2023年江苏省南京重点大学附中高考数学模拟试卷（5月份）

这是一份2023年江苏省南京重点大学附中高考数学模拟试卷（5月份），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南京重点大学附中高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知全集，，则中元素个数为(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个2.  已知复数，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件7.  已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部包含边界，且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间内的学生人数为人则(    )
A. 的值为，的值为
B. 平均分为，众数为
C. 中位数为
D. 已知该校共名学生参加模拟训练，则不低于分的人数一定为人10.  已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则(    )A. 的最小正周期为
B.
C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D. 函数在上有且仅有一个零点11.  如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为则(    )A. 平面
B. 平面平面
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
 
 12.  点是直线上的一个动点，，是圆上的两点则(    )A. 存在，，，使得
B. 若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C. 若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D. 若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为______ ．14.  某班有名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在分到分的人数约是______ 按四舍五入法保留整数
附：，，．15.  已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则 ______ ．16.  设，，若对任意的，均为上的增函数，则的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
求角的值；
求面积的取值范围．18.  本小题分
设为数列的前项和，已知，且满足．
求数列的通项公式；
设为数列的前项和，当时，若对于任意，有，求的取值范围．19.  本小题分
甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为，，，其充电器的合格率分别为，，．
当地工商质检部门随机抽取个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差；
现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率．20.  本小题分
如图，平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置如图，且满足平面平面．

证明：平面；
若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值．21.  本小题分
已知椭圆，椭圆点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且．
求椭圆的标准方程；
以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．22.  本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，若，求证：；
求证：对于任意都有．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：全集，
，
，，
，
则中元素个数为．
故选：．
利用补集、交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：将一枚质地均匀的骰子投掷两次，该试验的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共种，
设事件“第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除”，
则事件，，，，，，，，，，，，，，共种，
第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为．
故选：．
根据古典概型的计算公式，能求出第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
，即，
平面向量基本定理知，，解得：，．
故选：．
由条件可将表示出来，则，再由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可求出，．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，还考查了转化思想和计算能力，属中档题．
 5.【答案】 【解析】解：由已知条件可得，，，
设，
则，，
则该双曲线的离心率．
故选：．
由双曲线的定义，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的定义，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．
 6.【答案】 【解析】解：等比数列的公比为，前项和为，
当时，对任意的，都有，
又，
，
，，构成等比数列，
反过来：对任意的，，，构成等比数列，则必有，
“”是“对任意的，，，构成等比数列”的充要条件．
故选：．
根据等比数列的性质，充分与必要条件的概念，即可求解．
本题考查等比数列的性质，充分与必要条件的概念，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：由题知，所以，所以，
因为，则，，
所以，
令，，则，
因为恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
因为，
所以，即．
故选：．
构造函数，再根据函数的单调性得，再与求和整理即可得答案．
本题主要考查对数的运算性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，

设圆柱体的高为，设圆柱上底面截棱锥所得直角三角形的直角边长为，
，，
，即．
由等面积法可得：，
则，可得圆柱体的体积
．
当且仅当，即时等号成立．
故选：．
设圆柱体的高为，设圆柱上底面截棱锥所得直角三角形的直角边长为，可得，再由等面积法把圆柱的底面半径用表示，代入圆柱体积公式，再由基本不等式求最值即可．
本题考查多面体内切圆柱体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：由解得，，，选项正确；
利用中值估算抽样学生的平均分：，所以，估计这次考试的平均分是，
由频率分布直方图可知，成绩分布在间的频率最大，所以众数的估计值为区间的中点值，选项正确；
区间内的频率为，区间内的频率为，
故中位数在区间内，设中位数为，则，，选项错误；
通过样本估计总体，得到的是估计值，不是准确值，选项错误．
故选：．
由频率分布直方图的众数、中位数、平均数以及频数的计算公式对选项一一判断即可得出答案．
本题考查由频数分布直方图求频数、频率、中位数、平均数、众数，用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：函数在上单调，
所以：，整理得，故，
由于曲线关于点对称，故，，
故，，当时，，，
所以函数的最小正周期，故A正确；
，，
即，B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
由于函数，故函数为偶函数，故C正确；

令函数，整理得，由于，如图：
，则与在上只有一个交点，
则在上有且仅有一个零点．D正确．
故选：．
把求出来，结合图象和性质依次判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：如图，以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
由题意，知，，，，，，
所以，，，

设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
，所以不垂直于，所以不平行于平面，故A错误；
连接与交于，连接，
由正四棱锥的性质知，，，
，平面，
又易证，平面，
又平面，平面平面，
又，设与平面所成角为，
，，，故C错误；
又，
点到平面的距离为，故D正确；
故选：．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断每个选项的正确性．
本题考查利用向量法证明线面平行，点到面的距离的求法，面面垂直的证明，线面角的正弦值的求法，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：当直线，均与圆相切，且是点到直线的距离最大，最大，
此时，所以为锐角，
所以不存在，，，使得，故A错误；
若，均与圆相切，，又，
，当最小时，最小，
又的最小值即为到直线的距离，的最小值为，故B正确；
设，由，，，四点共圆可得以为直线径的圆的方程为，
即，公共弦所在直线方程为，
直线过定点，故C正确；
若存在，，使得，则需，均与圆相切时，，
则，可得，则，
设，可得，解得，
所以点的横坐标的取值范围是，故D正确．
故选：．
根据每个选项的条件结合圆的几何性质逐项计算可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查转化思想与运算能力，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：知，的展开式中存在常数项，
故，
所以，当时，的最小值为．
故答案为：．
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为数学成绩服从正态分布，
所以，
计算，
理论上在分到分的人数约是人．
故答案为：．
根据服从正态分布，计算的值，再求计算理论上在分到分的人数即可．
本题考查了正态分布的概率计算问题，是基础题．
 15.【答案】 【解析】解：曲线：，：，
设公切线与，的切点为，，可知，
由，
得，，
，，可得，即，
，
构造函数，，
问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点，
，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
的最大值为，，当时，，
故．
故答案为：．
设公切线与，的切点为，，可得，进一步得到，构造函数，，利用导数求最值得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，是中档题．
 16.【答案】 【解析】解：根据题意，，
，
则方程满足，
因为，
所以，
当无解时，即，时，对于任意的都有，即恒成立，
所以在上严格增．
当有解时，即，时，
取，则，，
设的两个根为，，
则
所以，均为大于，
所以在，上严格递增，在上严格递减，不满足条件，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：
根据题意，求出的表达式和导数，分析可得则方程满足，分两种情况：当无解时，当有解时，求出的取值范围，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调性以及性质，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，且，
由正弦定理得，
得到，
所以，
因为，
所以．
因为，，
所以由正弦定理，可知，可得，，
所以面积







，
因为，
所以，
所以，
所以． 【解析】由题意利用正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求的值，结合，即可求解的值．
由题意利用正弦定理可得，，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换可求面积，根据，可求，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 18.【答案】解：根据题意可知，
，
则，
两式相减得：，
即，
则，
当时，；
当时，符合上式，
故数列的通项公式为．
根据可知，当时，，
即，
，
，
当时，满足，
当时，存在，使得，
则，
所以，不满足条件，
所以．
故的取值范围是 【解析】，，两式相减，求解并验证即可；
根据得到的通项公式，结合裂项相消法求出，再分和两种情况，讨论即可．
本题考查数列的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，
“该手机充电器由乙厂生产”为事件，
“该手机充电器由丙厂生产”为事件，
“该手机充电器是合格品”为事件，
“该手机充电器是不合格品”为事件，
则，
的取值为，，，
，
，
，
，
所以分布列为 且，故，，
的期望是，方差是．
因为，，，，，，，，
则，
，
，
故它是由甲厂生产的概率是． 【解析】根据题意可得的取值为，，，再根据二项分布可解；
根据全概率公式可解．
本题考查离散型随机变量的分布列，期望与方差，以及全概率公式的应用，属于中档题．
 20.【答案】证明：取的中点，连结，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，，，平面，
平面．
解：取的中点，连结，在正三角形中，有，
由可知平面，
又平面，，
又，且，平面，平面．
取的中点，连结，
点是的中点，，
又，，
平面，，平面，
，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
，所以，，
设平面的法向量为，则，且，
则，令，则，即，
设平面的法向量为，
则，
由题意可知，，
整理得，即，
得或，
又，． 【解析】利用线面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系进行求解即可．
本题主要考查空间线面垂直的判断，以及二面角的应用，利用线面垂直的判定定理以及建立坐标系，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 21.【答案】解：设，，，因为，所以，，
因为点为椭圆上的动点，所以，从而，
即，
故椭圆的标准方程：；
设，，
当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，
，
，即，代入得直线的方程为，
联立，消去得，，，
，
注意到化简得，
又，，
所以点到直线：得距离为，
所以点到直线：得距离为，
故，
当直线的斜率不存在时，即，若，
则，，，，
所以，
同理可得，若，，
综上，四边形的面积为定值． 【解析】根据，得到、两点与点的坐标关系，代入求得椭圆的标准方程；考虑两种情况：直线斜率存在和不存在，将四边形的面积分为和两个三角形面积求和，即可求出定值．
本题考查椭圆的性质和标准方程，以及椭圆与直线联立求定值，计算较大，属于中档题．
 22.【答案】解：函数的定义域是．
由已知得，．
当时，当时，，当时，，
所以的单调递减为，单调递增区间为；
当时，当或时，，单调递增，当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，当时，，所以的单调递增区间为，无递减区间；
当时，当或时，，当时，，
所以函数的单调递减为，单调递增区间为和．
综上，当时，函数的单调递减为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递减为，单调递增区间为和．
证明：当时，，
由知，函数在单调递增且；
令
，
令，从而，
所以恒成立，
设，
．
证明：由知：时，
即，
故在时恒成立；
所以，
，
，

，
相加得：． 【解析】求出函数的定义域，求导，再分类讨论，根据导数与单调性的关系即可求解单调区间；
令，由，可证得恒成立，即，结合可证得；
利用，对进行放缩，即可证明不等式成立．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．