2023年湖南省金太阳高考数学联考试卷

这是一份2023年湖南省金太阳高考数学联考试卷，共18页。试卷主要包含了 7+3=，006， 住房的许多建材都会释放甲醛等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省金太阳高考数学联考试卷（4月份）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  (    )A.  B.  C.  D. 3.  若圆与轴相切，则圆的方程可以为(    )A.  B.
C.  D. 4.  某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把名人员的成绩单位：分绘制成频率分布直方图每组数据均左闭右开，则(    )
A.
B. 估计这名人员成绩的中位数为
C. 估计这名人员成绩的平均数为同一组数据用该区间的中点值作代表
D. 若成绩在内为优秀，则这名人员中成绩优秀的有人5.  已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则(    )
A. 在上有增也有减 B. 有个极小值点
C.  D. 有个极大值点6.  一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共层，第层有座塔，从第层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计座塔已知包括第层在内的其中层的塔数可以构成等差数列，剩下的层的塔数分别与上一层的塔数相等，第层与第层的塔数不同，则(    )
A. 第层的塔数为 B. 第层的塔数为
C. 第层与第层的塔数相等 D. 等差数列的公差为7.  住房的许多建材都会释放甲醛甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度单位：之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(    )A. 周 B. 周 C. 周 D. 周8.  已知四棱锥的每个顶点都在球的球面上，球的表面积为，平面，底面是等腰梯形，，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积可能是(    )A.  B.  C.  D. 10.  设符号函数，已知函数，则(    )A. 是偶函数 B. 在上先增后减
C. 的最小正周期为 D. 的图象关于点对称11.  如图，正方形的边长为，是正方形的内切圆上任意一点，，则(    )A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为12.  已知双曲线：的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为(    )A.  B.  C.  D. 13.  复数的实部与虚部之和为______ ．14.  若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为______ ．15.  年月日，土耳其发生级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援已知某救援队共有人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排人，每人只去一个地区，则共有______ 种安排方案．16.  当，时，的最小值为______ ．17.  在中，内角，，的对边分别为，，，且，，是公差为的等差数列．
若，求的面积．
是否存在正整数，使得的外心在的外部？若存在，求的取值集合；若不存在，请说明理由．18.  国产科幻电影流浪地球在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文，航天、数字科技等领域展开了无限遐想，某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为，，某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为，，．
若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望．19.  如图，在三棱柱中，侧面为菱形，．
证明：C.
若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
20.  已知两个正项数列，满足，．
求，的通项公式；
用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．21.  已知函数．
若为曲线上一点，求曲线在该点处的切线方程；
若，证明：．22.  设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，动直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于，异于，两点，且直线与的斜率之和为，求直线的方程．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，，则，
故选：．
根据集合的交集运算即可求得答案．
本题考查集合的定义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
利用指数的运算性质可求得所求代数式的值．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：依题意可得圆的圆心到轴的距离应等于圆心横坐标的绝对值，
的圆心为原点，不符合题意，A错误；
的圆心为，不符合题意，B错误；
的圆心为，半径为，符合题意，C正确；
圆心为，半径为，不符合题意，D错误．
故选：．
求出圆的圆心和半径，判断是否符合题意，即得答案．
本题主要考查圆的标准方程，考查转化能力，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：由直方图可得，所以，故A错误．
因为前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以中位数在内，设中位数为，则所以，故B错误．
由直方图可得平均数为，所以C正确．
因为成绩在内的频率为，所以这名人员中成绩优秀的有人，故D错误．
故选：．
由频率分布直方图的性质求，判断，根据中位数和平均数的定义求中位数和平均数，判断，由频率分布直方图求成绩优秀的频率，再求成绩优秀的人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由图可得，当，时，，当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以有个极大值点，个极小值点．
故A、B错误，而，，C错误．
故选：．
利用导函数图象与函数单调性、极值点的关系即可判定．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，已知包括第层在内的其中层的塔数可以构成等差数列，
设其公差为，
若，则层的塔数之和为，最多可以有座塔，不符合题意，
若，则层的塔数之和为，不符合题意，
则必有，则层的塔数之和为，剩下的层塔数分别为和，
则这层塔数为，，，，，，，，，，，，
由此分析选项：
对于，第层的塔数为，A正确；
对于，第层的塔数为，B错误；
对于，第层与第层的塔数相等，都是，C正确；
对于，等差数列的公差为，D正确．
故选：．
根据题意，设数列的公差为，结合等差数列前项和公式分析的值，进而可得层的塔数，由此分析选项，即可得答案．
本题考查数列的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
两式相减得，则，
，，
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，
则，即，解得，
故至少需要通风周．
故选：．
由已知数据求得参数，，然后解不等式，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，取的中点，过作，使得，连接，，，，

在等腰梯形中，由，，可得为正三角形．
因为底面是等腰梯形，所以也为正三角形，所以由平面，得平面，
则，同理，
又，而，
所以到，，，，的距离相等，则为球的球心．
在中，，，
所以球的表面积为，
解得．
故选：．
作图分析，结合图形的几何性质，确定外接球球心的位置，用表示出球的半径，根据球的表面积即可求得答案．
本题主要考查了四棱锥的外接球问题，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：侧面展开图是长，宽的矩形，
若圆柱的底面周长为，则底面半径，，
此时圆柱的体积
若圆柱的底面周长为，则底面半径，，
此时圆柱的体积．
故选：．
由已知中圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为，高为的和圆柱的底面周长为，高为，两种情况分别由体积公式即可求解．
本题主要考查圆柱的体积公式，圆柱的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：当时，，，
当时，，，，
因此函数是上的奇函数，
函数的定义域为，且，
函数，即是偶函数，A正确；
当时，，，，函数在上先减后增，
所以在上先增后减，B正确；
因为，，
即，因此的最小正周期不是，C错误；
因为，
故的图象关于点对称，D正确．
故选：．
根据给定条件，利用奇偶性定义判断；判断在上的单调性判断；取值验证判断；计算判断作答．
本题以新定义为载体，主要考查了函数的奇偶性，对称性，单调性及周期性的判断，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：以为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，

则，，
内切圆的方程为，
可设，
则，，
所以，当，即为的中点时取等号，
所以的最大值为，A正确；
因为，
所以，当，即时等号成立，
所以的最大值为，C错误，
由，可得，
得，，
，，
当，即时，所以所以的最大值为，B正确，
当，即时，所以所以的最大值为，D正确．
故选：．
建立平面直角坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断，由向量相等求，，结合三角函数性质求，的最值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：当时，直线与另一条渐近线平行，所以，
当时，如图，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，

由，得，则，所以，
则，所以，
则；
当时，如图，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，

则，由，得，
则，则，所以，
则，
所以，则．
综上，的离心率为或．
故选：．
利用直线的垂直关系及，分情况讨论得到关于，的方程，化为，的方程，即可求得离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，所以的实部与虚部之和为．
故答案为：．
由复数除法法则化简后得复数的实部和虚部，再求得和即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为，所以，
所以的标准方程为．
故答案为：．
根据抛物线性质得，则可得到其方程．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：人数分配有，，和，，两种情形，
所以共有种安排方案．
故答案为：．
讨论分派人数的情形，利用排列组合知识计算即可．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：，
当且仅当，时，，
所以的最小值为．
故答案为：．
代数式凑配后利用二次函数性质和基本不等式求解．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 17.【答案】解：，由正弦定理得，
，，是公差为的等差数列，，，
，，，，
，
，且，，
故的面积为．
假设存在正整数，使得的外心在的外部，则为钝角三角形，
依题意可知，则为钝角，则，
，解得，
，，
，
存在正整数，使得的外心在的外部，此时整数的取值集合为． 【解析】由结合正弦定理可得到，结合等差数列可求出，，的值，然后用余弦定理求出，继而求出，即可求得面积；
先假设存在，由题意可得是钝角三角形，而通过可得，再结合两边之和大于第三边即求出，即可求解．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
则的分布列为： 所以． 【解析】根据题意，利用独立事件的概率计算即可求解；
由题意可得的可能取值为，，，，利用独立事件的概率计算求出对应的概率，列出的分布列，求出即可．
本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：连接，交于，连接，
因为侧面为菱形，则，
而，为的中点，即有，
又，且，平面，
于是平面，而平面，
所以C.
设，而，有，，
又，则，即有，
因此，即，，两两垂直，
分别以射线，，的方向为，，轴的正方向，建系如图，

则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
显然平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】连接，交于点，连接，证明出平面，再利用线面垂直的性质推理作答．
以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两个平面夹角的余弦作答．
本题考查线线垂直的证明，线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题．
 20.【答案】解：两个正项数列，满足，，
，
解得，．
，
时，；
时，，，
，
，
时，；
时，数列的前项和，
，
相减可得：，
化为．
上式对于时也成立．
． 【解析】两个正项数列，满足，，化简可得，解得，．
，对分类讨论，利用的性质即可得出，利用错位相减法即可得出数列的前项和．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、取整函数的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：因为点在曲线上，
所以，所以，
所以，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为
，
所以过点的切线的方程为，即．
证明：要证明，即要证，
即证．
设，则，易得单调递增，
且，，所以存在时，，
所以当，；当，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
令，则，易得单调递减，
且，，所以存在时，，
所以当，；当，，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以．
又因为与互为反函数，两函数的图象均与函数的图象相交，
设两交点分别为，，则它们关于直线对称，
所以，．
又因为，且，所以，
，
所以成立． 【解析】利用点在曲线上及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解；
利用分析法及分离参数法，将所证问题转化为，再利用导数法求函数的最值即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
 22.【答案】解：依题意可得．
当直线经过点时，的方程为，
代入，整理得，，
解得，所以椭圆的方程为．
依题意可得直线的斜率不为，可设：，，
由，得，
则
则，
因为，
所以又因为，所以，
则直线的方程为与联立得，
所以的方程为，即． 【解析】由左右顶点得，再由直线与椭圆位置关系联立方程利用韦达定理得即可；
联立直线与椭圆方程，由椭圆定义及斜率关系计算即可．
本题考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查方程思想与运算求解能力，属于压轴题．