2023年湖南省长沙市长郡重点中学中考数学二模试卷

这是一份2023年湖南省长沙市长郡重点中学中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市长郡重点中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的算术平方根是(    )A.  B.  C.  D. 2.  某种粒子的质量为，将用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算中，计算结果正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线
C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线5.  如图，直线，，，则等于(    )A.
B.
C.
D. 6.  我市某一周的最高气温统计如表：则这组数据的中位数与众数分别是(    )最高气温天数
  A. ， B. ， C. ， D. ，7.  如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是(    )A.
B.
C.
D.
 9.  如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是(    )A.
B.
C.
D.
 10.  如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  因式分解          ．12.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______ ．13.  反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，直于轴，垂足是点，若，则的值为______ ．
 14.  如图，为直径，、是圆上两点，，，则 ______ ．
 15.  如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，若，，则与的面积比为______．
 16.  如图，已知菱形的边长为，对角线，相交于点，点分别是边，上的动点，，连接，是等边三角形；的最小值是；当最小时，；当时，其中正确的结论有______ 填写所有正确结论的序号
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  先简化，再求值：，其中，．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分
在某海域，一艘海监船在处检测到南偏西方向的处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西方向以海里小时的速度去截获不明船只，经过小时，刚好在处截获不明船只，求不明船只的航行速度．，结果保留整数
 
20.  本小题分
据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．

接受问卷调查的学生共有______名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为______；请补全条形统计图；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．21.  本小题分
如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
求证：；
当，，时，求的长．

 22.  本小题分
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜个、乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元．
甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
若该校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元，请设计几种购买方案供这个学校选择．23.  本小题分
如图，为的直径，直线与相切于点，于点，交于点．
求证：平分；
求证：
若，求的值．
24.  本小题分
在初中学习中，我们知道：点到直线的距离是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，最短的线段即垂线段的长度类比，我们给出点到某一个图形的距离的定义：点与图形上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点到图形的距离，记为，图形特别地，若点在图形上，则点到图形的距离为，即，图形．

若点是内一点，的半径是，，则 ______ ；
如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上方若，，则 ______ ； ______ ；
在正方形中，点，如图，若点在直线上，且，求点的坐标；
已知点，记抛物线为常数的图象为，若的最小值为，求的值．25.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点，直线：经过点，与轴负半轴交于点．

若，且，求的值；
如图，若点为的内心，且的内切圆半径为，直线上是否存在点不与点重合，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点是抛物线与直线的另一个交点，已知，且的面积为此时，对于在抛物线上且介于点与点之间含与的动点，总能使不等式及不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的算术平方根是，
故选：．
根据算术平方根的定义进行解答即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的求法是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：，所以选项符合题意；
B.，所以选项符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项符合题意；
故选：．
根据积的乘方与幂的乘方对选项进行判断；根据完全平方公式对选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对选项进行判断；根据合并同类项对选项进行判断．
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决问题的关键，完全平方公式为也考查了幂的运算和合并同类项．
 4.【答案】 【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 5.【答案】 【解析】解：如图，直线，
，
，
，
，，
，
故选：．
首先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形的外角的知识求出的度数．
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出的度数，此题难度不大．
 6.【答案】 【解析】解：由表格中的数据可得，
这组数据的中位数是，众数是，
故选：．
根据表格中的数据可知，第个数据是，即可得到中位数；出现的次数最多，即可得到众数．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．
 7.【答案】 【解析】解：绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，
旋转角最小是，
，，
，
由旋转而成，
，
，
故选：．
先判断出旋转角最小是，根据直角三角形的性质计算出，再由旋转的性质即可得出结论．
此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：易得此几何体为圆锥，底面直径为，高为，
则母线长为，
所以圆锥的侧面积，
故选：．
易得圆锥的底面直径为，高为，根据勾股定理可得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了由三视图判断几何体及圆锥的计算的知识，解题的关键是能够确定几何体的形状，难度不大．
 9.【答案】 【解析】解：由函数图象可知，当时，，
所以关于的不等式的解集是．
故选：．
根据函数图象即可直接得出结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【解答】
解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式．
先提取，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：由题意知，，
，
故答案为：．
根据方程有实数根，得出，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：垂直于轴，垂足是点，，
，
函数图象在二、四象限，
，
．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
本题比较简单，考查的是反比例函数中比例系数的几何意义，体现了数形结合的思想．
 14.【答案】 【解析】解：如图，连接，，
，
，
，
又，
为弧的中点，
，
．
故答案为：．
连接，，由，可得弧所对的圆心角为，，由可知为弧的中点，所以弧所对的圆周角为，则．
本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．
 15.【答案】 【解析】解：，，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
与的相似比是，
与的面积的比是．
故答案是：．
根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
 16.【答案】 【解析】解：四边形是边长为的菱形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形，故正确；
由知，是等边三角形，
，
当时，取得最小值，即取得最小值，
当时，如图，

为等边三角形，，
，
在中，，
的最小值时，故正确；
当最小时，，
由知，，
四边形为菱形，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，故错误；
当时，如图，

由知，≌，
，
，
，
四边形为菱形，
，，，
，
，
∽，
，
，
，故正确．
综上，正确的结论有：．
故答案为：．
易得为等边三角形，得到，根据菱形的性质可得出，再利用同角加等角相等可推出，于是可通过证明≌，得到，即可判断；利用垂线段最短可知，当时，取得最小值，即取得最小值，利用勾股定理可求出，以此判断；当最小时，，由菱形的性质可得，，易得，则，∽，得到，再利用图形之间的面积关系即可判断；由≌可得，则，由菱形的性质可得，易证∽，利用相似三角形的性质即可判断．
本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题关键．
 17.【答案】解：


，
当，时，
原式． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再计算乘法，约分后利用同分母分式的减法法则计算，得到最简结果，最后把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 18.【答案】解：原式
． 【解析】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算．
本题考查的是实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 19.【答案】解：作垂直于的延长线于点，

由题意得：，，海里，
在中，海里，海里，
在中，，
海里，
海里，
海里小时，
不明船只的航行速度约是海里小时． 【解析】作垂直于的延长线于点，根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．
本题考查解直角三角形、方向角、三角函数、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会用转化的思想解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．
 20.【答案】，  ；
补全条形统计图如图所示：

根据题意得：人，
则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为人；
列表如下： 剪石布剪剪，剪石，剪布，剪石剪，石石，石布，石布剪，布石，布布，布所有等可能的情况有种，其中两人打平的情况有种，
则两人打平的概率为 【解析】【分析】
本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以得到结果，补全条形统计图即可；
求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以即可得到结果；
列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】
解：根据题意得：名，
“了解”人数为名，
“基本了解”占的百分比为，
占的角度为，
故答案为，；
见答案；
见答案．  21.【答案】证明：，
，．
是边上的中线，
．
在与中，

；
解：，
，
，
，，
． 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论；
根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
 22.【答案】解：设甲种书柜每个的价格为元，乙种书柜每个的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：设甲种书柜每个的价格为元，乙种书柜每个的价格为元．

设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
可以取的值为：，，．
学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜个，乙种书柜个；
方案二：甲种书柜个，乙种书柜个；
方案三：甲种书柜个，乙种书柜个． 【解析】设甲种书柜每个的价格为元，乙种书柜每个的价格为元，根据“若购买甲种书柜个、乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量且学校至多能够提供资金元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 23.【答案】证明：连接，则，
，
为的切线，
，
，
，
，
，

平分；
证明：连接，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；

解：设，则，
，
由知，，
，
根据勾股定理得，，
由知，，
，
∽，
，
，
，
． 【解析】先判断出，再判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，进而得出，再判断出，得出，进而判断出，进而判断出∽，即可得出结论；
设，则，，进而求出，根据勾股定理得出，，再判断出∽，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，作出辅助线是解本题的关键．
 24.【答案】     【解析】解：点是内一点，的半径是，，
，
则，
故答案为：；
如图，
过点作于，过点作于的延长线于，

，
，
，
，
在中，，，
，
即：，
点到边的最近距离为，
即：，
故答案为：，；
，
直线的解析式为，
当点在直线上方时，
由知，点在上，
而，
，，
，
当在直线下方时，，
设，
，
或舍，
，
综上所述，点的坐标为或；
设，
依题意可知，，，消得：，
在直线上，
又过，
该抛物线开口向上，即，
的最小值为，
将向上平移个单位长度至，此时与抛物线只有一个交点，
联立，
得：，
，
解得：或．
利用圆内一点到圆上点的最近距离即可得出结论；
先判断出点，是否在射线上，再计算即可得出结论；
分两种情况，建立方程或方程组即可得出结论；
设，依据得到，然后依据抛物线过，确定；依据的最小值为，将向上平移个单位长度至，联立方程得，然后依据解得的值即可．
此题是一次函数综合题，主要考查了直角三角形的性质，解方程组和解方程，点到直线的距离和点到圆上最近距离的特点，掌握新定义是解本题的关键．
 25.【答案】解：在中，令，得：，
解得：，，
，，
，
抛物线：与轴交于点，
，
，
，，
在中，，
，
，
；
存在．理由如下：
，，，
，，
点为的内心，且的内切圆半径为，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
整理得：，
两边平方，化简得：，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
设，则，
，∽，
，
，即，
解得：，
，
直线上存在点不与点重合，使得与相似，；
由知：，，
，
，
直线：经过点，与轴负半轴交于点，
，
解得：，
直线解析式为：，
点是抛物线与直线的另一个交点，
，
解得：舍去，，
，
，
的面积为，
，
解得：，
，
动点在点与点之间含与，
，，
当时，，
，且，
当时，取得最大值，即，
当时，取得最小值，即，
又，及，
． 【解析】在中，令，可求得点，的坐标，根据为的外心，可得，再运用勾股定理即可求得的值；
运用待定系数法可得直线的解析式为，利用三角形面积可求得，，利用勾股定理得：，，设，则，运用相似三角形性质建立方程求解即可得出，；
运用待定系数法可得直线解析式为：，联立方程组求解得出，利用三角形面积建立方程求解即可得出，，推出，，再运用二次函数的性质即可求得答案．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数与二次函数交点，三角形内心、外心，三角形面积，中点坐标，二次函数的图象和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等；是一道综合性较强的压轴题，解题时务必要认真审题，理清思路，能够将相关知识点结合起来；充分利用题目中的信息，运用方程思想是解题关键．