2023年浙江省金华市重点学校高考数学三模试卷

2023年浙江省金华市重点学校高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  全集，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数的图象大致形如(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知向量，向量在方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图，已知正四棱锥的高为，其侧棱与高的夹角为，则该正四棱锥的体积约为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，，，，若，，则(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题中正确的是(    )

A. 已知一组数据，，，，，，则这组数据的分位数是
B. 样本相关系数的绝对值越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强
C. 已知随机变量，则
D. 已知经验回归方程，则与具有负线性相关关系

10.  若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则下列说法正确的是(    )

A.  B. 展开式中各项系数和为
C. 展开式中常数项为 D. 展开式中各二项式系数和为

11.  如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，点在线段上，则下列结论正确的是(    )

A. 直线平面
B. 直线和平面所成的角为定值
C. 异面直线和所成的角不为定值
D. 若直线平面，则点为线段的中点
 

12.  已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，，则(    )

A. 为偶函数 B. 的图象关于点中心对称
C. 是奇函数 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设随机变量服从正态分布，若，则 ______ ．

14.  已知、均为锐角，且，，则 ______ ．

15.  在四棱锥中，平面，，，，点是矩形内含边界的动点，满足等于到边的距离当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为______ ．

16.  如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于、、、四个点，且满足，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知等差数列的各项均为正数，，．
求的前项和；
若数列满足，，求的通项公式．

18.  本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
求角的值；
若的面积，，试判断的形状．

19.  本小题分
如图，圆台上底面半径为，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点，在平面的同侧，且．
证明：平面；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成的正弦值．
条件：三棱锥的体积为；条件：与圆台底面的夹角的正切值为．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

20.  本小题分
某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了人进行调查，并按学生成绩是否高于分及周平均阅读时间是否少于小时，将调查结果整理成列联表现统计出成绩不低于分的样本占样本总数的，周平均阅读时间少于小时的人数占样本总数的一半，而不低于分且周平均阅读时间不少于小时的样本有人．

根据所给数据，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握认为语文成绩与阅读时间是否有关；
先从成绩不低于分的样本中按周平均阅读时间是否少于小时分层抽样抽取人进一步做问卷调查，然后从这人中再随机抽取人进行访谈，记抽取人中周平均阅读时间不少于小时的人数为，求的分布列与均值．
参考公式及数据：．

21.  本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、右顶点的动点，的周长为，椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程；
若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
判断函数在上的单调性，并说明理由；
对任意的，，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的模的求解，解题的关键是先要求出复数，属于基础试题．
先求出复数，然后根据复数的模长公式即可求解．

【解答】

解：由题意可得，，
，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：依题意，为偶函数，
则为偶函数，
又，则．
故选：．
根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案．
本题主要考查函数图象的判断，考查函数性质的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：向量，
则，
的单位向量为，
所以向量在方向上的投影向量为．
故选：．
根据投影向量的定义即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，设正四棱锥的底面边长为，
连接，交于点，连接，
则平面，由题可得，
故，所以，
解得，
所以该正四棱锥的体积．
故选：．
设正四棱锥的底面边长为 ，连接，交于点，连接，易得平面，，再根据高为求解．
本题考查正四棱锥的体积的求解，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，则，是直角三角形，是的中点，
又，且点在渐近线，
如图，点在第三象限，
则点坐标为，
，，
，又，
，则．
故选：．
根据已知求出点的坐标，利用两点间距离公式即可得．
本题考查双曲线的性质，渐近线方程，两点间距离公式，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：将函数向左平移个单位长度后得到函数，
即，
，
，
在上有且仅有两个不相等的实根，
，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
根据三角函数图象平移的原则得的表达式，根据的范围得出的范围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则在上单调递减，
因为，故F，即，
，
设，，则，
故G在上单调递增，
因为，故G，
即，
，
由于，，故，
则，即，所以A错误，B正确；
由，，无法确定还是，，D错误，
故选：．
根据选项中不等式特征构造函数，根据其单调性可得，继而构造函数，利用其单调性推出，再结合不等式性质即可推出答案．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．解答本题的关键是根据各选项中不等式特征，能够构造函数以及，继而判断其单调性，利用函数单调性解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，由，
所以第个和第个数的平均数为，
故A正确；
选项B样本相关系数的意义可知，
样本相关系数的绝对值越接近时，
成对样本数据的线性相关程度越强，
故选项B正确
对于选项，由，
则，
故C错误；
对于选项，由，
可得与具有负线性相关关系，
可知D正确．
故选：．
选项由百分位数的定义计算即可；
选项根据样本相关系数的意义判断即可；
选项根据二项分布的期望公式计算；
选项由回归直线的斜率正负判断线性相关关系．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
根据二项式定理以及二项展开式系数的性质，运用赋值法和二项式展开项公式求解．
【解答】
解：因为第项和第项是相邻的两项，，A正确；
令，则有，B正确；
，，常数项，C正确；
二项式系数之和为，D错误．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：对于项，平面截正方体的截面图形为正六边形，
其中，，分别为，，的中点，，平面，
平面，平面，故A正确；

对于选项，过作交于点，
则直线和平面所成的角为，，
设，正方体的棱长为，则，，
，直线和平面所成的角不为定值，故B错误；

对于选项，平面，，平面，
又平面，，故C错误；

对于选项，设，，则平面平面，
平面，平面，，
又在平面内，易知，，
点为线段的中点，故 D正确．
故选：．
项，，可得线面平行；项，是个范围，可判断；项，可得；项，由线面平行的性质可得为线段的中点．
本题考查线面位置关系，考查平面与平面位置关系，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为的图象关于直线对称，可得，即，
令，则，即，故为偶函数，A正确；
又因为，
所以，，
由减可得：，故的周期为，
又，所以，
则有，因为为偶函数，
减可得：，故是偶函数，故C不正确；
由，可得，
解得：，故B不正确；
令中，可得，
因为，则，
令中，可得，
因为，则，
由的周期为，可得，
又因为，
则，
，故D正确．
故选：．
由的图象关于直线对称，可得为偶函数，可判断；
令中，求出可判断；
由可得的周期为，由，可得为偶函数可判断；
求出，再结合和的周期为可判断．
本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，即，
所以，
又，即，则，
又、均为锐角，所以，，
所以，，
所以．
故答案为：．
利用题目信息以及平方关系分别计算得、角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由抛物线定义可知：点位于底面矩形内以点为焦点，为准线的抛物线上，
记点的轨迹为曲线，在矩形内以点为坐标原点，为轴，过点作垂线为轴，
建立如图示平面直角坐标系：

由知抛物线的标准方程为：，
又，所以，所以，
当点位于时，面积最小，
又平面，此时三棱锥的体积最小，
三棱锥的外接球与以，，为长宽高的长方体的外接球相同，
由长方体外接球模型可知，三棱锥外接球球心为的中点，
此外接球的半径为：，
所以．
故答案为：．
根据抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线位于矩形内的一部分，找到三棱锥的体积最小时的点，然后利用补体法求出外接球的半径，即可求出表面积．
本题主要考查了抛物线的定义，考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设椭圆的方程为，
双曲线的方程为，
因为椭圆和双曲线有公共焦点、，
所以，
因为，
联立，可得，
所以，
所以点，，，的坐标分别为，，，，
所以直线的斜率，直线的方程为，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立，消得，，
设点的坐标为，
则，
所以，，
所以直线的斜率，
又，，
所以，
又，
所以，
因为点，，
所以，
故，则，
所以．
故答案为：．
设椭圆的方程为，双曲线的方程为，联立方程组求，，，的坐标，再求点的坐标，由条件列方程求椭圆的离心率．
本题考查椭圆与双曲线的性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：等差数列中，因为，所以，
又因为等差数列的各项均为正数．所以，
又因为，所以．
所以．
由得，因为，且，所以，
所以．
所以．
所以．
当时也符合．
所以的通项公式为． 

【解析】利用等差数列的性质得到，根据等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的前项和公式进而求解；
结合的结论得到，进而得到，利用累乘法求出．
本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，还考查了数列的递推关系的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
由正弦定理得，
，
，又，
，又，
；
，，又，
，，
又，，，
，是直角三角形． 

【解析】由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得角；
由三角形面积求得，由余弦定理求得，然后用正弦定理可得，判断的形状即可．
本题考查解三角形问题，三角方程的求解，三角形形状的判断，正弦定理与余弦定理的应用，三角函数公式的应用，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】证明：取中点，连接，，如图，

由题意，，
又，
又，
故，，
所以四边形为平行四边形，
则，又面，平面，
故平面；
选：，
又平面，
所以三棱锥体积，
所以；
选：因为平面，
所以为与底面所成的角，
所以，
又，所以；
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，
故，
设平面的法向量，
而，
故
令，解得，得，
设所求角的大小为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据题意证明四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明；
选择条件根据体积求出，选择条件根据线面角的正切值求出，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：根据已知条件填表如下：

所以，，
，
所以有的把握认为语文成绩与阅读时间有关．
依题意，成绩不低于分的学生中周平均阅读时间少于小时和不少于小时的人数比是：，
按分层抽样抽取人，
则周平均阅读时间少于小时有人，不少于小时的有人，
从这人中再随机抽取人进行访谈，则可能的取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：

故． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；
根据已知条件，结合分层抽样的定义可知，可能的取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：周长为，
椭圆的离心率为，则，
所以
所以椭圆的标准方程为；
设圆的半径为，，由不妨设，
则的面积，
所以，，所以，
由，，得直线的方程为，
则点到直线的距离为，
整理，得，
把代入上式，得，
即，
由题意得，，，
所以，则，
把，代入椭圆的方程，得，
所以点在椭圆上，
所以存在定点，，使为定值． 

【解析】结合数量积的坐标表示求及其最小值表达式，由条件列关于，，的方程，解方程求，，可得椭圆方程；
设圆的半径为，，由内切圆的性质确定，，的关系，再结合点到直线的距离公式确定，的关系，由此确定点的轨迹方程，结合椭圆定义完成证明．
本题考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，椭圆中焦点三角形问题，方程思想，化归转化思想，属难题．
 

22.【答案】解：由题意可得：因为，
所以，
所以，，
所以在处的切线方程为：，即．
由上知，
又因为，，
所以在上有，即，
令，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
故在上单调递增．
问题转化为：，恒成立，
令，
所以，
由得在上单调递增，
而，满足题意，则，即，
下证：当时，，恒成立，
当时，
令，
所以，
由可得，
所以在上单调递增，
所以，
所以，得证，
所以，
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】通过导数的几何意义计算即可；
由三角函数的有界性将导函数转化为，即可判定单调性；
将问题转化为恒成立，结合第二问的结论得出符合题意，再利用导数去证明其充分性即可．
本题考查三角函数与导数结合，解题关键是利用三角函数的有界性放缩转化，属于难题．