够成为某个随机变量分布的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  年，我市仍试行“”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语门必选科目外，考生再从物理、历史中选门，从化学、生物、地理、政治中选门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是(    )
A. 甲的化学成绩领先年级平均分最多
B. 甲有个科目的成绩低于年级平均分
C. 甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果4.  已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  已知集合，集合，则 ______ ．6.  在复平面内，点对应的复数，则______．7.  函数的定义域是______ ．8.  等差数列的前项和为，第项为，则的通项公式为______ ．9.  已知，，且，则的最小值为        ．10.  二项展开式的常数项的值为______ ．11.  有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各个，且每种颜色的个小球上分别标注号码、、，从中任取个球，则取出的个球颜色齐全但号码不全的概率是______ ．12.  已知服从正态分布，且，则 ______ ．13.  中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画如图，是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______ ．
14.  已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______ ．15.  已知一组成对数据，，，的回归方程为，则该组数据的相关系数 ______ 精确到．16.  已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知函数．
求函数的最值；
设的内角，，的对边分别为，，，若，，且，求的面积．18.  本小题分
如图，将边长为的正方形沿对角线折蟊，使得平面平面，平面，且
求证：直线与平面没有公共点；
求点到平面的距离．
19.  本小题分
某农科所为了验证蔬菜植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性之间是否存在关联，随机抽取棵植株，获得如下观察数据：棵植株感染红叶螨，其中株无枯萎病即对枯萎病有抗性，株有枯萎病；棵植株未感染红叶螨，其中株无枯萎病，株有枯萎病．
以植株“是否感染红叶螨”和“对枯萎病是否有抗性”为分类变量，根据上述数据制作一张列联表；
根据上述数据，是否有的把握认为“植株感染红叶螨”和“植株对枯萎病有抗性”相关？说明理由．
附：，．20.  本小题分
已知椭圆的左右焦点为、，过不过椭圆的顶点和中心且斜率为直线交椭圆于、两点，与轴交于点，且，．
若直线过点，求的周长；
若直线过点，求线段的中点的轨迹方程；
求证：为定值，并求出此定值．
 
 
 21.  本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围；
设，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由“”得，
由得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选A．  2.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，不满足，不符合题意；
对于，，每个变量的概率都大于小于，符合题意；
对于，，不符合题意；
对于，，不符合题意．
故选：．
根据题意，由随机变量分布列的性质依次分析选项是否符合题意，即可得答案．
本题考查随机变量的分布列，注意分布列的特点，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：对于，根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，故A错误；
对于，甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，故B正确；
对于，甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，故C正确；
对于，对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，
故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确．
故选：．
根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案．
本题主要考查了统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由，得，，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：，
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是．
故选：．
根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：因为集合，集合，
则．
故答案为：．
由已知结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：在复平面内，点对应的复数，则．
故答案为：．
求出复数，然后求解复数的模．
本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
 7.【答案】 【解析】解：由题意得，
解得．
故答案为：
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
 8.【答案】 【解析】解：设等差数列的公差为，则，解得，
故，
故答案为：．
设等差数列的公差为，依题意，列式，解之即可．
本题考查等差数列的通项公式及其应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：因为，解得：，
则，
当且仅当，时取等号．
故答案为：．
利用等式求解，代入计算，结合基本不等式，即可求得的最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：的二项展开式的通项公式为，
令，求得，
则展开式的常数项等于，
故答案为：．
先求出二项展开式的通项公式，然后由，求出，再求出常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：反面法：取出的个球颜色齐全但号码齐全的情况为种，
取出的个球颜色齐全但号码不全的概率是．
故答案为：．
反面法：取出的个球颜色齐全但号码齐全的情况为种，取出的个球颜色齐全但号码不全的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 12.【答案】 【解析】解：随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，
．
故答案为：．
随机变量服从正态分布，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性得到，即可得到结果．
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：如图，设，，
由题意可得：，
解得：，
所以，．
故答案为：．
设，，由题意可得：，解得，进而根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
由，取，得，
直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，
，解得，双曲线的标准方程为．
故答案为：．
由题意可得关于，，的方程组，求解与的值，则答案可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由条件可得，，，
一定在回归方程上，代入解得，
故，
，，，
．
故答案为：．
一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可．
本题考查相关系数的应用，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，
所以的图象关于中心对称，
当时，，
故的图象如图所示：

结合图象，可知只需当时，即可，
即，故，
所以的最大值为．
故答案为：．
根据题设条件画出函数的图象，结合可知只需当时，即可，然后求出实数的最大值．
本题考查了函数的奇偶性和不等式的恒成立问题，属于中档题．
 17.【答案】解：因为

，
所以的最大值为，最小值为．
结合可知，所以．
因为，所以，
则．
由余弦定理得，
化简得．
又，
由正弦定理可得，即
结合得或．
当时，；
当时，．
综上，的面积为或． 【解析】把化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；
先求出角，由余弦定理得到关于，的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含，的方程，联立方程组即可解出，的值，再代入三角形的面积公式即可．
本题主要考查三角形中的几何计算，属于中档题．
 18.【答案】解：取中点，连接，．
、都是以为斜边的解三角形，，，
又平面平面，平面平面，面，平面．
平面，，，四边形为平行四边形，
，面，面，
面．
直线与平面没有公共点；
由可得面，
在中，，，．
，，．
点到平面的距离为． 【解析】取中点，连接，可证明四边形为平行四边形，可得面即直线与平面没有公共点；
，可得点到平面的距离．
本题考查空间点、线、面位置关系，线面间的距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转
 19.【答案】解：见下表：  感染红叶螨未感染红叶螨总计对枯萎病有抗性对枯萎病无抗性总计提出原假设：植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关，
确定显著性水平，
计算的值．将列联表的数据代入的计算公式得，
统计决断：由，而，小概率事件没有发生，故不能否定原假设，
因此，植株感染红叶螨与植株对枯萎病有抗性无关． 【解析】数据分析填写列联表；
在的基础上，计算卡方，与比较后得到答案．
本题考查了独立性检验，属于中档题．
 20.【答案】解由题意椭圆的长轴长．
的周长为

．
由题意直线．
由，得，
由题意恒成立．
设，，，
则，
．
即．
消去得点的轨迹方程为
证明：由，得，
同理．
由题意直线的方程为，
代入得：，
由题意
．
由韦达定理得，，






综上可知为定值． 【解析】本题考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
根据椭圆的定义可得的周长，
由题意直线，根据韦达定理，和中点坐标公式，消去参数即可求出线段的中点的轨迹方程；
根据向量的运算可得，再题意直线的方程为，代入，由此利用韦达定理结合已知条件能证明
 21.【答案】解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减，
综上，当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
由知当时，在上单调递增，
，当时，，
因此在上不恒成立，
当时，由知，
要使在上恒成立，则，
设，则由，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，当且仅当时等号成立，
又由题意，，
故，从而；
证明：，
令，则上式化为，
下面证明：当时，有，
由知当时，的最大值为，即，
也即当且仅当时等号成立，
，，
设，则，
在上单调递增，因此，
即，也即，
综上，． 【解析】求导，再分和两种情况讨论即可得解；
结合分和两种情况讨论，易得当时，，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得解；
，
令，则上式化为，再结合，构造函数，利用导数求出最值，即可得证．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．