2023年上海市高考数学试卷及答案解析

这是一份2023年上海市高考数学试卷及答案解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市高考数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  根据所示的散点图，下列说法正确的是(    )
A. 身高越大，体重越大 B. 身高越大，体重越小
C. 身高和体重成正相关 D. 身高和体重成负相关3.  已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，4.  已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”现有如下两个命题：任意椭圆都是“自相关曲线”；存在双曲线是“自相关曲线”，则(    )A. 成立，成立 B. 成立，不成立
C. 不成立，成立 D. 不成立，不成立二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  不等式的解集为______ ．6.  已知向量，，则 ______ ．7.  已知首项为，公比为的等比数列，设等比数列的前项和为，则 ______ ．8.  已知，则 ______ ．9.  已知函数，则函数的值域为______ ．10.  已知复数为虚数单位，则 ______ ．11.  已知圆的面积为，则 ______ ．12.  已知中，角，，所对的边，，，则 ______ ．13.  现有某地一年四个季度的亿元，第一季度为亿元，第四季度为亿元，四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为______ ．14.  已知，若存在使得，则的最大值为______ ．15.  某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为米，坡面与水平面所成夹角为行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 ______ ．16.  空间中有三个点、、，且，在空间中任取个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种
 三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知直四棱柱，，，，，．
证明：直线平面；
若该四棱柱的体积为，求二面角的大小．
18.  本小题分
已知，，函数．
若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．19.  本小题分
年月日，世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观蓝色外观棕色内饰米色内饰若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；
该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设：该抽奖活动的奖金额为：一等奖元，二等奖元、三等奖元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．20.  本小题分
已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
若到抛物线准线的距离为，求的值；
当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．21.  本小题分
已知，在该函数图像上取一点，过点做函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点做函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列
设属于数列，证明：；
试比较与的大小关系；
若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，
．
故选：．
根据题意及集合的概念，即可得解．
本题考查集合的基本概念，属基础题．
 2.【答案】 【解析】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选：．
根据散点图的分布情况，即可得解．
本题考查线性相关的概念，属基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由给定区间可知，．
区间与区间相邻，且区间长度相同．

取，则，区间，可知，，故A可能；
取，则，区间，可知，，故C可能；
取，则，区间，可知，，故B可能．
结合选项可得，不可能的是，．
故选：．
由题意可知，对分别求值，排除，即可得答案．
本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．
 4.【答案】 【解析】解：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故正确，
在双曲线中，，而是个固定值，则无法对任意的，都存在，使得，故错误．
故选：．
根据定义结合图象，验证是否恒成立即可．
本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证是否成立是解决本题的关键，是中档题．
 5.【答案】 【解析】解：由可得，，
解得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
原不等式可化为，从而求出的范围．
本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：向量，，
．
故答案为：．
直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：等比数列的首项为，公比为，
．
故答案为：．
直接利用等比数列的前项和公式求解．
本题主要考查了等比数列的前项和公式，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
直接利用正弦函数的二倍角公式求解．
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：当时，，
当时，，
所以函数的值域为．
故答案为：．
分段求出的值域，再取并集即可．
本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据复数的基本运算，即可求解．
本题考查复数的基本运算，属基础题．
 11.【答案】 【解析】解：圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为，
，
．
故答案为：．
先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为求解即可．
本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：，，，
由余弦定理得，，
又，
，
．
故答案为：．
先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数间的基本关系求解．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，
中位数与平均数相同，
，
，
该地一年的为．
故答案为：．
设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，由题意可得，可求出的值，从而求出该地一年的．
本题主要考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：二项式的通项为，，
二项式的通项为，，
，，
若，则为奇数，
此时，
，
，
，
又为奇数，
的最大值为．
故答案为：．
由二项展开式的通项可得，若，则为奇数，所以，即，从而求出的取值范围，得到的最大值．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：斜坡的长度为，
上坡所消耗的总体力，
函数的导数，
由，得，得，，
由时，即时，函数单调递增，
由时，即时，函数单调递减，
即，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．
故答案为：．
先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．
本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．
 16.【答案】 【解析】解：如图所示，设任取个不同的点为、，

当为正四棱锥的侧面时，如图，平面的两侧分别可以做作为圆锥的底面，有种情况，
同理以、为底面各有种情况，所以共有种情况；
当为正四棱锥的截面时，如图，、位于两侧，为圆锥的底面，只有一种情况，
同理以、为底面各有种情况，所以共有种情况；
综上，共有种情况．
故答案为：．
根据正四棱锥的性质，分类讨论，即可求解．
本题考查正四棱锥的性质，分类讨论思想，属中档题．
 17.【答案】解：证明：根据题意可知，，且，
可得平面平面，又直线平面，
直线平面；
设，则根据题意可得该四棱柱的体积为，
，底面，在底面内过作，垂足点为，
则在底面内的射影为，
根据三垂线定理可得，
故即为所求，
在中，，，，
，又，
，
二面角的大小为． 【解析】先证明平面平面，再根据面面平行的性质，即可证明；
先根据体积建立方程求出，再利用三垂线定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即可求解．
本题考查线面平行的证明，面面平行的判定定理与性质，二面角的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．
 18.【答案】解：若，则，
要使函数有意义，则，即的定义域为，
是奇函数，是偶函数，
函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．
若函数过点，则，得，得，
此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，
即，得，当时，有两个不同的交点，
设，
则，得，得，即，
若即是方程的根，
则，即，得或，
则实数的取值范围是且且，
即． 【解析】时，求出函数的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．
根据函数过点，求出的值，然后根据与轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．
 19.【答案】解：若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观，蓝色外观，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则．
，，
即事件和事件不独立．
由题意知，，，
则外观和内饰均为同色的概率、
外观和内饰都异色的概率、
仅外观或仅内饰同色的概率，
，
，，，
则的分布列为：       则元． 【解析】根据概率公式分别进行计算即可．
分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率公式求出对应的概率是解决本题的关键，是中档题．
 20.【答案】解：抛物线：的准线为，
由于到抛物线准线的距离为，
则点的横坐标为，则，
解得；
当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，
由题意可得，解得，
所以，
则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
如图，

设，则，
故直线的方程为，
令，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．
故实数的取值范围为． 【解析】根据题意可得点的横坐标为，将其代入抛物线的方程，即可求得的值；
易知，设，由的中点在抛物线上，可得的值，进而得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得解；
设，表示出直线的方程，进一步表示出点的坐标，再根据恒成立，结合基本不等式即可得到的范围．
本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：证明：，
则过点的切线的斜率为，
由点斜式可得，此时切线方程为，即，
令，可得，
根据题意可知，，即得证；
先证明不等式，
设，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，即，
结合可知，；
假设存在这样的符合要求，
由可知，数列为严格的递减数列，，，，，，
由可知，公差，，
先考察函数，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则至多只有两个解，即至多存在两个，使得，
若，则，矛盾，则，
当时，设函数，
由于，，
则存在，使得，
于是取，，，它们构成等差数列．
综上，． 【解析】对函数求导，利用导数的几何意义，可得过点的切线方程，再结合题意即可得证；
由不等式，结合即可得出结论；
易知公差，，考察函数，利用导数可知的单调性情况，进而得到至多存在两个，使得，由此可知，再验证即可．
本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．