2023年内蒙古赤峰市桥北重点中学高考数学模拟试卷（理科）

这是一份2023年内蒙古赤峰市桥北重点中学高考数学模拟试卷（理科），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古赤峰市桥北重点中学高考数学模拟试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，为纯虚数，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  某学校共人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在分以上的学生人数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，满足约束条件，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，放置在桌面上的直三棱柱容器中，灌进一些水，水深为，水面与容器底面平行现将容器底面的一边固定于桌面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图，则容器的高为(    )

 A.  B.  C.  D. 6.  已知双曲线的渐近线与抛物线交于、是坐标原点两点，是抛物线的焦点，已知，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，在四边形中，，，，，，，则(    )A.
B.
C.
D. 8.  定义运算如果，，满足等式，函数在单调递增，则取最大值时，函数的最小正周期为(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知四棱锥的底面是边长为的正方形，且若四棱锥的五个顶点在同一球面上，已知棱最大值为，则四棱锥的外接球体积为(    )A.  B.  C.  D. 11.  下列结论：若方程表示椭圆，则实数的取值范围是；双曲线与椭圆的焦点相同是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上任一点与，不重合，已知直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为错误的个数是(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个12.  已知函数的一条对称轴是，若存在，使直线与函数的图像相切，则当取最小正数时，实数的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  若，则二项式的展开式中，常数项是______ ．14.  函数的极大值点为______ ．15.  “康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一，定理的内容是：如图，的三条边长分别为，，即，，延长线段至点，使得，以此类推得到如图所示的点，，，，，那么这六点共圆，此圆称为康威圆若，，，往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为______ ．
 16.  已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
设各项都为正数的数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设函数，且，求数列的前项和．18.  本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．
求证：平面平面；
设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.  本小题分
中国职业男篮总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加万元．
求总决赛中获得门票总收入恰好为万元的概率；
设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望．20.  本小题分
已知，为双曲线：的左、右焦点，的离心率为，为上一点，且．
求的方程；
设点在坐标轴上，直线与交于异于的，两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由．21.  本小题分
已知函数在处的切线方程为．
若；
证明有两个零点．22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系直线的极坐标方程为：，，已知直线与曲线相交于，两点．
求曲线的极坐标方程；
记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围．23.  本小题分
已知函数．
若对任意恒成立，求的最小值；
若恒成立，求实数的取值范围；
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
所以，所以，
所以，所以．
故选：．
为纯虚数，根据复数的乘法法则，标准代数形式下实部为，即可求出，然后即可求．
本题主要考查纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为集合，
集合，
由补集的定义可得：，
结合交集的运算可得．
故选：．
根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合，，然后利用交集和补集的运算即可求解．
本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于中档题．
 3.【答案】 【解析】解：由已知可得，，所以．
又，根据正态分布的对称性可得，
所以．
所以，可估计成绩在分以上的学生人数为．
故选：．
由已知可得，根据正态分布的对称性可推得，即可得出答案．
本题主要考查正态分布的对称性，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

表示可行域内的点与点连线的斜率，
联立方程，得交点坐标，
由图得，当过点时，斜率最小为，
所以的最小值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，数形结合求出的最小值．
本题主要考查了线性规划的应用，利用表示的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：设直三棱柱的底面积为，高为，
由题意可得，，得．
故选：．
设直三棱柱的底面积为，高为，由两图形中水的体积相等列式求解．
本题考查几何体的体积的求解，化归转化思想，是基础题
 6.【答案】 【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为：，
联立，解得或，
因为，
所以由抛物线的定义得，
解得．
故选：．
易得双曲线的一条渐近线方程为：，与双曲线方程联立，求得点的坐标，再根据，利用抛物线的定义求解．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：以为坐标原点，以为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，
故，
则由可得，
即，，
故．
故选：．
建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：，
因为，所以，
而，所以，即，
当时，，
因为在上单调递增，所以，
解得，
当取最大值时，的最小正周期．
故选：．
求出函数的解析式，根据已知条件求出的值，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可得出的最大值，利用正弦型函数的周期公式可求得结果．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：


当且仅当，也即时取等号，
，
故选：．
利用对数的运算性质和基本不等式即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：如图，由，则，因为，，
，平面，所以平面，即点在与垂直的圆面内运动，
由题意知，当、、三点共线时，达到最长，此时，是圆的直径，
则，所以，又，，
，平面，所以平面，

此时可将四棱锥补形为长方体，
则与重合，且面对角线，
所以长方体的体对角线，
．
故选：．
根据题意易知平面，点在与垂直的圆面内运动，显然是圆的直径时，达到最长，然后得到平面，将四棱锥补形为长方体，进而求解外接球半径，即可求出结果．
本题考查四棱锥的外接球问题，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，化归转化思想，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：若方程表示椭圆，
则，
解得或，故错误；
双曲线化成标准方程为，焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，不相同，故错误；
双曲线中，
因为是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，
所以由双曲线的定义得，若，则或，
而双曲线上的点到焦点距离的最小值为，
所以舍去，所以，故错误；
设，因为是椭圆上任一点，
所以，所以，
又直线与椭圆：交于，两点，设，，
所以，所以，
因为直线与直线的斜率之积为，
所以，
所以，所以，又，所以，故正确；
综上，错误的有个．
故选：．
根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围，从而判断；直接求出双曲线和椭圆的焦点坐标可判断；由双曲线的定义可判断；
设出点，，的坐标，用坐标表示出直线与直线的斜率之积，然后根据点在椭圆上化简，进而可求出椭圆的离心率，可判断．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，点差法的应用，化归转化思想，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：，
是的一条对称轴，
，，
，又，
的最小正整数值为．
，
，
若，使与相切，
则，且，
解得或．
故选：．
利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的对称性求，再由导数的几何意义求的取值范围．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，所以，解得，
则二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项是，
故答案为：．
先由求出的值，再用二项式的展开式的通项可求解．
本题考查二项式定理，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
令，则，解得或，
当或时，，
当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
当时，取得极大值，
所以函数的极大值点为．
故答案为：．
利用函数的极大值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由中，，，则，
由余弦定理得，得，
所以，故为直角三角形，其面积为，
设的内切圆半径为，圆心为，则，即，
由已知，所以也为此康威圆的圆心，
设康威圆半径为，结合图及圆的性质知：，故此康威圆面积为
故往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为．
故答案为：．
根据已知及余弦定理求得，易知为直角三角形，利用几何概型的面积比求点落在内的概率．
本题考查几何概型相关知识，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：因为不等式对任意恒成立，
整理得，
即，
不妨设，函数定义域为，
易知．
因为在定义域上单调递增，
所以，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
则，
解得．
故答案为：．
由题意，将不等式对任意恒成立，转化成，设，根据函数的单调性得到在上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，列出等式即可求出实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
 17.【答案】解：由，可得，
当时，，

以上各式分别相加得，又，
所以当时，，
经检验符合，
所以，；
，
，
，
两式相减得：，
所以，
故，
所以． 【解析】由递推关系，根据累加法求数列的通项公式；
由条件可得，利用错位相减法求数列的前项和．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】证明：如图，设交于点，连接，，，
由已知可得，又，
所以四边形为菱形，所以，
，，，
，，
，又，所以，
因为为的中点，，．
由余弦定理可得，
，所以，即，
又，平面，，平面．
又平面，平面平面；
解：由已知平面，平面，所以，
又，，，平面，
平面，
又平面，．
由知，，，平面，
所以平面，
，又点为的中点，
所以，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
设，则，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
构建，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
时，取到最大值．
此时取到最大值． 【解析】设交于点，证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面．
先证明平面，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求线面角的正弦，利用导数求其最大值．
本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
 19.【答案】解：依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为，公差为的等差数列．
设此数列为，则由题意知，，
所以．
解得或舍去，所以此决赛共比赛了场． 
则前场比赛的比分必为：，且第场比赛为领先的球队获胜，
其概率为．
所以总决赛中获得门票总收入恰好为万元的概率为．
随机变量可取的值为，，，，即，，，．
，，
，，
所以的分布列为所以． 【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查等差数列、概率性质等基础知识，考查对立事件概率计算公式运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为，公差为的等差数列．设此数列为，则，，求出，此决赛共比赛了场．前场比赛的比分必为：，且第场比赛为领先的球队获胜，由此能示出总决赛中获得门票总收入恰好为万元的概率．
随机变量可取的值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
 20.【答案】解：双曲线的离心率为，
，
又，解得，
则，
，
故双曲线的方程为；
由得在双曲线：中，，
则点在双曲线的左支上，点在坐标轴上，即点的坐标为，
设，，
当的斜率存在时，设的方程为，
联立，整理得，
，则，
则，，
在以为直径的圆上，，
则，
，
整理得，解得或，
经检验均满足，
当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，则直线过定点，符合题意．
当直线的斜率不存在时，由，
可设直线的方程为，联立，解得，，
直线的方程为，则直线过定点，
，是以为斜边的直角三角形，
点在以为直径的圆上，
则当为该圆的圆心时，为该圆的半径，即，
故存在点，使得为定值． 【解析】根据双曲线的离心率和双曲线的定义求出、，即可得出答案；
分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理和求出直线方程，求解即可得出答案．
本题考查直线与双曲线的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：对函数求导可得，则，
因为在处的切线方程为
，
证明：由知，
要证有两个零点，即证方程有两个不等实根，即证函数
与有两个交点
令，，单调递增，又，
当时，，，函数与无交点．
当时，，
当时，，
令，
当时，．
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，，，，，
即当时，，当时，，
综上，当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减．
又时，且当时，，
，，
函数与有两个交点，
即函数有两个零点． 【解析】对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；
根据题意将问题等价转化为函数与有两个交点，令，对函数求导，判断函数的单调性，然后求出最值，即可证明．
本题主要考查了函数与导数的综合应用，函数的性质是高考压轴题的核心思想，属于难题．
 22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
曲线的直角坐标方程为，
化为一般式得：，
设，
，
曲线的极坐标方程为：；
联立和，得，
设、，则，
由，得，
当时，取最大值，故实数的取值范围为． 【解析】利用可得曲线的直角坐标方程，再由可得曲线的极坐标方程；
联立和得，设、，由得，利用的范围可得答案．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 23.【答案】解：由题意可知，
函数的图象如下：

由图知，即，
即，当且仅当时等号成立，
，，解得，当且仅当时等号成立
故的最小值为．
令，为过定点的斜率为 的直线，
则，表示函数恒在函数图象的上方，
由图象可知；．
 【解析】本题考查函数的图象，函数的恒成立条件的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．
利用函数的最小值转化求解不等式即可．
去掉绝对值符号，然后画出函数的图象，利用函数的图象求解不等式即可．